一題“多解”到多題“通解”的變遷

◎張國兵

(廣東省東莞市東正路62號東莞中學，廣東 東莞 523005)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》的重點是落實數學學科的核心素養，這對我們教師的教學也提出了新的要求.教師要通過設定學習任務，來滲透數學學科核心素養[1].其中解題任務是數學學習的一個非常重要的載體任務.

數學學習離不開解題，解題的過程實際上也是培養學生的數學思維能力的過程，同時也是培養學生數學學科核心素養的能力的過程.高考題、模擬題、調研題等試題都是專家們精心制作的，在用來考查學生對知識的掌握情況的同時，也在考查學生學科素養的提升情況，為國家選拔優秀人才，完成數學學習的終極使命——會用數學的眼觀觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界.通過學習一道好題的多種解答方式，學生不僅能夠較好地把握問題的本質，還能透過試題解答的過程來挖掘隱含的解題規律，實現多題通解，從而提升學生的數學思維和數學核心素養.正如美國著名數學家波利亞在其著作《怎樣解題》中表達了自己的解題觀點——解題的價值不是答案本身，而是在于弄清楚是怎樣想到這個解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的，這其實也是在說解題過程還是一個思維過程，是把一個知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程.在數學學習的過程中，教師有一個重要的任務就是要教給學生如何思考問題，如何將問題深化，如何將問題歸納抽象，進而揭示數學問題的本質.下面筆者根據多年從教經驗，從學生所反映的問題出發，以一道壓軸題為例來探尋一題“多解”到多題“通解”的變遷.

一、數學學習過程中的解題問題

1.沒有思考就做題

一聽就會，一做就錯，看到答案就恍然大悟.在我們身邊不乏這樣的同學，事實上，在現實的教學、考試中以及綜合題方面體現得更加明顯，尤其是壓軸題，學生在做題不能理順題目中所蘊含的邏輯關系，就是單純的過一遍.我們發現這些學生在看到題目時覺得面熟，可以肯定自己在哪做過原題或是類似的題目，可此時無論怎么想也想不起來怎么做，于是陷入回憶、思考以前做過的題目，始終沒有思路，從而無從下筆，最終只能是望題興嘆.當看到答案時，情緒激動，唉！原來是這樣做的，就是自己不能獨立地把題目完整的做出來，他們常常依附于答案才能完成題目的解答.筆者在多年的教學觀察中發現，其原因是因為學生在做題目時沒有真正地理解題目及解法，沒有理順其蘊含的邏輯關系，找不到突破點，只能用答案的思路或跟著老師的思路把題目抄下來，沒有經過自己思考、加工、處理，誤以為自己會做了.其實只是把題目背過一遍而已，一段時間過后，就只能記得題目不記得解法.為克服這種情況，筆者認為，在完成一道題目的解答后，可以從不同的方向上再去思考解法，如從幾何方向、代數方向、數形結合方向，函數的特點方向等；可以讓同學分組討論各自的解法及各自的理解，檢查自身對該題的理解還缺少什么，比較同學之間不同的解法的優缺點，追求更高更優的解法.發現問題時立即詢問老師，力爭把題目理解得更透徹.其本質就是要同學養成一題多解的習慣，逐漸形成多題通解的目標.通過長期的訓練定能達到相當高的解題能力，進而提高思維能力和數學學科素養.

2.會做的題，總是做錯

從事一線教學的教師很清楚，學生學習過程中會做的題目總是做錯才是最可怕的.很多學生都說自己很粗心，這次錯了沒有關系，下次肯定不會錯，可是下次仍然會錯.原因主要有以下兩點.

(1)思維能力的缺陷.計算時對時錯，不能把知識遷移，不能舉一反三，不會靈活的選擇算法，表達方法等，這不僅僅是算法的問題，往往是由于想不到的問題，其實是思維能力不能跟上知識在運算過程中的運算能力.運算能力和思維能力是學好數學必備的能力，缺一不可.可以說運算能力是“器”，思維能力是“術”，思維能力跟不上，運算能力很難有成效.高中階段能有效鍛煉思維能力的方法之一是一題“多解”的發散思維和多題“通解”的歸納思維.

(2)心態不端正，題海式訓練.有的同學對概念模糊，對自己知識掌握不牢，模棱兩可問題的輕視或忽略.其實錯誤總是在自身掌握不牢固的地方出現，那些看似粗心犯錯，其實也都是應用知識不熟練導致出錯.一味地采取題海戰術，縱使刻苦勤奮，仍然收獲甚微，長此下去，學生會對數學學習失去信心，對學習數學有一種畏懼感.

有的同學認為只要會做就行了，平時算不對沒有關系，考試一定能算對.殊不知這種做法更不明智，這是因為我們學習的目的除了要掌握知識、探尋解決問題的方法外，還要在學習過程中養成良好的學習習慣和解決問題的態度.避免出現浮躁的學習性格和不嚴謹的思維模式.通過數學學習提升數學核心素養的一個必備的條件是養成良好的學習習慣，要養成良好的學習習慣就要準備一個整理經典題的好題本(或錯題本)，把一些好題(錯題)記下來，在追求一題多解到多題通解的過程中，理順解題思路，選擇最優解，進而達到解決一類問題目的，才能成功回避題海戰術來提高數學學習.

二、一題多解的探尋

1.問題呈現

已知函數f(x)=lnx-ax；

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當函數f(x)有兩個不相等的零點x1,x2時，證明：x1·x2>e2.

解：本題第(1)問的解答過程此處省略.下面用多種解法來解第二問.

2.解法探究

解法一 轉化問題，用函數的性質來證明不等式

要證：x1x2>e2，只需證：lnx1+lnx2>2.

解法二 變換函數實現妙解

解法三 直接構造函數

解法四 巧引變量，變換函數一

解法五 巧引變量，變換函數二

欲證x1x2>e2，只需證lnx1+lnx2>2，即只需證明t1+t2>2，即

故g(k)在(0,1)上單調遞增，因此g(k)

三、解題反思，實現多題通解

一道數學題經過一番艱辛探索得到答案之后，必須進行解題反思.反思解題過程有利于揭示問題的本質，拓展思路，溝通知識，培養概括解決問題的能力.通過歸納總結解題思路，有利于提升學生抽象概括解決一類問題的能力.

從以上幾種解法可以看出，解決這一類問題時，我們先要對所求問題進行恒等變形，構造新的函數，再通過研究函數的性質來完成問題的解答，同時也是這類問題的難點、關鍵點.一題多解是要求我們從不同角度對已知條件或所求結論進行恒等變形，變形的層次不同，選取的點不同可能用到的方法也就不同，這是很典型的發散思維.如果我們對題目條件或問題進行恒等變形或略微調整也會出現很多不同的題目，但他們的解法同樣也可以歸為同一類，這就是我們常說的多題通解問題.下面我們通過分析下列各題來實現多題同一解.

(1)若m=-3，討論函數f(x)的單調性，并寫出單調區間；

思路分析(1)略.

(1)若f(x)在點(e2,f(e2))處的切線與直線4x+y=0垂直，求f(x)的單調減區間；

(2)若方程f(x)=1有兩個不相等的實數解x1,x2，證明：x1+x2>2e.

思路分析(1)略.

例3已知函數f(x)=ex-kx+k(k∈R).

(1)試討論函數y=f(x)的單調性；

(2)若該函數有兩個不同的零點x1,x2，試求實數k的取值范圍并證明：x1+x2>4.

思路分析(1)略.

例4已知a為實常數，函數f(x)=lnx-ax+1(a∈R).

(1)討論函數y=f(x)的單調性；

(2)若函數y=f(x)有兩個不同的零點x1,x2(x1

思路分析(1)略.

以上幾題試題的呈現形式不同，函數類型也有所不同，問法上也有所不同，可以說是完全不同的題目，但它們的本質相同，都是主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、極值、最值以及不等式等基礎知識，考查構造函數思想、函數思想、分類討論思想，考查綜合分析和解決問題的能力.并且它們的解題思想一致——構造函數，研究函數的性質來證明相關結論.這也是多題通解的機理，因此這一類的題目可以實現多題通解.

事實上，一題多解，多題通解的教學中承載著培養數學運算、數學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養的內容.在解題教學過程中，直觀想象、數學抽象、數學運算、數學建模、邏輯推理等能力的培養與我們這里倡導的一題多解和多題通解是密不可分的.解題教學中的變式拓展實質上是多題通解的呈現形式，文中通過對一道壓軸題的探究，可以引導學生從不同的角度、不同方式、不同層次來探究問題.從而完善了學生的認知結構和方法體系，這種方式既有利于學生掌握知識的內在本質，也提升了學生的邏輯推理、數學運算、數學建模、數學抽象等學科核心素養.

一題多解是從不同的角度、不同的方位去分析審視同一題，培養學生的發散思維；一題多變通過改變題設或結論或引申新問題，使學生對知識的理解更深刻，提高學生的創造性思維.解題教學的目標應是羅增儒教授所倡導的：誰也無法教會我們解所有的題目，重要的是，通過有限道題的學習去領悟那種解無限道題的數學機智.

四、結 語

在高中數學教學過程中，教師應該積極應用一題多解和多題通解的學習方法，這不僅能夠提升學生的解題能力,同時還能夠拓展學生的思維,使其學會采用多種方式解決數學學習中的問題，并且思考不同問題之間的關聯性，從而實現舉一反三的目的.著名數學家、數學教育家G·波利亞曾經說過：“掌握數學就意味著要善于解題.波利亞一語點明數學教學的根本目的———提高學生探索和解決問題的能力，培養學生的數學創新精神.”我們在求解一個新問題時，只有透徹理解數學思想、數學方法并能融會貫通時，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最優方案.而一題多解歸納到多題通解的思想具有將所學知識加以融會貫通的作用，是一種培養創新能力的重要思維方法.因此，一題多解，多題通解應當成為我們掌握數學知識和探索數學思維規律的重要手段，也應成為數學教學的閃光點.