考慮傾角影響的擴大頭錨桿極限抗拔力

江建洪，曾慶義，馬 健

(1.蘇州大學 軌道交通學院，江蘇 蘇州 215131；2.深圳鉅聯錨桿技術有限公司，廣東 深圳 518034；3.上海勘察設計研究院(集團)有限公司，上海 200093)

擴大頭錨桿因其抗拔承載力高、適應性廣和安全經濟等優點日益得到廣泛應用[1]。但目前關于擴大頭錨桿的力學機制和抗拔力計算理論仍在不斷發展中[2-15]。現行的《建筑基坑支護技術規程》[16]對錨桿極限抗拔力僅考慮了錨固體與所在土層之間的摩阻強度。在關于摩阻強度的經驗表格中，對擴孔工藝施工的錨桿建議在表中數值基礎上適當提高，這種做法經驗性較強，沒有考慮擴大頭錨桿端部正壓力所提供的抗拔力。郭文龍等[2]采用有限差分法研究了豎向擴大頭錨桿的抗拔力及相關影響因素。郭鋼等[3]通過室內試驗研究了豎向擴大頭錨桿的各階段破壞及其規律。陳帥等[4]結合極限分析法和有限差分法研究了抗浮錨桿的抗拔力及相關影響因素。李糧綱等[5]結合彈性理論和現場試驗對豎向擴大頭錨桿的最大抗拔力計算公式及相關影響因素進行了探討。以上研究均集中于豎向擴大頭錨桿的抗拔力。劉波等[6]通過現場試驗對擴大頭錨索在飽和粉細砂層中的受力特性進行了研究，考慮了錨桿傾角的影響。國外研究大都集中在無黏性土中完全豎直或水平的板式錨桿的極限抗拔力[7-8]，對傾斜的情況也有一定的研究[9-13]。Frydman等[9]針對埋置于砂土中的板式錨桿，根據試驗結果提出了錨桿傾角對板前土壓力影響的經驗表達式，但該公式僅僅是曲線擬合表達式，不包含砂土性質的相關物理量。Murry等[10]采用極限分析方法得到了無黏性土中板式錨桿傾斜情況下的極限抗拔力，并與已有相關試驗結果進行了對比。Hanna等[11]根據試驗現象提出破壞面假設，推導了砂土中板式錨桿傾斜情況下的極限抗拔力。Bhattacharya等[12]結合極限分析下限法和有限元方法考察了砂土中不同傾角下板式錨桿的極限抗拔力。Yu等[13]采用塊體理論分析了砂土中不同傾角下板式錨桿的極限抗拔力。以上板式錨桿抗拔力的研究可供擴大頭錨桿的端壓力研究借鑒，但僅限于無黏性土的情況，對其他土體的適用性有待考察。Xanthakos[14]針對無黏性土和黏性土地層分別給出了考慮擴大頭端壓力的極限抗拔力表達式，但相關的承載系數經驗性較強，沒有考慮錨桿傾角的影響，且應用范圍較小。曾慶義等[15]根據擴大頭錨桿的受力過程，提出了其極限端壓力和極限抗拔力的計算方法，并為現行的《高壓噴射擴大頭錨桿技術規程》[17]和公司規程[18]所采用。曾慶義等[15]對擴大頭錨桿端壓力的表達式局限于錨桿完全水平或完全豎直的情況，而規程[17-18]對于擴大頭錨桿傾斜的情況，近似采用錨桿完全水平時的端壓力。

應該認識到，擴大頭錨桿為了提高其抗拔承載力往往需要避開軟弱土層，而將擴大頭選擇設置在工程性質較好的土層中，這就使得擴大頭錨桿往往具有一定的傾角。因此，錨桿傾角對擴大頭錨桿的極限端壓力及極限抗拔力的影響值得深入研究。本研究在原有工作基礎[15]上，提出考慮傾角影響的擴大頭錨桿極限抗拔力計算方法。

1 擴大頭錨桿抗拔力計算公式

1.1 力學模型

擴大頭錨桿的破壞形式可以是桿體破壞、擴大頭段注漿體與桿體握裹力破壞或擴大頭端周土體破壞。擴大頭錨桿的極限抗拔力應是抵抗這3種破壞的抗拔力最小值。前兩種破壞形式可以通過選擇合理的結構參數來避免。在第3種破壞形式中，土體隨錨桿位移表現出不同階段的力學反應，包括靜止土壓力階段、過渡階段和塑性區壓密-擴張階段[15]。本研究主要討論基于第3種破壞形式的擴大頭錨桿抗拔力，相應的力學模型見圖1。

圖1 擴大頭錨桿力學模型Fig.1 Mechanical model for end-expanded ground anchor

如圖1所示，擴大頭錨桿的抗拔力T由3部分組成，包括普通錨固段錨固體側壁與土體摩阻力所提供的抗拔力T1、擴大頭側壁與土體摩阻力所提供的抗拔力T2和土體對擴大頭端部正壓力所提供的抗拔力T3，具體如下[15,17]：

T=T1+T2+T3

(1)

T1=πD1L1τf

(2)

T2=πD2L2τfd

(3)

(4)

式中：D1和D2分別為錨桿鉆孔直徑和擴大頭直徑，L1和L2分別為非擴大頭錨固段計算長度和擴大頭長度，τf為非擴大頭錨固段地層與錨固體側壁之間的摩阻強度，τfd為擴大頭側壁與地層之間的摩阻強度。L1、τf和τfd的確定可參考現行的《高壓噴射擴大頭錨桿技術規程》[17]。在某些情況下，取L1=0而使得T1=0，這將在第2節詳細說明[17]。pD為土體作用于擴大頭端面上的正壓力強度(簡稱端壓力),pD與擴大頭埋深、擴大頭前端土體性質及錨桿的工作狀態有關。不同工況下pD確定后，錨桿抗拔力T可由式(1)～(4)確定。

1.2 基本假定

為確定不同工況下pD，采用曾慶義等[15]工作的4條假定[15]：1)擴大頭埋深足夠深；2)忽略擴大頭前端錨桿桿體對土體應力狀態的影響；3)土體單元在某一方向上的壓力增量σT，將在與該方向垂直的其他方向產生側壓力增量ξσT，其中,ξ為側壓力系數，并假定ξ大于0且小于1；4)土體處于極限平衡狀態時，符合莫爾-庫倫強度理論。

曾慶義等[15]對側壓力系數ξ進行了深入討論，并推薦ξ的經驗范圍為

ξ=(0.5～0.95)Ka

(5)

式中：Ka為擴大頭前端土體的朗肯主動土壓力系數，Ka=tan2(45°-φ/2)；φ為擴大頭前端土體的內摩擦角。

曾慶義等[15]同時假設錨桿為完全水平或完全豎直[15]。此處取消該假設，考察與水平向呈任意傾角下錨桿的極限抗拔力。如圖1，錨桿與水平向夾角為α，與豎直向夾角為β，二者滿足α+β=90°。為敘述方便，以下將夾角α簡稱為錨桿傾角，取值為[0°，90°]。

1.3 擴大頭錨桿極限抗拔力的計算公式

一般情況下，土體的靜止土壓力系數K0<1。如對于正常固結黏土或松砂，常用Jaky公式[19]：K0=1-sinφ，其中,φ為土體的內摩擦角。而曾慶義等[15]在其錨桿抗拔力公式中K0的建議表達式為

K0=1-sin(1.3φ)

(6a)

但對于某些超固結土，其K0可能大于1。比如Mesri等[20]在文中圖19給出了各種砂土隨超固結比增大的情況，其K0可達2.0左右；在文中圖27給出了一種超固結黏土的豎向應力與水平應力關系，其K0為1.63。Das[21]給出了超固結土的靜止土壓力系數K0,OC與其對應的正常固結土靜止土壓力系數K0,NC之間的經驗關系，即

(6b)

式中ROC為土體的超固結比(OverConsolidation Ratio)。

K0的大小影響土體單元初始大小主應力的確定，因此，此處將區別K0不大于1與大于1這兩種情況對擴大頭錨桿的抗拔力分別進行討論。認識到當超固結比較大、K0>1時，土質往往較好，有時采用非擴大頭的常規錨桿也能滿足工程要求。為保持理論的完整性，下文還是將這兩種情況分別進行分析。

1.3.1 靜止土壓力系數不大于1的情況

在圖1中錨桿擴大頭前端取一土體單元進行分析，其受力變化情況如圖2，相應的應力莫爾圓如圖3。為敘述方便，與水平方向呈α角的面稱為α面，而另一個與水平方向呈β角的面稱為β面。初始應力狀態如圖2最左側的單元受力情況。由于錨桿拉力在α方向產生應力增量σT,β面將產生正應力增量σT，而與β面相垂直的其他面產生正應力增量ξσT，最終的應力狀態如圖2最右側的單元受力情況。與α面和β面均垂直的另一個面是一個主應力面，其應力變化為在初始地應力的基礎上增加正應力增量ξσT。

圖2 土體單元受力變化Fig.2 Evolution of stress state for a soil element

圖3 土體單元受力變化的莫爾圓(K0≤1)Fig.3 Mohr′s circles for evolution of stress state for a soil element (K0≤1)

在圖3莫爾圓中，A點和A′點分別代表α面的初始應力狀態和最終應力狀態，C點和C′點分別代表β面的初始應力狀態和最終應力狀態，B點代表與α面和β面均垂直的第3個面的初始應力狀態。假設土體單元的初始豎向主應力為σz,0=γh，其中,h為擴大頭前端中點到地面的埋深，γ為擴大頭上覆土層的加權平均重度。B點的應力狀態為(K0σz,0,0)。由于K0≤1，K0σz,0為小主應力，B為圖3左側初始莫爾圓的小主應力點。第3個面產生應力增量ξσT后，應力狀態用B′點表示，其坐標為(K0σz,0+ξσT,0)。假設A′點和C′點組成的莫爾圓交正應力坐標軸于S點和Q點。由于應力增量σT較大，右側Q點的正應力為最終狀態的大主應力σ1，而B′點的正應力為最終狀態的小主應力σ3，即σ3=K0σz,0+ξσT。以B′Q為直徑的莫爾圓是包含最大和最小主應力的應力圓。根據莫爾-庫倫強度理論，σ1的表達式為

(7)

式中:c為錨桿擴大頭前端土體的黏聚力;Kp為擴大頭前端土體的朗肯被動土壓力系數，Kp=tan2(45°+φ/2)。以下將通過圖3中莫爾圓的幾何關系得到關于應力增量σT的表達式。

圖3中左側和右側莫爾圓的圓心分別為O點和P點。假設右側莫爾圓的半徑為R，則有R=|PQ|=σ1-σP，而σP=(σA′+σC′)/2=γh(1+K0)/2+σT(1+ξ)/2，結合式(7)得

(8)

過圓心P做AC的平行線交CC′于D，則在三角形PDC′中

|DC′|=|CC′|-|CD|=|CC′|-|OP|=

|PC′|=R

∠PDC′=2α

運用余弦定理得

(9)

聯立式(8)和(9)得到關于應力增量σT的一元二次表達式：

(10a)

其中系數

A=(ξKp)2-ξ(1+ξ)Kp+ξ

(10b)

(10c)

(10d)

應力增量σT應取其中有意義的實根。

端壓力pD=σβ=σβ,0+σT，結合圖3中C點正應力σβ,0的表達式得

(11)

(12)

此時圖3中B點與C點重合，C′點與Q點重合，端壓力pD取C′點的正應力值，即

(13)

這與之前研究中錨桿完全水平時的端壓力表達式相同[15]。

(14)

此時圖3中A點與B點重合，C′點與Q點重合，端壓力pD取C′點的正應力值，即

(15)

這與之前研究中錨桿完全豎直時的端壓力表達式相同[15]。

以上特殊情況(錨桿完全水平或完全豎直的情況)的端壓力pD，也可以由式(10)和(11)直接得到。

1.3.2 靜止土壓力系數大于1的情況

當K0>1時，土體單元受力變化仍如圖2所示。由于此時初始豎向應力σz,0=γh為小主應力，而σx,0=K0γh為大主應力，其莫爾應力圓與K0≤1的情況有較大不同，具體如圖4所示。

圖4 土體單元受力變化的莫爾圓(K0>1)Fig.4 Mohr′s circles for evolution of stress state for a soil element (K0>1)

A點和A′點分別代表α面的初始應力狀態和最終應力狀態，C點和C′點分別代表β面的初始應力狀態和最終應力狀態，B點代表與α面和β面均垂直的第3個面的初始應力狀態。在圖4左側的初始莫爾應力圓中，B點的正應力K0γh為大主應力。在應力增量σT發生后，A′點、B′點和C′點分別代表3個相互垂直面的應力狀態。由此可見，最終狀態的大小主應力發生在A′點和C′點所構成的應力圓上，小主應力為S點的正應力，而大主應力為Q點的正應力。根據莫爾-庫倫強度理論表達式，并在直角三角形A′TC′中運用勾股定理可得關于應力增量σT的一元二次表達式(16a)、(16b)、(16c)和(16d)。應力增量σT應取其中有意義的實根。

(16a)

其中

(16b)

(16c)

(16d)

端壓力pD為C′點的正應力值，即

(17)

特別地，當錨桿完全水平時，α=0°，由式(16)和(17)得

(18)

(19)

當錨桿完全豎直時，α=90°，由式(16)和(17)得

(20)

(21)

注意到式(20)和(21)分別與式(14)和(15)相同，這是因為在這兩種情況下，σz都從γh增大為大主應力γh+σT，而σx和σy是等同的，都從K0γh變為小主應力K0γh+ξσT。錨桿完全水平時的情況有所不同：當應力增量沿著水平方向X施加時，σy和σz是不等同的，因而式(18)、(19)與式(12)、(13)不同。

2 錨桿傾角的影響及算例

為了考察錨桿傾角的影響，定義一個比例函數f(α)，簡稱為錨桿端壓力傾角比例函數，滿足如下表達式

pD(α)=f(α)pD(α=0)

(22)

此處pD(α)為任意傾角α下的端壓力，pD(α=0)為錨桿完全水平情況下的端壓力。對于K0≤1的情況，pD(α=0)見式(13)，pD(α)見式(11)；而對于K0>1的情況，pD(α=0)見式(19)，pD(α)見式(17)。

借鑒曾慶義等[15]的工程實例參數考察錨桿傾角對錨桿抗拔力的影響。某基坑的3根錨桿，其錨桿參數和工況完全相同：埋深h=9 m，土層參數γ=18.8 kN/m3、c=60 kPa、φ=28°、τf=τdf=90 kPa，錨桿參數L1=4 m，D1=0.14 m，L2=4 m，D2=0.4 m。此處K0=1-sin(1.3φ)=0.41，而ξ=0.95Ka。據曾慶義等[15]報道，按錨桿完全水平計算所得的錨桿抗拔力為1 327.5 kN，遠大于設計抗拔力670 kN和規程[16]的計算值663.3 kN。試驗情況是其中兩根錨桿加載到1 042 kN而沒有破壞，另外一根錨桿加載到1 302 kN時鋼絞線斷裂一股，而擴大頭前端土體還沒有達到破壞狀態。原設計方案采用普通錨桿時，其設計傾角為35°。

按上述例子，此處設計5個工況，其變化參數為c、φ和h，而其余參數與上述例子相同。注意到K0、Ka、Kp和ξ為φ的函數，隨φ而變。對于K0≤1的情況，按式(6a)，當φ=28°時，K0=0.41；當φ=24°時，K0=0.48。對于K0>1的情況，假設超固結比ROC=12，根據式(6b)，當φ=28°時，K0=1.41；當φ=24°時，K0=1.67。各比較工況及相應錨桿水平或豎向時的端壓力見表1。

表1 各比較工況及相應錨桿水平和豎向時的端壓力Tab.1 Different working conditions and related earth pressures on the expanded end for horizontal and vertical ground anchors

由表1中工況1、2和3可知，錨桿水平時的端壓力pD(α=0)隨著擴大頭前端土體黏聚力c的增大而增大；由工況4和2對比可知，端壓力pD(α=0)隨著擴大頭前端土體內摩擦角φ的增大而增大；由工況2和5對比可知，端壓力pD(α=0)隨擴大頭埋深h(或擴大頭前端土體受到的地應力)的增大而增大。這可以從其物理意義得到解釋。因為假設擴大頭前端土體應力處于極限狀態時符合莫爾-庫倫強度準則，c、φ或h的增大都將使土體強度增大。如表1所示，錨桿豎向時的端壓力pD(α=90°)也隨擴大頭前端土體黏聚力c的增大而增大，隨擴大頭埋深h的增大而增大；但是pD(α=90°)隨φ的變化是增大還是變小，其情況不一定，因為此時隨內摩擦角φ引起的各向異性因素(包括K0的變化)起較大作用。端壓力pD(α)受錨桿傾角α的影響較大，其變化規律將在后面進行詳細討論。

由表1可知，當K0≤1時，各工況下錨桿水平時的端壓力大于相應豎向時的端壓力，這可從圖3的莫爾應力圓得到解釋。當錨桿水平時，α=0°，圖中點C和C′分別與點B和Q相重合，應力增量σT=|CC′|較大；而當錨桿豎向時，α=90°，圖中點C和C′分別與點T和Q相重合，應力增量σT=|CC′|相對小些。因為達到極限狀態時，應力增量σT在端壓力pD中占主導作用，錨桿水平時的端壓力大于相應豎向時的端壓力。相應地，由表1可知，當K0>1時，各工況下錨桿水平時的端壓力小于相應豎向時的端壓力，這可從圖4的莫爾應力圓得到解釋。其論述過程與當K0≤1時的情況類似，不再贅述。

當K0≤1時，根據式(11)、(13)和(22)可得錨桿端壓力傾角比例函數f(α)，具體見圖5。可以看出，各工況下，其錨桿端壓力隨著錨桿傾角的增大而減小，上述表1顯示的錨桿水平時的端壓力大于相應豎向時的端壓力是f(α)曲線兩端點大小的情況。并且，錨桿傾角對f(α)的影響較大，在工況1黏聚力c為0時，f(α)在α=90°時為0.24，即此時的豎向端壓力僅為其相應水平端壓力的0.24倍。對比工況1、2和3可知，隨著黏聚力c的增大，其f(α)的減緩速率變小。這是由于黏聚力c是各向同性的，當黏聚力占主導作用時，如黏聚力取較大值60 kPa時，由內摩擦角引起的各向異性因素K0、Ka和Kp及由傾角引起的各向異性便不占主要作用。對比工況2和4可知，隨著內摩擦角φ的減小，其f(α)的減緩速率稍有變小。這是因為隨內摩擦角φ的減小，由內摩擦角引起的各向異性因素(Ka、Kp和K0)的影響均有所減小。對比工況2和5可知，隨著埋深h的增大，其f(α)的減緩速率變大。這可能是由于隨著埋深的增大，由地應力和內摩擦角引起的各向異性因素起較大作用。

圖5中擴大頭錨桿端壓力隨著錨桿傾角增大而減小的規律，與板式錨桿板前土壓力在常規砂土中的表現規律一致[9-10,13]。此處的f(α)包含黏聚力和內摩擦角等土體性質參數，因而能從力學機制層面對端壓力的變化規律進行解釋，同時能給工程實踐提供理論指導。

圖5 各工況下錨桿抗拔力傾角比例函數(K0≤1)Fig.5 Ratio function of pullout capacity with inclined angle for end-expanded anchors under different working conditions (K0≤1)

當K0>1時，根據式(17)、(19)和(22)可得錨桿抗拔力傾角比例函數f(α)，具體見圖6。

圖6 各工況下錨桿抗拔力傾角比例函數(K0>1)Fig.6 Ratio function of pullout capacity with inclined angle for end-expanded anchors under different working conditions (K0>1)

由圖6可以看出，各工況下，其錨桿端壓力隨著錨桿傾角的增大而增大，且錨桿傾角的影響較大。在工況4內摩擦角φ為24°時，f(α)在α=90°時為2.67，即此時的豎向端壓力為其相應的水平端壓力的2.67倍。對比工況1、2和3可知，隨著黏聚力c的增大，其f(α)的增大速率變小。這是由于黏聚力c是各向同性的且其占主導作用時，錨桿傾角的影響將減弱。對比工況2和4可知，隨著內摩擦角φ的減小，其f(α)的增加速率變大較多。此處與K0≤1時f(α)變化不敏感的情況較為不同。隨內摩擦角φ的減小，由內摩擦角引起的各向異性因素各自變化。其中Ka和Kp的影響減小，但是K0由φ=28°時的1.41變為φ=24°時的1.67，變化較大且在各向異性因素中占主要作用。因此，各種各向異性因素綜合作用的結果使得f(α)的增加速率變大。對比工況2和5可知，隨著埋深h的增大，其f(α)的增加速率變大。這可能是因為由地應力和內摩擦角引起的各向異性因素起較大作用。

由錨桿抗拔力公式(1)～(4)可知，端壓力pD僅影響T3部分的抗拔力，對T1和T2部分沒有影響。對于T3隨錨桿傾角的變化同樣滿足T3(α)=f(α)T3(α=0)，即如圖5、6所示的情況。仍然取曾慶義等[15]工作中的參數，得到表1各個工況下錨桿的極限抗拔力各分量與總量，如表2所示。

表2 各工況下錨桿的極限抗拔力各分量與總量Tab.2 Total ultimate pullout force and its components for ground anchors under different working conditions kN

由表2可知，各個工況下，錨桿傾角對T3的影響較大，對T有一定的影響。當K0≤1時，T隨錨桿傾角的增大而減小；當K0>1時，T隨錨桿傾角的增大而增大。值得注意的是，L1是錨桿普通錨固段的計算長度，對于非預應力錨桿，常取實際長度減去兩倍擴大頭直徑；對預應力錨桿，取值為0[17]。郭鋼等[3]關于砂土中擴體錨桿承載力特性模型試驗的研究表明：普通錨固段相比擴體錨固段，與其周圍土體之間通常先產生界面剪切破壞，而擴大頭端壓力因土體硬化可以持續加強。因此，在實際應用時，T1可能會更小，T3對T的貢獻可能會更大，因而錨桿傾角對T的影響比較大。

對于常見的K0≤1的情況(見圖5)，如果將傾斜錨桿的抗拔力取值為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏大，在工程上或偏于不安全。但當錨桿傾角較小時，或可以采用錨桿完全水平時的解來估算土體對傾斜錨桿擴大頭端部正壓力所提供的抗拔力T3。比如，圖5中各工況，在傾角小于20°時，T3的誤差在10%以內。類似地，對于K0>1的情況，如果將傾斜錨桿的抗拔力取值為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏小。圖6中各工況，在傾角小于20°時，T3的誤差在19%以內。

對端壓力公式(11)和(17)進行進一步的說明。曾慶義等[15]給出了土體K0≤1時擴大頭錨桿完全水平或完全豎直情況下的極限端壓力，是本研究極限端壓力公式的兩個極端情況，而其他錨桿傾角下的端壓力介于這兩者之間。本研究分別討論了土體K0≤1和K0>1的情況，因而研究成果對任意K0的土體均適用。對于常規土體(K0≤1的情況)，擴大頭錨桿極限端壓力與前人研究[9-10,13]中板式錨桿板前土壓力隨錨桿傾角的變化規律相一致，在定性層面上說明本文公式的正確性；關于擴大頭錨桿極限端壓力隨傾角變化的相關實測數據還較為缺乏。而對于特殊土體(K0>1的情況)，相應的試驗數據更為缺乏。將本文的抗拔力理論解析解與各種情況實際試驗結果(或數值模擬結果)進行廣泛深入的對比研究，是未來急需進行的工作。

3 結 論

1)錨桿傾角對擴大頭錨桿極限端壓力具有較大的影響，不可忽略。當K0≤1時，錨桿極限端壓力隨著錨桿傾角的增大而減小；當K0>1時，錨桿極限端壓力隨著錨桿傾角的增大而增大。對于常見的K0≤1的情況，如果將傾斜錨桿的抗拔力取為完全水平錨桿的抗拔力，其理論取值將偏大，在工程上或偏于不安全。

2)黏聚力具有各向同性性質，較大的黏聚力使得端壓力傾角比例函數f(α)的變化速率變小；內摩擦角使得各向異性因素(Ka、Kp和K0)各自變化，對傾角比例函數f(α)產生一定的影響；擴大頭埋深增大，使得由地應力和內摩擦角引起的各向異性因素起較大作用，f(α)的變化速率變大。

3)錨桿傾角對端壓力所提供的抗拔力T3具有較大的影響，對整體抗拔力T有一定的影響。