精選題目提高復習效益
——談中考創新壓軸題的分類把握

翟崇滿（江蘇省鹽城市濱海縣第一初級中學，江蘇 濱海 224500）

一、初中期末數學題的發展狀況

在初中階段，數學考試題的設計方法在新課程概念的影響下變得更加靈活.具體而言，初中數學的具體發展趨勢如下：使用坐標系提供數字和圖形的組合，通過鏈接數字和點之間的坐標將數字與幾何形狀相連接，進而找到了一種解決該問題的有效方法.

二、新形勢下中考數學壓軸題的解題思路

（一）動中求靜，圖形運動問題

動態問題主要是點運動、線運動和整體圖形運動，但是在表達的過程中要理解的最重要的事情是運動.回答運動問題的核心是：①要仔細地閱讀問題，分析在給定條件下什么量不會移動，并考慮移動過程如何逐段移動（按類別討論），運動與運動之間可能有什么關系.②分析圖形，在運動過程中，研究靜態時刻變量之間的關系，并建立所研究變量之間的功能關系.③在提出問題的過程中，無論問題是否根據情況產生其他結果，都必須注意分類討論.

例題在直角坐標系中，對于任意兩點A（a，b），B（c，d），若點T（x，y）滿足，那么稱點T是點A，B的融合點.

例如：A（-1，8），B（4，-2），當點T（x，y）滿是時，則點T（1，2）是點A，B的融合點.

（1）已知點A（-1，5），B（7，7），C（2，4），請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.

（2）如圖1，點D（3，0），點E（t，2t＋3）是直線l上的任意一點，點T（x，y）是點D，E的融合點.

圖1

①試確定x與y的關系式；

②若直線ET交x軸于點H，當△DTH為直角三角形時，求點E的坐標.

［分析］

（1）根據題中融合點的定義便可得到答案.

（2）①由題中融合點的定義可以得到y＝2x-1.

②所以根據定義可分為三種情況討論：

當∠THD＝90°時，畫出圖形，由融合點的定義求得點E的坐標.

當∠TDH＝90°時，畫出圖形，由融合點的定義求得點E的坐標.

當∠HTD＝90°時，由題意知此種情況不存在.

經過分析可以求得最后結果.

①當∠THD＝90°時，如圖2 所示.

圖2

設T（m，2m-1），則點E為（m，2m＋3）.

由點T是點D，E的融合點，

②∠TDH＝90°時，如圖3 所示.

圖3

則點T為（3，5），由點T為點D，E得融合點，

可得點E2（6，15）.

③當∠HTD＝90°時，該情況不存在.

這道題中不僅出現了新的知識點，還運用了很多數學思想，比如：函數思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸思想.

（二）數形結合問題

中學數學的知識內容大致可分為形狀和數字兩種.每個“形狀”，即每個幾何形狀都具有一定的定量關系，可以將數量“制成”一個幾何形狀，進行直觀的解釋和考慮.許多中考數學壓軸題是要充分利用重要的知識點.

例題在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，AC的中點，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°）得到△AD′E′，連接BD′，CE′，如圖4.

圖4

（1）求證：BD′＝CE′；

（2）如圖5，當α＝60°時，設AB與D′E′交于點F，求BF FA的值.

圖5

【解答】（1）證明：∵AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點，

∴AD＝BD＝AE＝EC.

三是對活動的計劃進行擬定。活動時間擬定為2017年3月-2018年3月,活動內容主要有確定主題、擬定計劃、把握現狀、目標設定、分析原因、提出對策、對策實施、效果確認、檢討改進等。

由旋轉的性質可知：∠DAD′＝∠EAE′＝α，AD′＝AD，AE′＝AE.

（2）解：連接DD′.

圖6

（三）模型應用問題

這些類型的問題通常向學生展示整個過程，而不是研究“理解模型探索擴展”中的三級問題所設置的常見問題.提供最初熟悉的數學知識或數學模型后，我們將繼續“通用方式”的擴展，轉換和應用強調了其深刻的意義和普遍性.回答此類問題的秘訣在于：通過利用模型的特征來查找現有模型的結構及其在新情況下的含義，以充分利用問題中提供的數學模型來解決問題.

在中考數學壓軸題中，涉及的模型大多是從學生比較熟悉的數學基本圖形入手，對其進行相應的幾何拓展、變式應用，學生在解題過程中最重要的就是要充分把握數學模型的基本內涵、外延，通過類比、一般性方法來完成解題.

三、數學思維

1.數形結合

數形結合是通過數字和形狀的轉換使代數問題更直觀，并通過代數推理使幾何問題更加精確.解決的問題通常如下：

（1）構建功能模型，結合其形象，研究數量與數量的關系；

（2）構建函數模型并結合模型的幾何含義來研究函數的最大值、最小值問題；

（3）研究圖形的形狀、位置關系和性質.

解決這類問題需要根據感覺將數和式子通過幾何的意義轉化成所需要的圖形，通過觀察圖形的變化得出正確結論，這便很好地將數學思想與題目相結合.

2.函數思想

函數思想是在解決數學問題時可以把在某個變化的過程中幾個相互制約的變量用函數的關系表達出來（如一次函數、二次函數），并研究這些變量間的相互制約關系，最后解決問題.比如，函數與方程思想在幾何中最能體現，在解決幾何題目時，我們常常會應用它將已知條件用代數的方法表示.又如，在直線與圓的位置關系方面的例題就能很好地體現，在解決這類題目時，我們常常會將方程式聯立求解.

3.分類討論

分類討論是一種重要的解決數學問題的思想方法，將一個比較復雜的數學問題分成若干個基礎性或者是已經解決了的問題，通過解決基礎問題和已經掌握的知識找到解決復雜的數學問題的過程.分類討論思想就是將復雜問題簡單化，降低數學問題的難度.初中數學的教學通過借助分類和討論思想的方法，可以促進學生的數學思想更加完善，培養學生的邏輯思維，從而使學生可以更好地應對數學問題.

四、先練后教，分層引導

中考數學壓軸題綜合性比較強，考查的知識面比較廣，涉及諸多數學思想，而學生在有限的時間內完成解題難度相對比較大.一些基礎比較差的學生會由于自身的能力不強，對壓軸題產生畏懼心理，出現直接放棄的情況，而基礎相對比較好的學生卻會由于自信心不強，出現半途而廢的情況.在數學復習教學中，教師應該面對全體學生，針對不同層次的學生，采取多樣化的引導方式，讓學生能更加高效率地完成壓軸題.

（一）獨立思考

教師在給出學生問題后，要注意不能急于講解，給學生留出獨立思考的時間及空間.在中考壓軸題中，第一個問題一般都屬于基礎性問題，問題難度相對比較小，學生經過獨立思考是可以完成的，只是學生的基礎、思維存在一定差異，在解決問題所費時間上有所差別.在此階段，教師不能引導學生討論，保證學生能獨立解決基礎性問題，提高學生的自信心.

（二）師生交流

在中考壓軸題的后續問題中，有一部分學生是無法獨立完成的，這時教師就要對學生進行引導.不同的學生在問題解決出發點上存在差異，有的學生會在解題中產生一些不成熟的想法，這些想法很有可能是教師沒有想過的，這時教師應該耐心地傾聽學生意見，對學生正確的解題思路進行鼓勵，如果是錯誤的想法則要對學生進行糾正.教師在與學生進行交流時，需要將注意力放在指導方法上，不需要太過于看重學生最后的結論，關注學生解題思維、解題思路的拓展.初中數學教師需要意識到，每個層次的學生在解題時都有獨特的方法，教師可以指引學生對各種解題方法進行比較，一方面拓展學生解題思維，另一方面讓學生在對比中提高自身的解題能力.先練后教可以很好地改變以往的教師課堂教學行為，教師需要與不同學生交流意見，不斷鼓勵、引導學生產生新的發現.

（三）生生交流

生生交流是對師生交流的補充，有的學生不敢與教師交流想法，卻愿意和同學交流，教師可以引導學生在相互交流中提高自身的學習效果.從課程理論看，先練后教可以徹底改變學生模仿式練習的局面，學生的能力會在自主學習、合作探究中得到提升.無論是基礎比較差的學生，還是基礎較好的學生，都可以在合作交流中提升能力.特別是在解題中，學生相互交流解題思維，能很好地拓展學生的解題思路，讓學生在面對中考壓軸題時更加具有解決信心.

總之，中考數學的壓軸題很可能是數形結合的問題，而最后一個小問的困難反映在數字和形式的組合的相互轉換中.回答時多加注意陷阱有助于厘清討論.由于當前的課程改革更多地集中在思想的培養上，為了具有直接解決各種問題的效果，有必要在組織、分析和靈活運用上有所作為.同時，學生需要善于學習和培養各種數學思維，以便也解決其他類型的最終問題并獲得更好的數學解決能力.