不定積分一題多解問題的常見方法

楊 濤 付 裕（.四川工程職業(yè)技術(shù)學院基礎(chǔ)部，四川 德陽 68009；.四川工商學院數(shù)理教研室，四川 成都 6745）

1 引言

不定積分計算是高等數(shù)學中的重難點之一，其常用計算方法有：換元積分法和分部積分法.然而許多學生在計算不定積分時總感到束手無策、無從下手：一方面是因為不定積分的題目類型較多，求解方法因問題的不同而變化多端；另一方面，在學習過程中學生疏于對計算方法的歸納和總結(jié).因此，為幫助學生較好地理解和掌握不定積分的計算、熟練運用所學知識求解不定積分，本文對不定積分常見的計算方法進行歸納和總結(jié)，幫助學生理解和掌握不定積分求解方法.

2 準備知識

定義1（原函數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）和F（x）在區(qū)間I上有定義.若滿足F′（x）＝f（x），x∈I，則稱F（x）為f（x）在區(qū)間I上的一個原函數(shù).

定義2函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f（x）在區(qū)間I上的不定積分，記作.其中，為積分號，f（x）為被積函數(shù)，f（x）dx為被積表達式，x為積分變量.

不為零的常數(shù)因子可以移到積分號前，即

兩個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和，即

3 不定積分計算常用方法

3.1 換元積分法計算不定積分

換元積分法是計算不定積分的常用方法，然而不定積分題目類型較多，不同類型的不定積分求解方法并不相同，這就需要我們對不定積分求解方法進行歸納和總結(jié)，并將其靈活運用于不定積分求解過程中.本文從實際出發(fā)，對一些不易求解的不定積分設(shè)置多種求解方法（換元積分法、添項法1、添項法2 及萬能公式計算方法），以幫助同學們熟練掌握不定積分的計算方法，拓展計算思維.

解法1：（換元法，此方法技巧性較高）

解法2：（萬能公式，常規(guī)法）

3.2 添項法計算不定積分

不定積分計算過程中，若運用添項法，則需要學生具有很高的技巧性且對三角函數(shù)公式要足夠的熟悉，也需要學生平時對不定積分計算方法進行歸納和總結(jié).例1 中運用添項法計算不定積分可以有如下兩種思考.

解法3：（添項法1）

解法4：（添項法2）

從而，驗證方法4 所得結(jié)果與方法1—方法3 求得結(jié)果是等價的.

3.3 線性方程組計算不定積分

換元積分法和添項法是求不定積分的有效方法之一，對于某些不定積分的計算，可運用解線性方程組的方法求解.

解：（線性方程組求解不定積分，此方法需要平時對方法的積累）

解：（線性方程組求解不定積分，且要求熟悉遞推和三角函數(shù)關(guān)系）

3.4 分部積分法和線性方程組在不定積分計算中的綜合運用

分部積分法是求解不定積分最常見方法，分部積分法和線性方程組在不定積分計算中的綜合運用可以很好地鍛煉學生的思維能力和計算能力.

雖然分部積分法是求不定積分中最常用、最基本的方法，但存在不適用的情形，如以下實例.

3.5 一些特殊函數(shù)的積分法

某些不定積分看似簡單，其實并不簡單，必須把分式分解才行，此時分解一般用待定系數(shù)法求出系數(shù).

4 結(jié)束語

上述實例表明，同一不定積分計算求解方法并不唯一（如例1），有時某些不定積分的計算可以運用求解線性方程組的方式計算（如例2、例3）.因此，在計算不定積分時，選取合適的、合理的求解方法是快速解決問題的關(guān)鍵.針對同一問題，應(yīng)從不同的角度思考問題，從已有的方法中發(fā)現(xiàn)新穎的解題方法，這不僅能夠提高學生學習數(shù)學的興趣，而且能夠更好地提升自身的數(shù)學素養(yǎng)，進一步挖掘?qū)?shù)學知識運用于實際生活中的潛在能力.所以，在授課的過程中，教師不僅需要講解不定積分求解的基本方法，而且要求學生熟練掌握知識點之間的聯(lián)系和綜合運用.