二次函數(shù)教學(xué)實(shí)用方法
——二次函數(shù)的復(fù)習(xí)攻略

◎張 躍

(四川省眉山市東坡區(qū)太和鎮(zhèn)悅興初級中學(xué)，四川 眉山 620039)

翻閱所有版本的教材，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的內(nèi)容都是從特殊二次函數(shù)到一般二次函數(shù).利用逆向思維，復(fù)習(xí)時我們不妨從一般到特殊，打亂原有不變的教學(xué)模式，來個大反轉(zhuǎn).

二次函數(shù)的圖象都是拋物線，視二次項(xiàng)系數(shù)a>0還是a<0分為開口向上和開口向下兩種.

當(dāng)判別式Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

特殊情況：

(2)當(dāng)b=0時，二次函數(shù)為y=ax2+c，配方為y=a(x+0)2+c.圖象頂點(diǎn)為(0,c)；對稱軸為直線x=0;與y軸交點(diǎn)為(0，c).

(3)當(dāng)b=0且c=0時，二次函數(shù)為y=ax2，配方為y=a(x+0)2+0.圖象頂點(diǎn)為(0,0)；對稱軸為直線x=0;與y軸交點(diǎn)為(0，0).

也就是說，所有的特殊情況都符合一般情況的公式，不必再分情況一一講解，既節(jié)省了時間，也提高了學(xué)習(xí)效率，何樂而不為呢？

若b=0，則拋物線與y軸只有一個交點(diǎn)(0，c)，此時對稱軸為直線x=0，則在y軸左側(cè)和右側(cè)找到一對對稱點(diǎn)即可.

拋物線的雛形形成，進(jìn)行延伸即得拋物線草圖.

有了草圖，在對稱軸兩側(cè)根據(jù)圖象走勢便可得到圖象的性質(zhì).

圖1

圖2

這說明，所有的特殊情況都包含在一般情況中，掌握了一般情況，特殊情況勿需一一贅述，進(jìn)而起到事半功倍的效果.

說到底，二次函數(shù)的圖象歸結(jié)為一條對稱軸，三個點(diǎn)，這樣，草圖的繪制很快完成，有了草圖，便可以根據(jù)草圖得出開口向上或向下、函數(shù)的增減性等.當(dāng)然，配方是基礎(chǔ)，只有正確且快速地配方，才能迅速準(zhǔn)確地作答.

對于二次項(xiàng)系數(shù)a的作用，可概括為兩點(diǎn)：一是a的正負(fù)決定拋物線的開口方向，二次項(xiàng)系數(shù)a>0，開口向上；二次項(xiàng)系數(shù)a<0，開口向下.二是a的絕對值決定拋物線的開口寬窄，a的絕對值越大，函數(shù)值y變化越快，坡越陡，開口越窄；a的絕對值越小，函數(shù)值y變化越慢，坡越緩，開口越寬.

c的作用是決定拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).當(dāng)c=0時，拋物線與y軸交于原點(diǎn)；當(dāng)c>0時，拋物線與y軸交于正半軸；當(dāng)c<0時，拋物線與y軸交于負(fù)半軸.

判別式Δ=b2-4ac的作用就是在函數(shù)值y=0時，判別一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根的對應(yīng)情況.

幾種二次函數(shù)的圖象特征歸納如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=ax2即y=a(x-0)2+0y=ax2+k即y=a(x-0)2+ky=a(x-h)2即y=a(x-h)2+0y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c 即y=a(x+b2a)2+4ac-b24a當(dāng)a>0時,開口向上;當(dāng)a>0時,開口向下.直線x=0(0,0)直線x=0(0,k)直線x=h(h,0)直線x=h(h,k)直線x=-b2a-b2a,4ac-b24a()

求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常有三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，所以應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用.

例1如圖3，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC，有下列結(jié)論：

圖3

其中正確的結(jié)論有( ).

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

例2函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c(a≠0)在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是( ).

分析因?yàn)閍≠0，所以分a>0，a<0兩種情況來討論兩函數(shù)圖象的分布情況.如果a>0，那么函數(shù)y=ax+b的圖象必經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，所以D不正確.如果a>0，b>0，那么函數(shù)y=ax+b的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)，所以B不正確.如果a>0，b<0，那么函數(shù)y=ax+b的圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè)，所以C正確.如果a<0，那么函數(shù)y=ax+b的圖象必經(jīng)過第二、四象限，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下，所以A不正確.因此答案為C.

結(jié)論在同一直角坐標(biāo)系中研究兩種函數(shù)圖象的分布情況，待定系數(shù)a，b必須滿足一致性，也就是說，討論a，b的符號一致性是解決本題的關(guān)鍵.a，b的符號不但決定了一次函數(shù)圖象的分布情況，還決定了拋物線的開口方向和對稱軸的位置.

總之，二次函數(shù)要過關(guān)，配方扎基礎(chǔ)，要知性質(zhì)需畫圖，畫圖只需畫草圖，牢記三點(diǎn)畫草圖，有了草圖性質(zhì)全了知.反之，已知草圖論，判斷a,b,c的相關(guān)情況便容易得多.