對蘇州2020 年中考數學壓軸題第28 題的思考
——借題論數學轉化思想的重要性

莊光新（蘇州市工業園區朝前路實驗學校，江蘇 蘇州 215125）

一、從心培育轉化恐懼，引領數學人生觀

中考最后一題是壓軸題，只要學生聽到這樣的詞語，無不從心理上產生深深的恐懼，畏懼心理嚴重.中考最后壓軸題信息量大，題目長，數形閱讀理解轉移標記多，大多數中等學生經常在審題這一關就被卡在門外，從而無法深層地研究學習.久而久之，學生的綜合分析能力就會大打折扣，挑戰自我的信念嚴重下降.面對這樣的教學實情，教師要從平時的點滴學習中，分解復雜，拆分試題，小層次遞進，以小層次的成就感從心理上培養學生面對恐懼.慢審題、畫關鍵、數形結合標參數、題目一次讀不明白，再來一次，細品條件、慢悟關系、深入試題，對試題有一個熟悉的環境認識，增加親近感.對于綜合幾個小問題的，學生雖然不能同時解決，但可以完成第一小問，并順利得分，為中考總分添一分精彩.同時，學生要明白壓軸題的小問是層層遞進的，有著重要的承上啟下的意圖，往往是第一小問對下面的第二小問有引導作用，要從簡入手，明白問題的引導性.不舍不棄，努力做到更好，這不僅是學習，也是一種人生態度：成功來自前期的點滴積累，當前期的努力日積月累到一定的量時，量變會產生質變，敞亮的人生自然水到渠成.從而灌輸學生正確的人生價值觀.讓所有學生從學數學領悟做人生的道理.

二、試題是載體，化難為易，分解試題

基礎教育中數學理論、數學思想、數學方法必須以試題為著手點、為載體，把教育目標中所蘊含的理論目標、意識形態落實到學生看得見、摸得著的實體數學問題中，數學離開具體的試題載體，什么思想，什么意識，什么方法都無立足之本，高談闊論的專家教學不如讓學生動筆實踐的效果更實效.讓學生從實際的試題出發：哪些話是有效的，哪些話是擾亂迷惑我們表象思維的，這些話中，關鍵詞是什么？這兩句話是什么意思？你能通過這兩句話聯想到什么與主題關聯的隱性內容，這些內容對本題有沒有用？比如，初三數學中，如果見到直角這個概念，我們要求學生必須聯系到如下知識點：1：垂線段最短；2：垂直平分線的性質與“三線合一”；3：直角三角形以及勾股定理、圓中的垂徑定理、設未知數組建勾股定理；4：構造圓并找到直徑；等等.利用這些基礎知識點關聯題目，有用的重點關注，沒用的先暫時放一邊，你必須想到這方面的知識，由條件聯想它的結論？求這個問題，等價于求另一個什么問題？這個問題無法直接解決，能不能“圍魏救趙”先解決別的問題.這樣的設疑能訓練學生擴散思維，逐步培養學生由擴散思維轉向聚焦思維，將某些正面問題轉化為反面問題，從而從思想與行動上讓解題更有效、更簡單，思維更清晰明了，豐富學生的數學思維.比如，下面分析推理蘇州2020 年中考題28 題的過程如下：

1.慢審題，標條件轉化為自我語言表述問題

在具體審題時，做到慢審題速表達.學生讀一句中文表達，就在圖形中用自我熟悉的數學符號標識對應的數學條件，并對某個特定的條件瞬間聯想某個相關聯的結論，把問題條件內化為自我認識，拓展問題的聯系性.學生最好能用自我的數學語言或者白話語言表示出來，或者動作形態展示題目的意思，轉化陌生內化親近，讀不懂的地方反復讀，品不全的地方再領悟，有沒有條件遺漏的，遺漏條件將會直接導致解題無法進行.當學生卡住的時候，需要回頭看，不能一味地死盯牛角尖.

如圖1 所示，由角平分線OT和直角∠QOP，得∠1 ＝2 ＝45°，由同弧所對的圓周角，得∠1 ＝∠2 ＝∠3 ＝∠4 ＝45°.利用坐標系會有Rt△QOP，并聯想直徑QP，利用∠3 ＝∠4 ＝45°得到等腰直角三角形QCP，內接四邊形QCPO，初步厘清各條件的作用與關聯.這些條件要讓學生結合圖形直接表達，不能再依靠文字條件.數形結合是一種重要的理解能力的轉化，即把文字語言轉化為符號語言，更是對文字語言的深層次的理解，也是數學教學中必須堅持和長期訓練學生重要環節.

圖1

2.動中有靜，問題遞進式轉化問題

第一問：求OP＋OQ的值.

明確兩個動點的方向、速度，標記Q的行程和P的行程和余程，因為P，Q的速度一樣，而行程也一樣，此時可把幾何圖形問題轉化為代數模型問題，則PA＝QO，把幾何問題轉化為代數問題，可設SPA＝x，則SOQ＝x，OP＝8-x，所以OP＋OQ＝8 是一個定值，第一問輕易而解.但不能高興太早，在移動的過程中，∠QOP永遠是直角，QP永遠是圓的直徑，∠QCP也是直角，這些都是固化的定量.QP也是Rt△QOP所在圓的直徑.△QOP和△QCP永遠是直角三角形.變量有弦OC，弦OC無論怎么變最多和QP一樣長，這些聯想思維為第二問做鋪墊.從而體現試題中小問引領的用途.學生要學會利用這種承上啟下的引問過渡.

第二問：問OB的長度變化情況，有無最大？

師：可想而知，OB是弦OC的一部分，如果變化過程中OB變大，轉化為BC會如何變化呢？

生：（猜測性地回答）變小.

師：那么BC最小的值在何方呢？為什么最小呢？

生：直角三角形中直角頂點到斜邊垂線段最短（如圖2所示）.

圖2

引導學生正反思維，轉移思路.在等腰直角三角形QCP中，BC是斜邊的高時最小.

師：無獨有偶，此時的OC是圓的什么呢？

生：直徑.

生：∠2＝∠OCP＝45°，則∠OPC＝90°.

再深入探討.

師：那此時∠OQC是多少度呢？

生：90°.

師：那么此時的四邊形OQCP是什么圖形呢？

生：正方形.

師：那么OP＝OQ了，而由第一問，OP＋OQ＝8，可得OP＝4，則此時的t等于多少呢？

生：4 秒.

詳細解答過程：

當OC是圓的直徑時，OB最大.

此時，∠OQC＝90°＝∠QOP＝∠QCP，

且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，

則QC＝PC，

故四邊形OQCP為正方形，

所以OQ＝OP.

由第一問OQ＋OP＝8，得OP＝4，

則PA＝4，

故t＝4÷1＝4.

綜上所述，在第二環節的思維過程中，通過層層疑問，層層遞進轉化，我們將正向問題OB的大小轉化為BC的大小研究.使問題限制在等腰直解三角形QCP中，從而使動態研究變成靜態研究.完全把二次函數的復雜計算（見官方答案）轉化為學生的分析推理，簡化了大量的計算，鍛煉了學生的思維，把轉化的數學思想提升了一個質的高度.雖然這樣的解答并非中考出題者的真實意圖，但在教學中，教師偶爾以異樣的思維與常態化思維進行對比教學，更能促進學生多思考，多創新.在以求同思維為基礎上開拓個性的求異思維，把轉化的數學思想深耕于學生知識能力體系中，并引領學生在以后的生活中，遇到困難也要學會利用外部環境，轉化現實困難，做一個積極正向的健康人.

3.淋漓盡致的轉化，斬斷“老太婆的裹腳布”

中考的壓軸題到了最后，如果不用輔助線，這首先在老師的心理上都是難以想象的，絕大多數教育者在這點都跳不出這個輔助線的思維定式，更何況學生呢？這種慣性思維嚴重擾亂了學生的開放思維.某種形式上固化了學生創新意識形態——輔助線捆綁我們的創造思維.2020 年蘇州中考最后一題卻反其道而行之，在輔助線配合相似與幾何問題轉化代數問題上做了大量的研究，它突破我們的常規思維，把問題的開放性與固化思維的定向選擇性展示給老師和學生，從而引領老師日后的數學教學方向——多樣選擇，同時，讓學生在幾何、代數和整合性方面做出判斷，不同的選擇會得到不同的優化結果，雖然都能得出正確的答案，但所付出的思維價值及收獲的思維喜悅成果卻完全不同：一個煩瑣陳雜，一個輕松簡潔.出題團隊站得高，看得遠，最后一道試題的解答方案所包含的教學意識對今后老師的教學導向意圖明顯：殊途同歸，精彩之余另有一番愉悅的數學體驗.以試題為載體，求異、高效體驗引領我們的教學方向——求異轉化思想.讓老師的教學思想開辟了一個新的方向.

第三問：要求四邊形OQCP的面積（如圖3 所示），此題運用幾何轉化代數的思想更是數學思維的精彩體現.在這一問上淋漓盡致地體現了轉化的思想，徹底斬斷數學思想中“老太婆的裹腳布”.分析如下：

圖3

幾何問題代數化的轉移思想，整體代入，為求而不求，不僅分析簡單化，而且計算輕巧便捷.運用這樣的思維方式解題和2020 年蘇州中考試題最后一題官方答案相對比，簡捷很多.不同的學生有不同的思維，我們不能要求所有人都認同自己的觀念或者自己的想法，但讓學生從對比中領悟各種數學思想的優劣性，取其優點，在對比中，領悟轉化的數學思想的奇效性.如果這個思想能為學生學習提供更高的效率就選擇使用，一切在準確的基礎上，再講效率，講策略性，不斷優化學習方法，使其學習績效更優化.最終讓教育者數學教學的意識形態與學習者的數學學習績效不斷整合、共同進步，為培養創造性人才奠定堅實的基礎.

到此為止，2020 年蘇州中考試卷的最后一道壓軸題就這樣“輕而易舉”的順利完成，書寫形式簡潔，邏輯思維流暢，化難為易的轉化手段高效.沒有輔助線，沒有函數知識，沒有大量的計算，沒有整版的書寫，學生學得輕松，答得容易，理的清晰，學的開心，領悟頗多.究其原因，就是我們在其中運用了大量的轉化思想的教學手法.書寫表達上簡潔了，但我們的思維訓練的難度增加了，無形的邏輯推理分析大大促進了學生的思維訓練，真正體現了數學學習的本質.

三、結束語

數學轉化思想是數學思維中重要的一個組成部分，一要轉化學生的恐懼心理，分解試題，小步驟前行，讓學生慢慢體會成功的喜悅，并為前進提供情感動力.二要轉化學生的解題思維.當然，這道壓軸題是一個特殊典型題.數學教學中思想方法還很多，需要我們平時用心，并用獨特的教育思想去引領學生發現創新，通過長期的教育培養，以試題為著手點，培養學生的轉化問題的意識，并把這種意識帶入學生的生活學習中，當學生遇到問題、難題、難事時，能轉移一下視角、換個方向.條條大路通羅馬，但智慧的駕駛者可能在奮斗的道路上事半功倍.希望轉化的數學思想能為學生的學業提升提供一個高效的手段，同時希望學生在以后的日常生活中，能積極轉化自己生活中遇到的困難，做一個積極正向的健康人.