圓孔和矩形孔夫瑯禾費衍射的MATLAB仿真對比研究

何皓軒 史仟芝 楊莎 劉家興

摘?要：根據夫瑯禾費衍射的基本原理，利用MATLAB仿真模擬圓孔和矩形孔的夫瑯禾費衍射，觀察孔徑大小與夫瑯禾費衍射圖樣的關系，發現孔徑越小，衍射現象越明顯。接著通過矩形孔和圓形孔互為內接圓和外接圓的關系進行對比，研究衍射屏形狀對夫瑯禾費衍射圖樣的影響，分析其夫瑯禾費衍射圖樣的特征，衍射圖樣對孔的形狀有較大的依賴關系，且在孔徑大小相當的情況下，矩孔的夫瑯禾費衍射比圓孔的夫瑯禾費衍射更加明顯。計算機仿真能快速、準確的改變衍射屏的形狀和大小，這對學生形象、直觀的理解夫瑯禾費衍射提供一種有益的輔助手段。

關鍵詞：夫瑯禾費衍射;MATLAB仿真;圓孔;矩形孔

中圖分類號：O436.1?文獻標識碼：A

Abstract：According to the basic principle of Fraunhofer diffraction，the Fraunhofer diffraction of circular hole and rectangular hole is simulated by MATLAB，The relationship between the aperture size and Fraunhofer diffraction pattern was observed，and found that the smaller the aperture，the more obvious the diffraction phenomenon.Then，the influence of the shape of the diffraction screen on the Fraunhofer diffraction pattern is studied and the characteristics of the Fraunhofer diffraction pattern are analyzed，The diffraction pattern has a great dependence on the shape of the hole，and the Fraunhofer diffraction of the distance hole is more obvious than that of the circular hole when the aperture size is the same.It has a certain reference significance for students to understand Fraunhofer diffraction vividly and intuitively.

Keywords：Fraunhofer diffraction;MATLAB simulation;circular hole;Rectangular hole

1 概述

光繞過障礙物偏離直線繼續向前傳播而進入幾何陰影，并在屏幕上出現光強分布不均勻的現象稱為光的衍射，光的衍射現象是說明光波動性的實驗依據，而夫瑯禾費衍射實驗是大學物理實驗的基礎實驗之一[1-3]。認識衍射現象的圖樣特征是大學物理教學中必須掌握的內容，但在現實生活中光的衍射現象是不明顯的，通常情況下不易為人們所覺察，而在實驗室中，雖然夫瑯禾費衍射實驗簡單易做，但是實驗中所選用的衍射屏的形狀、大小相對單一，并且當衍射條件改變時衍射圖樣的變化有時肉眼是較難分辨出來的，不能很好地反映衍射圖樣與衍射屏的形狀、孔徑大小的關系，因此需要借助計算機來對衍射圖樣進行仿真模擬，達到對衍射現象的直接觀察和理解的目的[4-6]。文中通過理論分析，利用MATLAB軟件進行仿真，模擬圓孔和矩孔的夫瑯禾費衍射圖像，對比不同衍射屏孔的形狀和大小的衍射圖樣關系。

2 夫瑯禾費衍射原理

在光學上，夫瑯禾費衍射（以約瑟夫·馮·夫瑯禾費命名），又稱遠場衍射，是波動衍射的一種，在場波通過圓孔或狹縫時，衍射光強重新進行分布的一種現象。在標量衍射的理論中，夫瑯禾費近似是在菲涅耳衍射積分遠場近似的進一步處理的基礎上得到的，其計算公式如下[7]：

2.1 圓孔夫瑯禾費衍射原理

如果在觀察夫瑯禾費單縫衍射的裝置中，用小圓孔代替狹縫，仍以激光作為光源，那么可以觀察到夫瑯禾費圓孔衍射圖樣，夫瑯禾費圓孔衍射在屏上任一點的光強為[8]：

式中θ表示衍射角，R為圓孔半徑，λ為光的波長。

2.2 矩形孔夫瑯禾費衍射原理

在觀察夫瑯禾費單縫衍射的裝置中，若用矩形孔代替狹縫，仍以激光作為光源，那么可以觀察到夫瑯禾費矩形孔衍射圖樣，夫瑯禾費矩形孔衍射的強度分布公式為[8]：

3 夫瑯禾費衍射的Matlab仿真

3.1 夫瑯禾費圓孔衍射的Matlab仿真

根據公式（3），利用Matlab軟件進行編程運算，在入射光波長和其他條件保持不變的情況下，如λ=632.8nm，當圓孔半徑R=1mm時，衍射圖樣如圖1所示，衍射圖是一組同心的明暗相間的圓環，中央亮斑的光強很強，遠大于第二亮環的光強，從中央亮斑向外，隨著級次的增加，條紋寬度變窄，與參考教材[5，6]對比現象一致，且衍射效果更加明顯;改變圓孔的半徑，如圓孔半徑當R=0.1mm和R=001mm時，衍射圖樣分別如圖2和圖3所示，由圖可知，在其他條件不變的情況下，隨著半徑的減小，衍射圖樣中央亮斑變大，衍射條紋變寬，分布比較分散，衍射圖樣更加明顯，衍射寬度與圓孔尺寸成反比，即圓孔的尺寸越小衍射光斑的尺寸越大。

3.2 夫瑯禾費矩孔衍射的Matlab仿真

根據公式（4），利用Matlab軟件進行編程運算，在入射光波長保持不變的情況下，如λ=632.8nm，當矩孔邊長a=1mm，b=5mm時，衍射圖樣如圖4所示，衍射亮斑集中分布在x軸和y軸上，呈“十”字狀，且x方向衍射比y方向的衍射更加明顯;隨著a的變大，y方向的衍射變得越來越明顯，如a=3mm，b=5mm時，衍射圖樣如圖5所示;當a=5mm，b=5mm時的衍射圖樣如圖6所示，即當a=b時，x方向的衍射和y方向的衍射一樣，所以，衍射擴展與矩孔的寬度成反比，在哪個方向上限制，就在該方向上擴展。通過圖4～6的三維圖還可以發現，衍射孔由長方形變化到正方形的過程中，三維圖樣從扁平逐漸變為立體。

3.3 圓孔與矩孔夫瑯禾費衍射的Matlab仿真對比

圓孔與矩形（正方形）孔對比，當2R=a=b時，即圓孔大小為方形孔的內接圓的衍射圖樣如表1所示，比較表1中A組和B組，圓孔的衍射圖樣為明暗相間的同心圓環，矩形孔的衍射圖樣為“十”字形明暗相間圖案，即夫瑯禾費衍射圖樣對衍射屏的形狀有較大的依賴關系，且在圓孔的直徑等于正方形孔的邊長的情況下，正方形孔衍射屏可觀察到的次最大級數更多，衍射現象更加明顯，三維圖形未有明顯差異。于是，又做了圓孔為正方形孔的外接圓的夫瑯禾費衍射圖樣對比研究，即圓孔半徑和正方形邊長滿足R2=a2+b2，（a=b）時的夫瑯禾費衍射圖樣，如表2所示，還是發現矩孔的夫瑯禾費衍射次最大級數多于同孔級別的夫瑯禾費圓孔衍射，在三維圖像上矩孔比圓孔稍大，所以，在孔徑相差不大的情況下，矩孔（正方形孔）的夫瑯禾費衍射比圓孔的夫瑯禾費衍射更加明顯。

結語

本文利用夫瑯禾費衍射標量場理論，分別模擬了光在圓孔和矩孔情況下的夫瑯禾費衍射圖樣，發現隨著孔尺寸的減小，衍射效果更加明顯，這與理論上是一致的。通過內接圓和外接圓的對比，分析了孔形狀對夫瑯禾費衍射衍射圖樣的影響，在孔徑相差不大的情況下，矩孔（正方形孔）的夫瑯禾費衍射比圓孔的夫瑯禾費衍射更加明顯，這充分體現了計算機模擬仿真可使教學手段更直觀、更豐富的特點。

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[8]姚啟鈞.光學教程[M].北京：高等教育出版社，1988：64-93.

項目：貴州師范學院大學生科研項目（2020DXS084）

作者簡介：何皓軒（2000—?），男，漢族，貴州納雍人，貴州師范學院物理與電子科學學院2019級物理學本科生。

*通訊作者：劉家興（1985—?），男，貴州正安人，碩士，副教授，主要從事大學物理教學方面的研究工作。