多元建模有技巧，教無定法講數(shù)學(xué)

福建省光澤縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 陳萬林

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)啟發(fā)思維的過程，當(dāng)課程標(biāo)準(zhǔn)出現(xiàn)在課堂上，就要借助課程標(biāo)準(zhǔn)對教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行重新整理，培養(yǎng)學(xué)生的思維與技能，設(shè)計(jì)科學(xué)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。借助課程標(biāo)準(zhǔn)引領(lǐng)教師開展教學(xué)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法，能夠在抽象與直觀、幾何與數(shù)字之間打開新的教學(xué)出路，幫助小學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)建模，使之把握數(shù)學(xué)的根本。現(xiàn)圍繞筆者自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分享一些教學(xué)策略。

一、數(shù)學(xué)模型概述

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言建構(gòu)的科學(xué)或者工程模型，用以解決各種實(shí)際問題。其表達(dá)的內(nèi)容可以是定量的，也可以是定性的，但最終必須以定量的方式體現(xiàn)出來。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型可以描述為針對一個(gè)特定的數(shù)學(xué)目的，對一個(gè)特定的對象，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律做出必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)具體應(yīng)用之間的橋梁，在建立和處理數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生可以從實(shí)際情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，從而達(dá)到運(yùn)用知識再創(chuàng)造的水平。通過數(shù)學(xué)模型的建立和使用，學(xué)生可以體會數(shù)學(xué)與生活、自然的聯(lián)系，所以數(shù)學(xué)模型的建立和使用緊密貼合生活實(shí)際成為教師的共識。由于小學(xué)階段學(xué)生的形象思維特征，教材涉及的數(shù)學(xué)模型大多和形象圖形有關(guān)，通過引導(dǎo)學(xué)生繪制實(shí)物圖、線段圖、矩形圖開始，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的意識。通過尋找具體問題的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)模型進(jìn)行求解驗(yàn)證模型解的整個(gè)過程，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

二、巧設(shè)問題情境，誘發(fā)建模興趣

數(shù)學(xué)模型是具有現(xiàn)實(shí)生活背景的，這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決問題的需要。因此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)直觀場景，借助學(xué)具幫助學(xué)生理解和分析問題，在直觀的數(shù)學(xué)場景當(dāng)中看見抽象的數(shù)學(xué)問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。如構(gòu)建“平均數(shù)”模型時(shí)（北師大版三年級下冊第六單元統(tǒng)計(jì)與可能性中“比一比”的教學(xué)內(nèi)容），該內(nèi)容創(chuàng)設(shè)了這樣的問題場景：“某小組有5名男生，4名女生，進(jìn)行投籃比賽（提供了男生隊(duì)和女生隊(duì)每個(gè)人在相同時(shí)間內(nèi)投中情況統(tǒng)計(jì)圖），哪個(gè)小隊(duì)投籃實(shí)力強(qiáng)？”筆者認(rèn)為可以按以下教學(xué)流程引導(dǎo)學(xué)生建模。

教師對學(xué)生提問：“男生隊(duì)和女生隊(duì)哪個(gè)隊(duì)伍的表現(xiàn)更加優(yōu)秀？”結(jié)合所掌握的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生可能會提出以下解決方法：（1）對比得分總數(shù)，對比綜合實(shí)力差異；（2）可以比最大得分?jǐn)?shù)之間的差異；（3）對比每個(gè)人的平均進(jìn)球數(shù)。學(xué)生得出答案之后，要求學(xué)生證明有關(guān)方法的科學(xué)性，學(xué)生得出不同的結(jié)論：（1）男女生人數(shù)不一樣，比總數(shù)不公平；（2）比最大得分差，結(jié)果不具有說服力。故此，方法（3）中的“平均分”成了最佳選擇，這時(shí)“平均數(shù)”的策略應(yīng)“需”而生。教師繼續(xù)引出數(shù)學(xué)問題：“既然平均計(jì)算比較公平，那么應(yīng)該如何解決這一問題？”結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生給出不同的數(shù)學(xué)計(jì)算方法：第一，可以通過“移多補(bǔ)少”的方式進(jìn)行計(jì)算；第二，可以列式進(jìn)行計(jì)算：總數(shù)除以人數(shù)，便是平均數(shù)。在學(xué)生進(jìn)行計(jì)算的過程中，教師對算式中的各項(xiàng)進(jìn)行提問，要求學(xué)生說明（4+7+5+4+5）、5等部分的含義，讓學(xué)生在探究發(fā)現(xiàn)中自主構(gòu)建求“平均數(shù)”的模型——平均數(shù)＝總數(shù)量÷總份數(shù)。在場景中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生思考、答題、互動(dòng)，以“數(shù)學(xué)思想”引領(lǐng)“數(shù)學(xué)方法”，同時(shí)提示模型存在的背景、適用環(huán)境條件等，這樣學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解不再是抽象、單一的知識，而是與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系的鮮活而豐富的知識。

三、充分體驗(yàn)感知，積累建模基礎(chǔ)

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的過程中，教師要善用有趣的數(shù)學(xué)材料，并引領(lǐng)學(xué)生通過自主探究、合作交流，對學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)材料多側(cè)面、多維度、全方位感知，為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能。如“圓錐的體積”計(jì)算公式模型構(gòu)建的過程就是一個(gè)不斷感知和積累的過程。其教學(xué)流程如下：教師與學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)，以圓柱的體積為知識點(diǎn)，幫助學(xué)生回憶數(shù)學(xué)思想方法“轉(zhuǎn)化法”，學(xué)生提出問題：“既然幾何圖形的體積能夠轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行計(jì)算，那么其他圖形是否也能夠用這種方法進(jìn)行計(jì)算？”在提問的過程中，學(xué)生找到“圓錐”這一對象，圍繞圓錐的特點(diǎn)進(jìn)行猜測：“圓錐能夠轉(zhuǎn)化為圓柱，還是能夠轉(zhuǎn)化為長方體、正方體？”教師鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)踐操作進(jìn)行探究。

教學(xué)環(huán)節(jié)，教師提供豐富的實(shí)驗(yàn)材料，學(xué)生通過實(shí)踐操作對需要解決的問題進(jìn)行處理。整個(gè)流程中學(xué)生經(jīng)歷了不斷地猜測與驗(yàn)證，并在實(shí)踐中獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，為抽象概括出“圓錐的體積”計(jì)算公式這一模型奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，做出充分的準(zhǔn)備。通過小組合作學(xué)習(xí)、獨(dú)立探究等學(xué)習(xí)模式的搭配使用，學(xué)生在搜集新知識的過程中充分體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造方法，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)取得了新的靈感。

四、抽象提煉本質(zhì)，完善模型構(gòu)建

在抽象問題中分析客觀的數(shù)學(xué)知識，才能為學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的萌芽創(chuàng)造良好的條件。比如，六年級下冊“正比例的意義”，其包含函數(shù)思想、數(shù)學(xué)變量關(guān)系等重要知識點(diǎn)，是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的重要手段。教師可以嘗試借助學(xué)生熟悉的數(shù)量關(guān)系，如“單價(jià)與總價(jià)”“時(shí)間與路程”等引入教學(xué)，在簡單的數(shù)學(xué)概念中分析數(shù)學(xué)本質(zhì)，完成數(shù)學(xué)建模，其教學(xué)過程如下。

出示例1：某汽車的行駛時(shí)間與行駛路程。

時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5 6 7 8路程/千米 70 140 210 280 350 420 490 560

出示例2：一些人買同一種蘋果，購買蘋果的質(zhì)量和應(yīng)付的錢數(shù)如下表。

數(shù)量/斤 10 9 8 7 6 5 4 3應(yīng)付的錢數(shù)/元30 27 24 21 18 15 12 9

學(xué)生積極開展討論活動(dòng)，從正比例的定義、概念入手，思考單價(jià)、總價(jià)與數(shù)量之間的關(guān)系，嘗試闡明x、y、k在函數(shù)式中的含義。在學(xué)生表達(dá)的過程中，教師不對學(xué)生進(jìn)行干預(yù)，鼓勵(lì)學(xué)生自由探索、發(fā)言、糾正，以此優(yōu)化教學(xué)。讓學(xué)生親歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)的理解的同時(shí)，思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面也能得到進(jìn)步和發(fā)展。

五、代數(shù)過渡幾何，豐富數(shù)學(xué)模型

代數(shù)和幾何不是兩部分互相孤立的知識內(nèi)容，代數(shù)和幾何之間有大量的相通之處。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，用幾何的概念解釋并解決代數(shù)問題，可以充分利用幾何圖形的直觀性特點(diǎn)幫助學(xué)生理解問題，進(jìn)而降低解決數(shù)學(xué)問題的難度。小學(xué)階段的學(xué)生正處于積極向外探索的發(fā)展時(shí)期，教師可以根據(jù)學(xué)生天性好奇、喜歡探索的心理發(fā)展特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊物體的形狀，如水杯、可樂瓶、大樹、房屋、動(dòng)物、汽車、天體等。通過教學(xué)多媒體設(shè)備，將上述物體的色彩和細(xì)節(jié)的非本質(zhì)特征提取出來，引導(dǎo)學(xué)生觀察并分析物體主體部分的形狀，結(jié)合必要的假設(shè)條件分析總結(jié)它們的共同特質(zhì)和屬性。例如，一個(gè)圖形如果沿著一條直線對折，圖形的兩部分可以完全重合，那么這樣的圖形就是軸對稱圖形，從而將“軸對稱圖形”的數(shù)學(xué)模型從學(xué)生已有的現(xiàn)實(shí)物體概念中抽象出來。運(yùn)用生活教育理念發(fā)展數(shù)學(xué)模型教學(xué)，利用學(xué)生的探索心理，結(jié)合學(xué)生身邊常見的事物展示數(shù)學(xué)建模過程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)源自實(shí)際生活，只要樂于觀察就會發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)。

在此基礎(chǔ)上，教師可以啟發(fā)學(xué)生將在教材中學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用到具體的生活問題中去。除了抽象生活中已有的圖形，還可以在教導(dǎo)學(xué)生解決應(yīng)用題時(shí)借助線段圖示來分析題目，將題干的文字和數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，幫助學(xué)生理解題干邏輯和題義。例如，經(jīng)典的行程問題：“甲和乙兩車同時(shí)從東、西兩地出發(fā)，相向而行，甲每小時(shí)行36千米，乙每小時(shí)行30千米，甲乙兩車在距離中點(diǎn)9千米處相遇，那么請求出東西兩地之間的距離。”在該題目當(dāng)中，通過題干得知甲從東出發(fā)，乙從西出發(fā)，相向而行，那么將該部分題義轉(zhuǎn)化為線段圖形，得到甲乙在東西兩個(gè)方向各成一點(diǎn)。由于甲車行駛速度比較快，而甲乙兩車最終在距離中點(diǎn)9千米處相遇，所以甲乙的相遇點(diǎn)應(yīng)該在中點(diǎn)的西側(cè)9千米，由此可以將該題目徹底轉(zhuǎn)化成線段圖示，如左圖所示。

該題目解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于需要學(xué)生求出甲乙兩車的路程差，由于“路程差÷速度差=相遇時(shí)間”，學(xué)生可以根據(jù)圖示分析求出路程差，得到相遇時(shí)間。通過閱讀題意畫出上述線段分析圖難度不大，大部分學(xué)生都可以獨(dú)立完成題意的分析和圖示表達(dá)，重要的是通過相關(guān)數(shù)學(xué)題目的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生將算數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何圖示的意識和能力。相遇地點(diǎn)在靠近乙出發(fā)地的一側(cè)，學(xué)生可以由圖示得知，甲比乙多走了18千米，所以根據(jù)題意可得算式：9×2÷（36－30）=3（小時(shí)），得出甲乙相遇的時(shí)間，再根據(jù)“速度和×相遇時(shí)間=總路程”，得出算式：（36+30）×3=198（千米），即得出甲乙兩地相距198千米。小學(xué)階段的學(xué)生提取題干信息的能力普遍不足，對于信息的處理能力也比較有限，所以在解決相關(guān)問題時(shí)，將文字和數(shù)字信息轉(zhuǎn)化成圖示可以降低學(xué)生處理題干信息的難度，幫助學(xué)生解決更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無處不在。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)理念下培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師要從多個(gè)角度設(shè)計(jì)教學(xué)模式，可以將學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行應(yīng)用，與學(xué)習(xí)者進(jìn)行互動(dòng)和交流，消除其對數(shù)學(xué)建模的陌生感，也可以通過實(shí)踐操作加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解，在實(shí)踐的過程中建模，得出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律。教師要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行合作和探索的精神，圍繞數(shù)學(xué)建模思想構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)新模式，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。