多約束條件極值下Lagrange函數的構造詳析

◎劉 倩 張冬燕 魯志波

(信息工程大學基礎部，鄭州 450001)

1 引 言

數學分析教材[2]類比地給出了更一般的結論.考慮目標函數f(x1,x2,…,xn)在m個約束條件

gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m;m

(1)

下的極值，f,gi(i=1,2,…,m)均關于x1,x2,…xn具有連續偏導數，且gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m;m

rank(J)=m.

(2)

在滿足上述條件的基礎上，則有

在此基礎上構造Lagrange函數

使得L(x1,x2,…,xn,λ1,λ2,…,λn)關于各變量的一階偏導數為0的點即為可能的極值點.

下面我們將從代數上證明目標函數在多個約束條件下的條件極值的必要條件，并由此構造出相應約束條件下的Lagrange函數.

2 主要推導過程

設目標函數y=f(x1,x2,…,xn)及gi(x1,x2,…,xn)(i=1,2,…,m)關于x1,x2,…,xn具有連續偏導數，且滿足條件(2)，則由隱函數存在定理可知，由m個約束條件gi(x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m)組成的方程組確定了m個隱函數：

xi=hi(xm+1,xm+2,…,xn)(i=1,2,…,m).

(3)

則y=f(x1,x2,…,xn)=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn)).問題變為求解y=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn))關于自變量xm+1,…,xn的無條件極值.

根據多元函數無條件極值的必要條件[2]

(4)

可知使得y=f(h1(xm+1,…,xn),h2(xm+1,…,xn),…,hm(xm+1,…,xn),hn(xm+1,…,xn))取得極值的點(xm+1,…,xn)滿足

(5)

將(3)代入(1)中，得

(6)

(i=m+1,…,n,j=1,…,m).

(7)

上述方程均可以行列式形式給出，第一個方程的行列式表示如下所示，其他可同理表示.

(8)

將(8)按照第一列展開得

令

(9)

則第一個方程可表示為

此時其他方程可表示為

?

(10)

接下來對(9)進行整理，先處理第一個式子，將其寫成

(11)

將左端行列式的第i行乘以-λi(i=2,3,…,m)，加到第一行上，再由行列式的運算法則可得

對(11)中第二個式子進行同樣處理，將左端行列式的第i行乘以-λi(i=1,3,…,m)，加到第二行上，可得

(12)

?

(13)

至此，方程組(13)和(10)組成了一個完整的方程組，其向量表示即為 ?f=λ1?g1+λ2?g2+…+λm?gm.

3 結 語