提升數學素養，源于教學課堂
——以蘇科版八年級下冊第11章反比例函數的圖象與性質為例

◎康 聰

(蘇州高新區實驗初級中學，江蘇 蘇州 215000)

數學素養屬于認識論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征.具有數學素養的人善于把數學中的概念結論和處理方法推廣應用于認識一切客觀事物.數學素養的培養源于課堂，因此，教師的引導要注重知識的發生、發展過程，從一般到特殊，從簡單到復雜.基于此，筆者試以“反比例函數的圖象和性質1”為例，對核心素養的培育進行剖析.

一、復習回顧

師：我們在畫一次函數的圖象的時候，主要經歷了哪些步驟？

生1:列表、描點、連線.

生2：學習一次函數的過程是概念、圖象與性質和應用.

師：好的，借助函數圖象，我們研究了性質(PPT展示一次函數的學習路徑).

師：我們舉一個一次函數的例子：y=2x+1，誰來說一說它的性質？

師：很好，我們通過畫一次函數的圖象，確定了函數的性質.借助這樣的經驗，我們繼續踏上新的學習旅程，昨天我們學習了反比例函數，現在我們來看這樣的問題.

設計目的：學習過程注重數與形的結合，動態生成學習情境，學生通過形的特點引出一次函數的性質.“函數”是我們已經掌握的一種數學模型，學生在已有的知識生長點，探究反比例函數的學習方式.

二、新課引入

(一)初探：猜想、驗證

板書呈現：

生：x≠0，因為x=0時分式無意義.

師：x≠0，說明函數圖象與y軸無交點.那么y的值可以等于0嗎？

師：既然x，y取不到0，那么這個函數圖象在平面直角坐標系中會有什么特點呢？

生：分成兩部分：當x>0時，y>0；當x<0時，y<0.

師：具體說說，怎么得到的呢？

師點評：很好，這樣確定了圖象在第一、三象限，還有其他內容嗎？

生：當x>0時，y隨x的增大而減小；當x<0時，y隨x的增大而減小.

師：誰能把這個變化趨勢具體化？

生：當x>0時，如，x=2，y=3；x=6，y=1.此時y隨x的增大而減小.

當x<0時，如，x=-1，y=-6；x=-2，y=-3.此時y隨x的增大而增大.

所以要分成兩部分說明反比例函數圖象的分布區域.

師：如果不討論x的范圍，那么變化趨勢相同嗎？

生：不同，如，當x=2，y=3，當x=-1，y=-6，此時y隨x的減小而減小，與剛才的推理不符.

設計目的：問題是數學的心臟，是思維的起點.學生通過發現問題、解決問題的過程，能由數想形，自主建構學習內容，突破反比例函數的重點內容，進而發揮主觀能動性，獲得探求新知識的智力價值和智慧價值.

(二)再探：列表、交流

(教師觀察學生的作圖情況，并展示學生的作圖成果)

師：我們一起來看畫好的圖象，并進行一一驗證.

①第一、三象限；

②與坐標軸沒有交點；

③當x>0與x<0時，y都隨x的增大而減小.

第一步，列表.

師：在表格中，我們怎樣取值比較好呢？取值需要注意什么事項呢？

生1：取整數，這樣計算方便.

生2：正負數都要取.

生3：多取點，這樣畫圖精確.

師：根據剛才大家的反饋，我們在列表時，自變量x的取值要注意以下幾點(PPT)：

(1)在自變量取值范圍內取值；(x≠0)

(2)一定要有代表性；(兼顧正、負)

(3)大小要適度；(描點時好操作)

(4)要盡量多取一些數值.

師：通過表格，你準備取哪些值呢？

xy=6x

生：從小到大取，可以取-6，-4，-3，-2，-1,1,2,3,4,6，等等.

教師填寫數據，展示學生畫圖的成果.

第二步，描點，連線.

師：兩點之間，是線段還是曲線呢？

生：如果是直線，那么應該是一次函數，我們可以在反比例函數圖象上任取一個點，來驗證它是否在這條直線上.

生：取(1.2,5).

教師在幾何畫板演示，發現點(1.2,5)在曲線的下方.

師：這說明我們構造的整數點之間的連線，不是直線.把自變量范圍內的點進行細化，隨著點數的增加，構造圖象的點越來越密，幾何畫板充分展現了反比例函數圖象中的兩支曲線的生成過程，學生經歷了曲線的產生過程，并由此理解反比例函數是曲線，為高中學習微積分知識做好鋪墊.

教師展示反比例函數的圖象.

師：借助圖象，我們繼續來研究反比例函數的性質.

生：有兩條曲線.

師：這兩條曲線又叫雙曲線.那么，雙曲線有什么性質呢？

生：增減性：當x>0時，y隨x的增大而減小；當x<0時，y隨x的增大而減小.

師：很好，強調了雙曲線的增減性要分成兩個象限，這是一個非常重要的內容(板書).

歸納(板書)：當k>0時：

(1)函數圖象分別位于第________象限.

(2)在第________象限，y隨x的增大而________.

設計目的：推理是數學知識形成的重要手段，學生通過猜想反比例函數的圖象及性質，畫出圖象的輪廓，再驗證猜想的過程，進而達到在思辨中內化知識，拓展思維能力的目的.

(三)三探：完善、展示

歸納(板書)：當k<0時：

(1)函數的圖象分別位于第________象限；

(2)在第________象限，y隨x的增大而________.

師：通過畫圖情況，我們知道點與點之間用光滑的曲線連接，那么在自變量x靠近0的部分，如果k>0，函數值y會有怎樣的特點呢？

生：當x>0時，圖象無限靠近y軸正半軸，x越小，y的取值越大.同樣地，當x<0時，圖象無限靠近y軸負半軸，x越大，y值越小.

師：類似地，當x取無窮大時，y值有怎樣的對應情況呢？

生(齊說)：y值趨于0.

師(完善曲線)：無限接近x，y軸，但不與x，y軸相交，這就是漸近性.這樣，我們就得到了反比例函數圖象向坐標軸無限靠近的性質.

設計目的：學生用類比的思想得到反比例函數(k<0)的圖象與性質，并用文字語言歸納概括，水到渠成.

(四)歸納總結

師：請同學們回顧，本節課你有什么收獲呢？

生1：學習了反比例函數的圖象和性質.

生2：在探究函數的性質時，學到了一些解決問題的策略：實例—猜想—驗證—歸納.

師點評：很好，學習數學不但能擴大我們的知識領域，更重要的是能提高我們解決問題的能力，這就是數學素養的魅力！

師：通過一次函數的學習生長點，我們進行以下學習方式：

設計目的：注重培養學生的開放、靈活、自信、專注、合作等良好品質和獨立思考能力.本節課整體的課程設計都采用自主探究的學習方式，學生在感悟獲取知識的同時，經歷知識的生成和推導的過程，并在這一過程中感悟數學思想，提升數學核心素養.

(五)教學思考

數學概念獲得的過程是典型的數學抽象的過程，教師在教學過程中應盡可能地創設適合學生的問題情境，設計對概念的概括與提煉更加精準的學習活動，凸顯概念的“再創造”的過程.波利亞認為：“學東西最好的途徑是親自去發現它.”學生已經學習過一次函數，可以在已有的學習經驗中自主探索反比例函數的圖象和性質，另外，教師要圍繞教學目標進行深度探索，運用探究式教學，實現學生對數學知識和方法的深刻理解的目的.

注重知識的外延有利于核心素養的銜接.反比例函數的圖象是曲線，學生通過解析式具體分析，可以判斷圖象不能是直線，并驗證成功；教師通過幾何畫板，構造連線過程，進而說明反比例函數圖象是曲線的緣由.漸近性刻畫了函數的極限思想，當x趨于無窮大時，y趨于0，這為高等數學極限學習打下基礎，從感性認識到理性探究，為培養學生直觀想象、抽象素養、邏輯推理素養創造條件.這有利于學生積累用數學思維思考問題的經驗，進而提升邏輯推理素養.

學生的核心素養和關鍵能力的培養，對課堂的品質要求越來越高，而學生的思維培養具有長期性.因此，教師在課程整體結構設計中，要以學生的學習能力和素養為育人目標，在知識脈絡上協調數學知識、方法、思想、能力及素養等各個要素之間的關系，從而達到新舊知識的關聯、建立數學各分支的內在聯系，及數學思想方法連貫性的統一要求.