學生數學問題提出能力的培養策略
——以“等比數列”教學為例

◎王菁菁 湯 強

(西華師范大學數學與信息學院，四川 南充 637000)

一、問題提出

2017年頒布的《普通高中數學課程標準》提出六大核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模，直觀想象、數學運算、數據分析，旨在引導學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.換而言之，便是要引導學生從數學的角度提出有價值的問題，通過提問促進思考，通過思考促進理解，通過理解加深應用.在“知網”查詢與學生數學問題提出有關的期刊、文獻和碩士論文，我們可以發現學生提出數學問題的能力直接影響其對數學知識的理解以及學習數學的興趣，最終影響數學知識的掌握和運用.

將現有研究進行總結，往往涉及以下四個方面：第一，注重從學生自身出發，找到影響學生問題提出能力的因素，再提出相應的策略，比如，向興等學者便通過調查問卷研究非智力因素對學生問題提出能力的影響[1]，安徽師大丁亞元從元認知訓練入手進行實證研究[2]，有的學者研究創造性人格對問題提出能力的影響，邏輯推理能力和問題提出能力的關系，逆向思維對問題提出能力的影響等.第二，從數學問題提出和解決之間的關系入手.第三，從問題提出能力的評價體系入手.洪清玉等學者將測評模型分為三部分內容，分別是問題的本質特征、問題的數學特征、問題的語言特征，具有一定的靈活性和操作性[3].第四，從培養策略入手，通過具體的教學方式或者教學環節，如問題—情境研究，翻轉課堂等.

通過上述整理分析我們知道，學生問題提出能力的發展除了依靠個人外，還十分依賴教師的引導，教師的教學會潛移默化地對學生思維和能力產生影響.因此，本文立足于高中教學內容：等比數列，從以下幾個角度提出培養學生數學問題提出能力的策略以及有關的建議，希望教師在培養學生問題提出能力的時候，有方向可尋.

二、培養學生數學問題提出能力的策略

在教學過程中,如何選擇合適的方式或者策略引導學生提出問題，將直接影響學生問題提出能力的培養方向，因此，教師在備課時，要仔細研究課標、教材，提前準備好相應的教學設計，注重預設性和生成性，仔細研究與打磨每個提問環節.在教學的引入環節要借助情境，但不能僅依靠情境，不能為了情境而創設假情境；在形成概念的環節，要通過問題鏈，一步步誘導學生得出概念，并對初步形成的概念提出疑問，進而完善概念；在練習鞏固環節，要立足基礎知識和基本技能，引導學生對問題進行變式；在教學反思中，要在現有基礎上不斷改進教學方式，不斷完善提問方式.另外，在教學的整個環節中，教師要注重師生平等交流，使學生不害怕犯錯，不擔心提出的問題被忽略，進而合理地把控教學進度.

1.培養學生問題提出能力的“源泉”：創設適宜的問題情境

雖然數學源于生活，但在數學概念的形成過程中，已經舍去了非本質屬性，保留了其本質屬性.[4]因此，不少學生對學習數學感到害怕.弗賴登塔爾曾說過：“數學源于現實，寓于現實，用于現實.”數學教學要注重兩個現實，分別是學生的現實和數學現實.創設合適的問題情境不僅可以建立兩個現實的聯系，而且可以激發學生的問題意識[5].

在“等比數列的前n項和公式”一課中，教師創設如下情境：象棋發明者在第1個格子上放1枚麥粒，在第2個格子上放2枚麥粒，在第3個格子上放4枚麥粒，以此類推……[6]教材中將64個格子上放的麥粒總數和國王現有的總麥粒數進行對比，體現數字的龐大.其實，類似于這種指數增長模型，學生在必修1的學習中已經深有體會，教材將問題直接拋出來，雖然引出了本節課的課題，卻忽略了學生發現和提出問題的能力.因此，教師在本節內容情境創設時，可以這樣設計：在第1個格子上放1枚麥粒，在第2個格子上放2枚麥粒，在第3個格子上放4枚麥粒，以此類推……[5]你能提出什么問題？你能夠解決嗎？有的學生可能想到：第8個格子上有多少枚麥粒？有的學生可能想到：第50個格子上總共有多少枚麥粒？對于第一個問題，可以通過等比數列的通項公式進行求解，這有利于鞏固上節課所學的知識.對于第二個問題，教師可以引導學生觀察思考，并動手操作，找出項與項之間的聯系，從而引入本節課的課題.學生提出數學問題，再將該問題解決，不僅能夠體會成功的快樂，還能喚醒學生的問題意識.

2.培養學生問題提出能力的“前提”：教師有問題意識，注重提問深度和廣度

學生的能力和思維的發展主要是在學校進行培養的，尤其是數學思維和數學能力.因此要培養學生的問題提出能力，教師就要有問題意識，意識到問題提出的重要性，并要了解學生的認知水平，將教材中的數學內容進行“再創造”，多想想：該方法如何讓學生想到？如何讓學生“再發現”？學生能夠提出哪些問題？這些問題之間有何聯系？需要哪些知識和方法才能解決？如何進行引導從而體現本節課的重點，突破難點？

在“等比數列前n項和公式”一課中，學生在求解自己提出的數學問題時，如：第8個格子上有多少枚麥粒？該問題可以通過一步一步計算解決，但對于問題：第50個格子上有多少枚麥粒時，如果一步一步計算，可見計算量之大，S50=1+2+22+23+24+…+250，觀察式子中每項的特點，發現依次相差了一個公比2，從而有的學生會想到能不能每項都乘2，也就是能不能等式左右兩邊都乘2，從而得到這種具體的等比數列求前n項和的方法：

S50=1+2+22+23+24+…+250，

2S50=2+22+23+24+…+250+251，

(1-2)S50=1-251，

S50=251-1.

教師提問：這種方法具有一般性嗎？對于一般的等比數列該如何求解？等式左右兩邊乘q的實質是什么？可以乘q2或者q3嗎？還有其他方法嗎？通過問題串，引導學生思考錯位相減法的本質，使其體會數學中的簡潔美.問題串的提出可以促進學生思考，給學生提供思考的方向，但也對教師提出了高要求，即要提出具有層次性，具有深度和內涵的數學問題，因此，教師必須加強數學專業知識和數學教學教法的學習.

3.培養學生問題提出能力的“手段”：提倡變式教學，注重一題多解

改變原問題的條件或者結論，引導學生進行變式練習，不僅有利于學生掌握知識，而且有利于開拓學生的思維.一題多解的過程可以使學生從多個角度進行考慮，避免思維定式，有利于發展思維的發散性，同時，學生還需要思考：有沒有其他解法？哪種方法更簡便？哪種方法更具有一般性?如果改變問題的條件，該結論成立嗎？

在“等比數列前n項公式”一課中有這樣一道課后習題：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數列，求證a2,a8,a5成等差數列.

通過常規思路，學生會想到：

①當q=1時，Sn=na1(不符合題意，舍去)；

化簡可得2q6=1+q3，兩邊同乘a1q，可得a2,a8,a5為等差數列.

教師將這道題進行變式：

變式1：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數列，求證a1,a7,a4成等差數列.

變式2：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S3,S9,S6成等差數列，求證a3,a9,a6成等差數列.

教師提問：你發現了什么規律？你還能提出什么問題？

學生可以發現這道題的本質是S3,S9,S6成等差數列，即2q6=q3+1，在這個基礎上，左右兩邊同乘，首項為a1，公比為q的等比數列，該結論是成立的.學生由此提出如下變式問題：

變式3：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S4,S10,S7成等差數列，求證a2,a8,a5成等差數列.

變式4：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，S5,S11,S8成等差數列，求證a2,a8,a5成等差數列.

通過以上兩個改變問題條件的變式，可以再次發現a2,a8,a5成等差數列的本質是2q6=q3+1，在此基礎上同乘某個相同的數，轉換到下角標，也就是對于任意的Sn,am，只要n-m的值對應相等，該變式就是成立的.

教師提問：“能否繼續推廣呢？”

變式5：已知Sn是等比數列{an}的前n項和，Sk,Sm,Sn成等差數列，求證ak+1,am+1,an+1成等差數列.

通過以上五個變式，學生能在教師的帶領下，自己提出問題，從而領悟問題的實質，這不僅培養了學生的問題意識，而且提高了學生問題提出的能力，還為學生提供了思考的方向，以變式教學或者一題多解為基礎，給學生提供思考的方向，使學生在遇到相應的題目時，知道從哪些角度提出問題，進而打破固有思維，鍛煉數學思維.

4.培養學生問題提出能力的“保障”：注重四基的教學，改進教學方法.

四基指的是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.[7]學生數學問題的提出要建立在自己已有知識基礎上，將新舊知識進行對比，找到自己思維的困惑點，從而提出相應的問題.因此，教師要打牢學生的基礎知識，鍛煉其相應的數學技能.在教學或者習題的練習中，教師要深入挖掘蘊含其中的數學思想及方法，帶領學生經歷數學知識的發展過程.試想：如果學生連等比數列的概念中的公比、通項公式an=a1qn-1都不能理解，又怎么能靈活地運用通項公式進行解題呢？只有基礎扎實，學生在提出問題的時候才能有思路、想法，才敢于質疑，也才有提出問題的自信心.因此，教師在教學時，要不斷改進教學方法，牢牢把握教學的重點，突破教學的難點，不可過多提供難題和怪題，并要注重教學方法多樣化，根據不同的課型、不同的數學知識，采取不同的教學方法.另外，教師要根據學生的已有知識水平和最近發展區，對不同層次的學生提出不同的要求.[8]

5.培養學生問題提出能力的“溫床”：營造良好的學習氛圍，注重師生交流.

教學是教師教和學生學的過程，是雙邊互動的過程，教師不是權威者，而是學生學習的幫助者和引導者.胡典順教授曾說：“現在教學往往是教師的獨白，教師進行的是個人表演，課堂上聽不到學生的聲音[9].”如果師生連交流的機會都沒有，那么學生又怎么能夠提出數學問題呢？只有在師生平等的基礎上，學生才能心平氣和地和教師交流，闡述自身的觀點，教師也不一竿子打死，要留給學生思考的余地.在“等比數列的概念”的教學中，學生可能會提出這樣的問題：為什么要求后一項和每一項的比值為同一個常數？為什么要討論q=1這種情況呢？面對課堂上無法解決的問題，教師不可認為是學生想太多或者異想天開，要讓學生把注意力集中到數學解題上，如果教師多次否定學生的提問思路，那么學生還能勇敢地提出問題嗎？因此，教師要在完成教學目標的同時，多肯定學生的提問，多鼓勵學生提出問題，盡可能和學生一起解決問題.

三、教學建議

基于以上研究內容，為了能夠更好地培養和提高學生的數學問題提出能力，從教師和學生的角度提出了以下建議，可供思考.

1.教師角度

1.1 要多鼓勵學生，使學生敢問

在教學過程中，教師在傳授知識的同時要避免一言堂，避免牽著學生的鼻子走，要留給學生足夠的空間，營造民主、平等的氛圍.并且，教師要多鼓勵學生，拉近與學生之間的距離，使學生感到教師值得信賴，即使自己提出的問題很幼稚，很可笑，也不會受到教師的批評，可以放心大膽地提問.若學生的整個情緒處于放松狀態，則會集中注意力聽課，進而跟上教師的思維進度.

1.2 注重數學語言符號，幫助學生有效選擇思考方向

數學往往以其抽象性和形式化聞名，有些學生在其他課堂上比如英語或者語文能夠提問，可上數學課卻變得十分安靜，在和這部分學生交流的過程中，學生說的最多的話便是：我也想提問，但我不知道該怎么提問，有時候我連題目都讀不懂.所以，教師在基礎知識的教學中，要多分析數學語言和符號，注重抽象與具體的轉化，多引導學生得出本節課所要學習的知識和其中蘊含的數學思想方法.對于學困生，教師要組織作業互幫小組，使其在互幫過程中，能夠更好地融入其中，進而掌握知識.

1.3 要及時反饋，使學生獲得自我效能感

教師對學生提出的每個有意義的問題，都要及時地進行反饋，不可打擊學生的自信心.學生在提問的過程中，教師可通過語言、動作、表情傳遞給學生一種親切的情感信息.從影響學生問題提出能力的因素中，自我效能感、學習興趣、情緒等非智力因素與問題提出能力之間呈正相關，因此，在教師每次積極的反饋中，學生可以獲得完成數學任務的信心，即使有的問題超過教師能夠解答的范圍，教師也不應該感到難堪，而要因勢利導，創造條件，課后和學生一起對問題進行探究.

2.學生角度

2.1 要有鉆研精神，有提問意識

數學的抽象性使得部分學生覺得數學枯燥乏味，沒有學習興趣，也就談不上提出問題，但通過調查與研究，我們發現只要投入其中，認真思考每一個解答步驟，對不懂的、有疑問的環節進行提問，便能解決問題，進而充分獲得成功的喜悅，這種喜悅感是任何東西都無法替代的.因此，在學習的過程中，如果遇到瓶頸，別擔心，繼續鉆研下去，在獨立思考的基礎上，提出自己的問題.

2.2 能夠獨立思考，有良好的學習習慣

在學習的過程中，部分學生看起來很認真，也喜歡提問，但成績依然不見起色.究其原因，有兩點：第一，提的問題無意義，沒有從數學知識或者思想方法入手，只是浮于表面.第二，沒有進行獨立思考，總想著依靠其他同學幫忙解決，導致在遇到同類型的問題時，依舊無法解決.因此，要對自身嚴格要求，先獨立思考，再提出與數學知識或者方法有關的問題.

總之，學生數學問題提出能力的培養不是在一節課上就可以完成的，而是貫串整個教學過程.學生數學問題提出的能力不是單方面依賴于教師，而是依賴于本人，學生只有自己想學，自己有問題的意識，才能更多地提出問題.但是教師在學生數學問題提問的過程中起著關鍵性的作用，因此，教師要改變自身的教學觀念，注重師生對話，樹立良好的學生觀和數學教育觀，在數學學習過程中，學生有一定的模仿性，他們會模仿教師的提問技巧、提問方法等，因此，在教學過程中，教師要在創設適宜的問題情境的基礎上，以自身為代表提出多樣性的數學問題，注重變式教學和一題多解，牢牢把握四基教學，深入挖掘數學思想方法，不斷提高自身知識底蘊和教學技能.