一類半線性退化Schr?dinger方程的無窮多大能量解的存在性①

冉 玲，陳尚杰，李 麟

重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067；經濟社會應用統計重慶市重點實驗室，重慶 400067

本文主要研究半線性退化Schr?dinger方程

(1)

無窮多大能量解的存在性，其中N≥2，Δγ是退化橢圓算子，形式如下：

并且，函數γj滿足文獻[1]中相關結論的所有條件，退化算子Δγ包含Gru?in型算子

Gα=Δx+|x|2αΔyα≥0

其中(x，y)表示RN1×RN2中的點． 文獻[2]研究了α是整數的情況，文獻[3-4]研究了α不是整數的情況． Δγ算子還包含強退化算子

Pα，β=Δx+Δy+|x|2α|y|2βΔz(x，y，z)∈RN1×RN2×RN3

其中α，β是非負常數． 文獻[5]研究了算子Pα，β． 關于Δγ算子的更多信息可參見文獻[1]．

當μ=0時，文獻[6]利用變分法研究了半線性Δγ橢圓型偏微分方程(1)的無窮多解的存在性，其中方程(1)的位勢V(x)是強制位勢，并且方程(1)的非線性項f(x，u)滿足文獻[7]中的局部Ambrosetti-Rabinowitz增長條件． 另外，利用變分法還可以解決其他方程解的存在性問題，見文獻[8-10]．

基于上述結果，本文研究半線性退化Schr?dinger方程(1)的無窮多解的存在性，其中方程(1)的非線性項是凹凸的． 為了研究方程(1)，我們做如下假設：

|f(x，z)|≤c0(|z|+|z|p-1)?(x，z)∈RN×R

(f3) 存在常數L0>0，θ>2以及c1≥0，使得

zf(x，z)-θF(x，z)+c1|z|2≥0 ?(x，|z|)∈RN×[L0，+∞)

(f4)f(x，-z)=-f(x，z)(?(x，z)∈RN×R)．

|g(x，z)|≤h1(x)|z|q1-1+h2(x)|z|q2-1?(x，z)∈RN×R

(g2)g(x，-z)=-g(x，z)(?(x，z)∈RN×R)．

定理1假設條件(V1)，(f1)-(f4)，(g1)和(g2)成立． 則存在常數μ0>0，使得當|μ|≤μ0時，方程(1)有無窮多個大能量解．

注1據我們所知，定理1首次研究了在RN上具有凹凸非線性項的半線性Δγ橢圓型偏微分方程的無窮多個能量解． 另外，值得一提的是，文獻[11]運用噴泉定理得到了RN中的有界域上的具有凹凸非線性項的半線性Δγ橢圓型偏微分方程無窮多個高能量解的存在性．

定義函數空間

令

|u|q≤dq‖u‖

(2)

其中Lq(RN)表示勒貝格空間，在Lq(RN)上的范數記作|·|q．

(3)

從條件(f4)和(g2)可知J(u)是偶函數，并且滿足J(0)=0． 同時J是一階連續可導函數，且

(4)

(5)

因此，由(2)式以及H?lder不等式，可得

(6)

(7)

又根據J(un)>0，有

(8)

因此，由(3)，(7)以及(8)式，可得

這結論與(5)式矛盾．

根據文獻[12]的引理2.5，選擇整數m≥1，使得

(9)

引理2設條件(V1)，(g1)和(f1)成立，則存在正常數μ0，ρ，α，滿足當|μ|≤μ0時，J(u)|{u∈W：‖u‖=ρ}≥α．

因此，由(3)，(6)，(9)式以及1

其中

當t≥0時，令

顯然存在常數00． 選擇‖u‖=t0=ρ，可得

根據條件(f1)以及p>2，可知

|f(x，z)z|≤c0(|z|2+|z|p)≤2c0|z|2?(x，|z|)∈RN×[0，1]

再次用條件(f1)，存在常數M>0，滿足

|f(x，z)z|≤c0(|z|2+|z|p)≤M≤M|z|2?(x，|z|)∈RN×[1，L0]

因此，可得

|f(x，z)z|≤(M+2c0)|z|2?(x，|z|)∈RN×[0，L0]

(10)

(11)

根據(10)和(11)式，有

(12)

(13)

(14)