單活塞線性斯特林制冷機半正定減振系統研究

孔德銳，夏 明，唐天敏，畢 翔

〈制冷技術〉

單活塞線性斯特林制冷機半正定減振系統研究

孔德銳，夏 明，唐天敏，畢 翔

（昆明物理研究所，云南 昆明 650223）

當前，對于吸振器和單活塞線性斯特林制冷機振動系統的研究，幾乎都是在已知制冷機進行某種固定安裝方式的正定模型上進行的。而這種正定方法由于缺乏對制冷機和吸振器系統固有頻率的分析，當改變系統的安裝方式后，可能會產生共振并減小吸振器的減振效果。基于此，本文將對制冷機和吸振器振動系統在未進行任何安裝時的半正定模型進行理論分析，并通過懸掛測試法對制冷機適配吸振器前后進行振動實驗。由此得到了系統在半正定模型下的理論固有頻率值為78.6Hz。而通過實驗可發現，受吸振器實際加工和裝配的影響，系統的固有頻率隨吸其剛度的增大而增大，其增大的范圍在78.1～80.8Hz之間。

單活塞線性斯特林制冷機；吸振器固有頻率；半正定模型

0 引言

隨著紅外探測器朝著高溫區發展，所需的制冷溫度降低，增加了對制冷機小尺寸（size）、輕質量（weight）和低功耗（power）的SWaP要求，這使得單活塞線性斯特林制冷機的應用逐步廣泛[1-2]。單活塞線性斯特林制冷機相較于旋轉集成式而言具有可靠性高和降溫時間短等特點，而較于雙活塞對置式又具有質量輕、尺寸小和安裝靈活性高等優點[3-4]。

盡管這種制冷機具有出眾的性能優勢，但因為壓縮機獨特的單活塞結構，使其運行時會在軸向上產生較大的慣性力，并對外輸出振動，這也成為進一步提高單活塞線性斯特林制冷機競爭力的一大技術難點。基于此，目前許多著名的制冷機研發機構常通過適配吸振器對其振動進行消減和抑制，例如RICOR公司的K527，AIM公司的SX030和SUNPOWER公司的GT型制冷機等，圖1所示為K527和GT型制冷機適配吸振器的實物圖[5-8]。

這些研發機構在進行吸振器的相關理論分析和設計中，都是在已知制冷機固定安裝方式下進行的，其振動模型如圖2所示[9-11]。

在圖2所示的幾個振動模型中，質量為2，剛度和阻尼分別為2和2的吸振器與質量為1的制冷機相聯，然后通過剛度1，阻尼1的柔性彈簧安裝于固定支座。盡管這種正定振動模型結合傅里葉變換后可以很方便地分析并計算得到吸振器的相關參數，但當需要對制冷機采用懸掛法測試其相關性能或改變制冷機固定安裝方式后，整個系統的固有頻率也會隨之改變，這極有可能使制冷機和吸振器系統在工作頻率處發生共振。因此，需要對制冷機在未進行任何固定安裝前，分析系統的固有頻率和相關振動特性。

本文將在這種正定振動模型的基礎上，同時引入無約束的半正定振動模型參與分析。

1 正定與半正定振動系統

1.1 正定振動系統

在圖3所示的制冷機與吸振器正定振動模型中，質量、剛度和阻尼系數分別2、2和2的吸振器與質量為1的制冷機相聯，然后通過剛度1，阻尼1的隔振彈簧安裝于固定支座，為制冷機在時域輸出的振動誘導力。

從上述模型可以得到以下雙自由度振動微分方程：

式中：i為虛數單位；為制冷機工作頻率。

為方便后續分析，將傅里葉變化后的參數帶入微分方程組(1)，并將解析結果進行無量綱化后，可得到制冷機在適配吸振器后的振動表達式：

圖1 K527(a)和GT(b)型制冷機適配吸振器實物圖

圖2 吸振器與制冷機正定振動模型

式中：＝2/1；＝2/1＝(2/2)1/2/(1/1)1/2；＝/1；2＝2/[2(22)1/2]；0＝(i)/1；

從式(2)可以分析得知，制冷機相關參數和系統安裝方式已知的前提下，制冷機的振動輸出僅和質量比及吸振器阻尼比2有關。此外，還可以清楚地發現，當吸振器2等于制冷機工作頻率時，制冷機輸出的振動最小，且在振動最小值左右會出現兩個共振點。圖4分別為制冷機振動幅頻特性與質量比和吸振器阻尼比2的關系曲線。

從圖4(a)中可以看到，在制冷機工作頻率75Hz處其振動隨質量比的增大而減小。由于本文所參與分析的制冷機質量為1＝300g，1＝66620N/m為了同時兼顧系統輕質量的要求，所以可選擇＝1/10，即選擇吸振器質量為30g。而根據在工作頻率處制冷機振動最小的條件2＝，可計算得到所需吸振器剛度為6662N/m。

1.2 半正定振動系統

通過前文對系統正定模型的分析，得到了吸振器重要的設計參數，而為了分析制冷機與吸振器系統的固有頻率，在此將引入半正定振動模型。如圖5所示，吸振器質量、剛度和阻尼系數分別為2、2、2的吸振器安裝于質量為1的制冷機。

對于該系統而言，半正定模型與正定模型的區別在于是否對制冷機進行固定約束。而在對此模型求解固有頻率時，根據公式(3)可知，僅與系統的剛度和質量有關，與吸振器阻尼和振動誘導力無關。

圖5 制冷機與吸振器半正定振動模型

由此可建立式(4)的振動矩陣方程：

從該矩陣方程可以知道，因為半正定模型的剛度矩陣[]為奇異矩陣，所以在這種情況下，系統僅有一個不為零的固有圓頻率sys，經計算可得：

sys2＝1.12(5)

式中：2＝(2/2)1/2，由此可解得系統得固有頻率sys＝78.6Hz。

由式(6)則可計算得到系統在此固有頻率下的振型。

[－sys2]＝0 (6)

由此解得制冷機和吸振器的振動幅值比為1/2＝1/10，如圖6所示。通過對該振型的計算，可對制冷機和吸振器系統進行懸掛測試，分析在不同工作頻率下兩者振動的位移幅度值比，當比值為1/10時，根據共振原理，此時對應的工作頻率即為系統固有頻率。

圖6 半正定系統振型

2 半正定振動系統仿真分析

2.1 固有頻率分析

通過上述的分析與計算，可得到系統的理論固有頻率，但因為在實際過程中或多或少會受到吸振器阻尼的影響，因此還需進一步進行相關分析和驗證。

式(7)為圖5對應的雙自由度振動微分方程：

同樣，對相關參數經傅里葉變換后，可得到如式(8)所示當制冷機在半正定情況下時，適配吸振器后的振動表達式：

通過該式可以得到圖7所示當吸振器質量2＝30g時的制冷機振動幅頻特性曲線。

從式(4)和仿真曲線可以看到，在這種半正定情況下，當吸振器2等于制冷機工作頻率且在75Hz頻率處工作時，其振動仍然為最小值。而從圖中可以看到，無論吸振器阻尼如何變化，當制冷機工作頻率為78.9Hz時均會出現一個共振點，此共振頻率即為系統在半正定情況下的固有頻率。該結果與1.2節的解析解較為接近，從而驗證了系統固有頻率與吸振器阻尼無關。

2.2 半正定系統MATLAB/Simulink仿真

前文通過計算和仿真的方法得到了半正定系統的固有頻率，但因為在實際應用中無法達到這種理想的無固定約束狀態，所以可借助Simulink的仿真方法得到一個理論值。圖8是通過式(7)建立的Simulink仿真框圖。

圖7 半正定系統下制冷機振動幅頻曲線

仿真結果見圖9所示。

從仿真結果來看，在此半正定系統下，制冷機適配吸振器后，其輸出的振動加速度峰值為6.56m/s2左右，因為輸出的理論振動波形為正弦波，所以其有效值約為4.64m/s2。

3 實驗分析

為了使制冷機在實驗中接近半正定無約束狀態，本文采用懸掛法測試，實驗平臺如圖10(b)所示。

由前文理論分析可知，制冷機與吸振器半正定系統固有頻率可通過測試不同工作頻率下兩者的振動幅值來確定，當其幅值比為1/10時，對應的工作頻率即為系統的固有頻率，測試結果如圖11(a)所示。從圖中可看到，在制冷機10W工作功率范圍內，滿足兩者振幅比為1/10的頻率值在78.1～80.8Hz之間，且呈增長趨勢。

雖然從前文理論分析可知，系統的固有頻率是系統的固有屬性，它與吸振器阻尼及振動誘導力無關。但出現這種現象的原因在于實際的吸振器剛度2是非線性的，即當吸振器在不同幅值下做往復運動時，其剛度不是一個定值。因此，隨著輸入功率的增加，增大了驅動吸振器運行的振動誘導力，從而加大了吸振器振幅2，其剛度2也隨之增大，如圖11(b)所示。由此可知，系統的固有頻率也相應地有所增大。但在制冷機可運行的功率下，其系統實變化的固有頻率與理論值誤差較小。

圖9 半正定系統Simulink仿真結果

圖10 制冷機與吸振器(a)，測試實驗臺(b)

圖11 系統固有頻率和吸振器剛度測試曲線

而在對制冷機常用的6W輸入功率下進行適配吸振器后，經懸掛測試得到的減振前后振動加速度值，見圖12所示。從實驗結果可以看到，制冷機在半正定系統下，經吸振器減振后，可以從減振前的有效值42.474m/s2降低至減振后的3.047m/s2，這與圖9所示的仿真值存在一個可接受的誤差。造成這種誤差的原因在于，采用懸掛法測試時，在制冷機軸向上細繩仍會提供一個很小的約束剛度。而仿真則采用的是理想半正定模型，約束剛度為零，從而導致了實際值和仿真值存在一定的誤差。

4 結論

單活塞線性斯特林制冷機在適配吸振器后，其振動可得到有效的抑制。在進行研究的過程中，本文引入了半正定模型參與分析，并得到以下幾個結論。

①在半正定情況下，制冷機適配吸振器后，要使其在工作頻率75Hz處的振動最小，仍要求吸振器固有頻率2等于制冷機工作頻率。而且在半正定情況下，系統僅會在制冷機振動最小值的右側出現一個共振點。

圖12 制冷機減振前后振動頻譜圖

②本文通過相關理論得到的半正定系統固有頻率解析解與仿真值較為接近，而通過實驗得到的系統固有頻率則與吸振器的剛度呈正相關增長，這主要是由于吸振器的非線性剛度造成的。但在制冷機可運行的輸入功率范圍內，其實際值范圍78.1～80.8Hz與理論值78.6Hz的誤差較小。

③通過懸掛測試制冷機在6W輸入功率的情況下，其減振前后的加速度有效值分別為42.474m/s2和3.047m/s2，其中由于理論模型和實際測試條件存在一定的差異，導致減振后的數值與理論仿真值4.64 m/s2存在一定的誤差。

[1] Epstein R I, Andresen B F, Hehlen M P, et al. Development and optimization progress with RICOR cryocoolers for HOT IR detectors[C]//, 2016, 9821: 98210N.

[2] Mai M, Ruehlich I, Rosenhagen C, et al. Development of the miniature flexure bearing cryocooler SF070[C]//, Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2009: 133-138.

[3] Rühlich I, Mai M, Withopf A, et al. AIM cryocooler developments for HOT detectors[C]//, 2014, 9070: 90702P.

[4] Rühlich I, Mai M, Rosenhagen C, et al. Compact high efficiency linear cryocooler in single piston moving magnet design for HOT detectors[C]//,,, 2012, 8353: 83531T.

[5] 孔德銳, 夏明, 李海英, 等. 單活塞線性壓縮機用動力吸振器理論分析與Matlab仿真[J]. 紅外技術, 2021, 43(10): 1014-1021.

KONG Derui, XIA Ming, LI Haiying, et al. Theoretical analysis and Matlab simulation of dynamic vibration absorber for single-piston linear compressor[J]., 2021, 43(10): 1014-1021.

[6] Veprik A, Vilenchik H, Riabzev S, et al. Novel microminiature linear split Stirling cryogenic cooler for portable infrared imagers[C]//, 2007, 6542: 65422F.

[7] Veprik A, Zechtzer S, Pundak N. Compact linear split Stirling cryogenic cooler for high temperature infrared imagers[C]//, 2008, 16: 121-132.

[8] Rosenhagen C, Rühlich I. Compensating oscillation device: US20160153512A1[P]. European Patent WO, 2014: 358-361.

[9] Sunpower. Cryocoolers Overview[EB/OL][2020-12-28]. https://www. sunpowerinc.com/products/stirling-cryocoolers.

[10] Amiram Katz, Victor Segal, Avishai Filis, et al. RICOR's cryocoolers development and optimization for HOT IR detectors[C]//, 2014, 9070: 90702N.

[11] Avishai Filis, Zvi Bar Haim, Tomer Havatzelet, et al. RICOR's rotary cryocoolers development and optimization for HOT IR detectors [C]//, 2012, 8353: 83531U.

Research on Positive Semi-Definite Vibration Damping System of Single-Piston Linear Stirling Cryocooler

KONG Derui，XIA Ming，TANG Tianmin，BI Xiang

(,650223,)

At present, research on the vibration system of the vibration absorber and the single-piston linear Stirling cryocooler is almost entirely carried out on the positive definite model of a certain fixed installation method for the known cryocooler system. Owing to the lack of analysis of the system’s natural frequency using this method, resonance may occur, and the damping effect of the vibration absorber may be reduced when the installation method is changed. Therefore, this study conducts a theoretical analysis of the positive semi-definite model of the cryocooler and the vibration system of the vibration absorber without any installation and performs vibration experiments before and after the cryocooler is fitted with the vibration absorber through the suspension test method. The theoretical natural frequency value of the system under the positive semi-definite model is 78.6 Hz. Through experiments, it can be found that, due to the actual processing and assembly of the vibration absorber, the natural frequency of the system changes with the vibration absorber’s stiffness within the range of 78.1 to 80.8 Hz.

single-piston linear Stirling cryocooler, vibration absorber, natural frequency, positive semi-definite model

TB652

A

1001-8891(2022)01-0096-07

2021-09-06；

2021-10-07.

孔德銳（1993-），男，云南昭通人，碩士研究生，研究方向：小型低溫制冷機。E-mail：1024197919@qq.com。

夏明（1977-），男，研究員，主要從事小型低溫制冷機研究。E-mail：15969586435@163.com。