箭圖表示的絕對Clean性質①

孫情，楊剛

蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070

20世紀70年代，Gabriel、Auslander和Reiten建立了箭圖表示理論． 經過近50年的發展，箭圖表示理論不僅趨于完善，而且與群表示論、李代數和量子群、代數幾何、數學物理等其他學科有深刻的聯系．

并研究了表示范疇中余撓對的遺傳性． 文獻[4]研究了箭圖的表示范疇中的余撓對(Φ(A)，Φ(A)⊥)和(⊥Ψ(B)，Ψ(B))的完全性．

絕對Clean模類作為R-模范疇中一類特殊有限表現模類，關于Ext函子的右正交子范疇在同調代數的研究中有著重要應用． 文獻[5]引入了絕對Clean的概念，從而引入了GorensteinAC投射模和GorensteinAC內射模的概念，并研究了Gorenstein同調理論是如何擴展到任意環R上的． 后來，文獻[6]定義了絕對Clean復形，并且進一步研究了相關的Gorenstein同調理論．

1 準備知識

定義1令n≥0是整數． 如果存在正合列

其中每個Fi是有限生成的投射模(i=1，2，…，n)，則稱模M是n有限表現模． 特別地，當n=1時，則稱M為有限表現模． 如果存在正合列

使得每個Fi是有限生成的投射模(i=1，2，…)，則稱M是超有限表現模．

定義2設C是范疇A中的對象類，且A中存在足夠多的投射對象(內射對象)． 如果C包含所有投射(內射)對象，并且C關于擴張和滿同態的核(單同態的余核)封閉，則稱C是可解(余可解)的．

2 n有限表現表示與絕對Clean表示

定義3令i≥0是整數，M∈Rep(Q，M)． 如果存在正合列

其中Fi是Rep(Q，M)中有限生成的投射表示(i=1，2，…，n)，則稱M是n有限表現表示． 特別地，當n=1時，稱M是有限表現表示． 如果存在正合列

使得每個Fi是有限生成的投射表示(i=1，2，…)，則稱M是超有限表現表示．

定理1設M∈Rep(Q，M)． 則M是n有限表現表示當且僅當每個Mi是n有限表現模(i=1，2，…，m)．

證必要性 因為M是n有限表現表示，所以存在正合列

其中Fj是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n)，即存在行正合的交換圖

其中Pi，j是有限生成的投射模． 根據定義1知每個Mi是n有限表現模．

其中Fj是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n)． 這便證得M是n有限表現表示．

定理2設M∈Rep(Q，M)． 則M是超有限表現表示當且僅當每個Mi是超有限表現模(i=1，2，…，m)．

證類似于定理1可證．

證必要性 顯然成立．

(1)

即有列正合的交換圖

用HomRep(Q，M)(-，X)作用正合列(1)，可得長正合列

由歸納假設和條件可知

依次類推可得Kerdi，X1，X2，…，Xm都是絕對Clean模．

證類似于定理2可證．

證充分性顯然成立，下證必要性． 設M是超有限表現表示． 則存在正合列

依次類推，利用維數轉移可以得到

命題2絕對Clean表示構成的類是余可解類．

又因為任意內射表示是絕對Clean表示，所以絕對Clean表示構成的類是余可解類．