Gorenstein內射Phantom態射①

王小妹，王占平

西北師范大學 數學與統計學院，蘭州 730070

受以上結論的啟發，本文主要研究Gorenstein內射Phantom態射．

1 預備知識

本文中所提到的環均指有單位元的結合環，模均指左R-模．R-Mod(Mod-R)表示左(右)R-模范疇．

定義1用H(R)表示R-Mod的態射范疇，其中：

(a)H(R)中的對象是左R-模同態；

使得圖

交換．

由文獻[12]可得，態射范疇H(R)是局部有限表示的Grothendieck范疇．

2 Gorenstein內射Phantom態射

文獻[13]在一般環上引入了Gorenstein內射模的概念．

Gorenstein內射模的類記為ΓI．

由此我們引入Gorenstein內射Phantom態射的概念．

命題1在H(R)中，ΓI-Phantom態射的類關于直積封閉．

證對任意的內射左R-模E，考慮交換圖

(i)φ是ΓI-Phantom態射；

是HomR(E，-)-正合的．

(ii)?(i)假設(ii)成立，則對任意的內射左R-模E，考慮交換圖

有δExt1(E，φ)=0． 因為δ是單的，所以Ext1(E，φ)=0，即φ是ΓI-Phantom態射．

3 高維Gorenstein內射Phantom態射

下面引入高維Gorenstein內射Phantom態射的概念，即n-Gorenstein內射Phantom態射(n∈N+)．

n-ΓI-Phantom態射的類記為Φn-ΓI．

注1當n=1時，1-ΓI-Phantom態射就叫作Gorenstein內射Phantom態射，即ΓI-Phantom態射．

(i)φ是n-ΓI-Phantom態射；

(ii)?(iii)?(iv)?(v)顯然．

(v)? (i)考慮行正合的交換圖

因為φn-2是Gorenstein內射態射，所以Gn-2，G′n-2是Gorenstein內射模，即Ext2(E，Gn-2)=0，Ext2(E，G′n-2)=0． 則β是滿射，所以Ext2(E，kn-2)β=0． Ext2(E，kn-2)=0． 重復上述過程，有Extn(E，φ)=0． 所以φ是n-ΓI-Phantom態射．