創(chuàng)新思維引領(lǐng)的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)研究

◎張 璐

(吉林師范大學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130000)

引 言

高中階段是初等教育中至關(guān)重要的階段，關(guān)系著學(xué)生未來生活學(xué)習(xí)的發(fā)展.我國(guó)教育部門和相關(guān)的教育科研工作者一直關(guān)注數(shù)學(xué)建模在高中階段的應(yīng)用.本研究以生物生長(zhǎng)規(guī)律模型為主要研究對(duì)象，以數(shù)學(xué)模型對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維發(fā)展的重要性作為出發(fā)點(diǎn)和立足點(diǎn)，從創(chuàng)新思維培養(yǎng)、模型思想探究和模型案例分析三方面展開，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在高中階段教學(xué)的應(yīng)用性和重要性，在不斷變化的實(shí)際生活情境問題培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

一、創(chuàng)新性思維概述

創(chuàng)新性思維是指人們能夠在已學(xué)過的知識(shí)和積累的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問題，找到問題之間潛在的聯(lián)系，能夠從新的角度和方位分析問題，能運(yùn)用新的方法解決問題，并且能創(chuàng)造新的解決問題的策略，進(jìn)而更有效地解決問題.思維的靈活性與創(chuàng)新性也會(huì)隨著學(xué)習(xí)者個(gè)體的發(fā)展而不斷提高.

在一線教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維和能力，需要教師具備創(chuàng)新精神和創(chuàng)新思維.教師需要有豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，有著扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底.發(fā)現(xiàn)和找出問題之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)和本質(zhì)[1]，在把握概念或知識(shí)的內(nèi)涵與外延上另辟蹊徑，用另外一種方法重現(xiàn)解題過程，或者用數(shù)學(xué)中類比思維探究相近的命題形式是否合理，能否進(jìn)行推廣和拓展.教師可引導(dǎo)學(xué)生通過歸納總結(jié)出新的觀點(diǎn)和見解,不斷提高自身，并根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平和接受程度，使得課程設(shè)計(jì)更有整合性和創(chuàng)新性，從而有計(jì)劃性和目的性地去教授學(xué)生.

二、數(shù)學(xué)建模案例探究

數(shù)學(xué)是主觀與客觀相互結(jié)合的學(xué)科，數(shù)學(xué)模型本就存在于世界之中，一次函數(shù)模型用來描述勻速直線運(yùn)動(dòng)，二次函數(shù)模型用來描述拋物軌跡，反比例函數(shù)模型用來描述兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)的情況，此外橢圓方程、拋物線方程、雙曲線方程等都含有它們各自的幾何含義.數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，一方面是為了培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，更重要的一方面是使數(shù)學(xué)生活化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思想理解世界，用數(shù)學(xué)的方法解決生活實(shí)際問題.

函數(shù)是高中階段必不可少的學(xué)習(xí)的主線之一，函數(shù)與方程思想也是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想方法.數(shù)學(xué)建模活動(dòng)因函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用而變得更加多元化.[2]從古至今人們對(duì)事物發(fā)展規(guī)律的認(rèn)識(shí)，都是通過對(duì)事物的原型加以抽象而得出的.因此生活中的很多現(xiàn)象都可以借助函數(shù)模型加以描述.然而，在函數(shù)為主軸的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模問題并不等同于函數(shù)問題，數(shù)學(xué)建模中還蘊(yùn)含著一部分函數(shù)無(wú)法刻畫的模型.例如大氣方程模型、導(dǎo)彈軌跡模型等.從數(shù)學(xué)普遍意義上來說，模型化的常規(guī)問題更符合數(shù)學(xué)的本質(zhì).建模的意義是使學(xué)生更有創(chuàng)新性思維和邏輯性思維，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題有機(jī)地結(jié)合在一起，利用數(shù)學(xué)知識(shí)這一工具有效地分析和靈活地處理問題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用建模思想和方法處理問題的能力.[3]下面以生長(zhǎng)規(guī)律為例描述建模的過程：

圖1 創(chuàng)新思維引領(lǐng)的模型教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境

高中數(shù)學(xué)建模落地行之有效的方式就是數(shù)學(xué)學(xué)科活動(dòng)，在活動(dòng)中教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常梢允巧钋榫场⒖茖W(xué)情境、數(shù)學(xué)史情境等.例如探究生物生長(zhǎng)規(guī)律問題，在實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師創(chuàng)設(shè)的是生活問題情境，即生活中兒童身高的生長(zhǎng)問題.結(jié)合衛(wèi)計(jì)委發(fā)布的《中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》(表1)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動(dòng).

表1 2009年中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)表

從表1中可以看出，2009年中國(guó)7歲以下兒童身高的增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)先快后慢的增長(zhǎng)趨勢(shì).這種增減速度產(chǎn)生變化的模型不等同于一次函數(shù)模型的線性增長(zhǎng)，教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行區(qū)分辨別.

再例如，農(nóng)業(yè)科學(xué)研究者在研究某地區(qū)玉米在不同生長(zhǎng)階段，植株高度的變化特征及其趨勢(shì)時(shí)，通過觀察、測(cè)量、統(tǒng)計(jì)進(jìn)而得到了表2數(shù)據(jù).

表2 某地區(qū)玉米植株高度與生長(zhǎng)關(guān)系表

從具體的數(shù)據(jù)中我們可以看出，玉米植株高度的變化，具有先慢后快，然后又變慢的增長(zhǎng)規(guī)律.

通過對(duì)以上兩組數(shù)據(jù)的分析，我們發(fā)現(xiàn)生物的生長(zhǎng)發(fā)育是一個(gè)連續(xù)的過程，但不同的時(shí)間段可能有不同的增長(zhǎng)速度，選擇合適的函數(shù)表達(dá)式描述兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠解決很多實(shí)際問題.

2.2 假設(shè)化簡(jiǎn),模型確立

根據(jù)生長(zhǎng)規(guī)律問題的特征及其目的，得知要描述的生長(zhǎng)規(guī)律，實(shí)際上就是要描述當(dāng)一個(gè)量(記為x)變化時(shí)，另外一個(gè)量(記為y)會(huì)怎樣變化.例如，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童的身高將怎樣變化；隨著生長(zhǎng)階段的不同，植株高度會(huì)怎樣變化等.

教師要幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何應(yīng)用函數(shù)求解數(shù)學(xué)問題，更重要的是讓學(xué)生能夠用函數(shù)的模型思想解決實(shí)際問題.但大多數(shù)中學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解僅僅停留在抽象的數(shù)學(xué)問題上，例如，求函數(shù)的定義域、值域、極值、最值、判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性等.實(shí)際上的函數(shù)模型要引導(dǎo)學(xué)生逐步使用函數(shù)描述客觀世界事物.教師在課堂上引入具體的數(shù)學(xué)模型對(duì)中學(xué)生進(jìn)行教學(xué)，有利于學(xué)生理解和應(yīng)用函數(shù)的思想方法.

對(duì)以上兩個(gè)例子我們可以借助函數(shù)y=f(x)來描述生長(zhǎng)規(guī)律.

因?yàn)榫蜕L(zhǎng)規(guī)律來說，當(dāng)x增大時(shí)，y是增大的，這說明函數(shù)y=f(x)在指定的范圍內(nèi)應(yīng)該是增函數(shù)，又因?yàn)椴煌臅r(shí)間段有不同的增長(zhǎng)速度，所以函數(shù)y=f(x)不能是一次函數(shù).

為了簡(jiǎn)單起見，可以假設(shè)函數(shù)的變量x，y都是連續(xù)變化的(也就是說可以取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意值).

當(dāng)然，根據(jù)不同對(duì)象的生長(zhǎng)規(guī)律，可以選擇不同的函數(shù)形式.

類似地，對(duì)于玉米植株高度來說，因?yàn)樵鲩L(zhǎng)速度一開始比較慢，后來逐漸加快，而我們熟悉的函數(shù)中，只有指數(shù)函數(shù)y=aex(a>1)具有這種性質(zhì)，因此生長(zhǎng)規(guī)律可用h(x)=aebx來描述.

2.3 確定參數(shù),計(jì)算求解

例如，如果選擇的是g(0)=49.7與g(4)=103.1，則有

類似地，也可選擇表2數(shù)據(jù)中的兩對(duì)對(duì)應(yīng)值來確定函數(shù)h(x)=aebx中的a,b.

例如，如果選擇的是h(2)=1.75與h(8)=97.46，則有

由此可解得a≈0.458，b≈0.670,所以h(x)=0.458e0.670x.

2.4 模型檢驗(yàn)

最后分析模型結(jié)果.因?yàn)樵谇蠼鈺r(shí)，我們只用到了部分已有的數(shù)據(jù)，因此可以利用其他數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)所建立的模型的優(yōu)劣.

圖2 函數(shù)模型檢驗(yàn)圖

對(duì)于玉米植株高度函數(shù)h(x)=0.458e0.670x來說，可以得出函數(shù)在前面7個(gè)階段內(nèi)，h(x)的函數(shù)值與實(shí)際值之間的誤差不大.

三、數(shù)學(xué)建模教學(xué)要求

數(shù)學(xué)建模首先需要學(xué)生具備一定的知識(shí)儲(chǔ)備，其次學(xué)生要善于發(fā)現(xiàn)問題，[4]要有一定的數(shù)學(xué)邏輯思維和清晰的解題思路，再次需要學(xué)生分析問題，與所學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，最后學(xué)生要學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)模型及其函數(shù)知識(shí)等的應(yīng)用來解決實(shí)際問題.學(xué)生通過對(duì)高中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的學(xué)習(xí)，能夠拓展數(shù)學(xué)眼光，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).緊密聯(lián)系生活實(shí)際解決問題，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生產(chǎn)生活中的密切聯(lián)系，[5]能更好讓實(shí)際問題與數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)建模的思想方法產(chǎn)生聯(lián)系，培養(yǎng)自身應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思維能力.

3.1 對(duì)教師的要求

想要培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，最重要的是一線教師對(duì)數(shù)學(xué)建模相關(guān)的內(nèi)容有深入的了解，并能跟隨時(shí)代的步伐，恰當(dāng)巧妙地運(yùn)用信息技術(shù)手段呈現(xiàn)數(shù)學(xué)模型.這就對(duì)教師的教學(xué)提出了相應(yīng)的要求：

首先，因時(shí)而異：教師在教授學(xué)生建模思想和方法時(shí)，需要根據(jù)學(xué)生目前知識(shí)儲(chǔ)備、學(xué)習(xí)興趣、接受程度等各種因素進(jìn)行全方位、多角度的考量.

其次，因人而異：教師需要對(duì)所教授的內(nèi)容進(jìn)行有目的、有針對(duì)性、有可行性的篩選和排列組合，既要滿足學(xué)生的需求，激發(fā)學(xué)生的興趣，引起學(xué)生的關(guān)注，還要符合教學(xué)的培養(yǎng)目標(biāo)和提升學(xué)生的綜合素質(zhì)了.

再次，因勢(shì)利導(dǎo)：教師在教學(xué)過程中應(yīng)遵循循序漸進(jìn)、由淺入深的策略，切不可操之過急，避免引起學(xué)生的反感情緒，要科學(xué)開展，合理實(shí)施.

最后，在明確教學(xué)目標(biāo)的基礎(chǔ)上將理論和實(shí)際相聯(lián)系.比如在學(xué)習(xí)“函數(shù)模型和應(yīng)用”這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，我們根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)、課程特點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)情況，引入現(xiàn)實(shí)生活中兒童生長(zhǎng)規(guī)律和玉米植株生長(zhǎng)的現(xiàn)象，再與教材內(nèi)容相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探究，幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)模型和函數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用.這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維，使其思維得到拓展，又能幫助學(xué)生全面理解和把握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，從而使學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力得到全面有效的提升.[6]

3.2 對(duì)學(xué)生的要求

在參與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)后，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中學(xué)習(xí)到的知識(shí)發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題.而解決問題的關(guān)鍵之處在于學(xué)生是否對(duì)模型產(chǎn)生內(nèi)化的理解，產(chǎn)生對(duì)該類模型的感悟，才能抓住模型的本質(zhì)，從而將該模型應(yīng)用于實(shí)際生活當(dāng)中.而在這一應(yīng)用過程中，就要求學(xué)生從理解的角度對(duì)模型進(jìn)行記憶，把握其本質(zhì)內(nèi)涵，善于聯(lián)想，將模型依托于生活實(shí)際，這樣才能發(fā)揮數(shù)學(xué)建模提升學(xué)生自學(xué)能力的作用，使學(xué)生用自己獨(dú)特的語(yǔ)言理解數(shù)學(xué).

四、數(shù)學(xué)建模教學(xué)啟示

創(chuàng)新性思維的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的幫助.筆者在課堂開展一線數(shù)學(xué)建模活動(dòng)后，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在一線教學(xué)中的價(jià)值與幫助，并希望創(chuàng)新性思維能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課程在一線教學(xué)中的有效運(yùn)用.

4.1 數(shù)學(xué)建模激發(fā)學(xué)生興趣

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在一定程度上可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生探索數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情.任何學(xué)科想要發(fā)展學(xué)生的學(xué)科能力和素養(yǎng)，[7]都離不開學(xué)生個(gè)體本身對(duì)該學(xué)科的熱情與興趣.而數(shù)學(xué)建模活動(dòng)正是非常好的契機(jī)，利用數(shù)學(xué)建模活動(dòng)可以讓學(xué)生們領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)課堂與眾不同的一面，教學(xué)中可以利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行模型擬合，提前讓學(xué)生接觸一些數(shù)學(xué)類軟件.利用理工科的培養(yǎng)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、感知、操作、建模的活動(dòng)過程，可以使學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)活動(dòng)過程后能夠?qū)W有所思，學(xué)有所悟.

4.2 數(shù)學(xué)建模促進(jìn)學(xué)生思維

在一線教學(xué)過程中筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模也有利于促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式是講授法，多以教師的講解為主，學(xué)習(xí)者被動(dòng)地接受.而在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課程中，學(xué)生們隨著建模活動(dòng)的不斷進(jìn)行，在活動(dòng)中會(huì)不斷產(chǎn)生新的思考，這也不斷地刺激著學(xué)生的自我思維.學(xué)生思考模型和實(shí)際之間的區(qū)別，有利于其不斷地分析問題，解決問題，不斷促進(jìn)思維活動(dòng).一部分?jǐn)?shù)學(xué)模型比教師的提問或引導(dǎo)的效果更能直接有效地促進(jìn)學(xué)生思維活動(dòng).

4.3 數(shù)學(xué)建模發(fā)展學(xué)生自學(xué)能力

數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課堂能發(fā)展學(xué)生的自學(xué)能力.和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式相比較，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)課堂充分體現(xiàn)了過程性評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)理念，更加注重學(xué)生的發(fā)展.這樣的建模活動(dòng)落實(shí)了學(xué)生的主體地位，彰顯了以學(xué)習(xí)者自身發(fā)展為導(dǎo)向的目標(biāo).[8]學(xué)生們?cè)诮＿^程中的應(yīng)用、嘗試，都能有效地發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的發(fā)展性，都能夠有效鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升.學(xué)生在嘗試建模活動(dòng)中，[9]不斷試錯(cuò)不斷反思，也有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量的提升.

4.4 數(shù)學(xué)建模培育學(xué)生創(chuàng)新性思維

許多學(xué)生在題海戰(zhàn)術(shù)過后，產(chǎn)生了嚴(yán)重的思維定式，缺乏思維的創(chuàng)新性.而在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，通過對(duì)同一類問題的不同模型的建構(gòu)，可以有效地拓展學(xué)生的思路與視野，讓學(xué)生以不同的角度思考問題，學(xué)生的思路打開了，才能談問題解決的創(chuàng)新性.學(xué)生的空間想象能力、總結(jié)歸納能力尚有不足，但是在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，通過動(dòng)態(tài)化、直觀化的呈現(xiàn)，可以有效地彌補(bǔ)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和經(jīng)驗(yàn)方面的不足，從學(xué)生的基礎(chǔ)進(jìn)行發(fā)展，以達(dá)到培育學(xué)生創(chuàng)新性思維的目標(biāo).

結(jié)束語(yǔ)

以上就是筆者對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)在一線教學(xué)中的運(yùn)用策略的探討.簡(jiǎn)要來說，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)對(duì)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的意義和價(jià)值，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科能力的發(fā)展存在正相關(guān).高中階段的數(shù)學(xué)教師，也應(yīng)當(dāng)開發(fā)教材中的數(shù)學(xué)模型，促使數(shù)學(xué)建模思想在課堂中有效融入，切實(shí)提高課堂教學(xué)效率.