奔赴數學的新高峰
——記北京大學數學學院副教授郭帥

李 剛

數學是最古老的學科，歷經數千年的發展，已經開拓出眾多分支，并產生了多個應用學科。實際上，數學的發展常常與物理相伴而行，很多物理上的重大突破都離不開數學的推波助瀾，物理學中不斷出現的新問題也為數學的不斷拓展提供了需求。

回溯物理和數學早期的發展歷程，會發現有時候很難確定一個人是物理學家還是數學家。盡管到了現代，研究領域的細化和專業化越來越明顯，但數學和物理的界限仍然時而模糊，且這兩者的糾纏越來越深，關系也越來越復雜。其中，弦理論可能是關于數學和物理相互影響的最佳示例。

20世紀后期，物理學家們希望找到一個能描述所有現有物理規律的統一理論。他們發現卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形起到關鍵作用，這些流形之間存在著神秘的對偶性。兩族完全不同的流形會以各自的方式描述同一物理規律或數學結構，稱為鏡像對稱性。北京大學數學學院副教授郭帥所研究的就是鏡像對稱中的數學結構。

郭帥

多年來，他在整體鏡像對稱與高虧格計數不變量的計算上深耕不輟，取得了多項突破性成果。例如，他通過獨有的計算技術證明了關于Calabi-Yau五次超曲面高虧格鏡像對稱的一系列結構性猜想，徹底解決了該領域20多年來一直懸而未解的核心問題之一: BCOV猜想。迄今，郭帥已在Annals of Mathematics，Forum of Mathematics，Pi等國際頂尖數學期刊上發表多篇論文。

找到適合自己的路

少年時代的郭帥對物理和數學都十分感興趣，甚至高中有一段時間，他更傾向于物理。他大學就讀于清華大學基礎科學班，系統接受了數學和物理兩方面的訓練。但隨著對數學和物理的深入學習，他逐漸發現自己真正感興趣的也許并不是物理本身，而是物理定律中展現出來的數學結構，這些數學結構的美深深吸引著他。

郭帥認為，學習數學，興趣很重要。確定數學物理這個研究方向，郭帥也走了一小段曲折的路。在清華大學基礎科學班，大二就可以選擇自己的導師。郭帥先是跟著肖杰教授學習代數，但學過一段時間后，他覺得自己的興趣不夠，于是改為學習集合論和數理邏輯。這個方向不但涉及邏輯的本質，還有些哲學味道。然而隨著深入了解，郭帥發現它很難與他感興趣的其他數學方向產生聯系。最終，他來到周堅教授的門下學習數學物理。

博士期間，在導師建議下，郭帥對頂點算子代數進行了相關的研究，雖然和目前所做的Gromov-Witten理論不太一樣，但二者都與鏡像對稱的聯系使他收獲頗多。在博士期間，他受基金委聯合培養博士項目資助赴美國普林斯頓大學訪學，在田剛教授的指導下學習tropical geometry。談及在國外的經歷時，他坦言道，自己不愛社交，相對而言，國外的學生和學者更擅長交流。科學研究需要思想的碰撞，也需要通過交流來判斷自己所做的研究是否重要、是否前沿，甚至是否正確。他說：“國外經歷讓我知道，頂尖的數學家是如何學習數學、研究數學，甚至是如何將數學變成一種生活的。”

訪學結束以后，郭帥順利從清華大學數學系獲博士學位。同年，他獲得了Simons基金資助，開始在北京大學北京國際數學中心從事博士后研究，2013年正式入職北京大學數學學院從事教研工作。北京大學擁有目前國內最一流的科研環境和學術氛圍，在這里，他開始獨立探索和思考一些之前在閱讀物理文獻時希望解決的數學問題。

鏡像對稱這一領域，源于20世紀90年代。Candelas與合作者通過弦理論中的對偶性，成功預言了典型Calabi-Yau三維流形——“五次超曲面”上任意次有理曲線的條數，這極大吸引了數學界對弦理論的興趣，鏡像對稱作為一個現代數學分支由此產生。隨后，4位物理學家Bershadsky、Cecotti、Ooguri、Vafa給出了一種高虧格勢函數的有效遞歸算法——BCOV費曼規則，建立了全虧格鏡像對稱的物理模型，這就是著名的BCOV理論。

數學方面的突破，起源于1996—1997年，Givental和連文豪、劉克峰、丘成桐分別獨立證明了虧格0的鏡像對稱猜想。然而，直到10年之后的2007年，A.Zinger才得以攻克虧格為1的鏡像公式。而更高虧格的鏡像對稱猜想，則一直是該領域最為困難的挑戰之一，在此后的10年都停滯不前。

在研究過程中，郭帥認識到計算虧格1勢函數的最佳途徑，可能是把Witten型不變量轉化為扭（twisted）不變量。沿著該想法，他和D. Ross合作，把Zinger的虧格1鏡像定理從局部推廣到整體。這是高虧格整體鏡像對稱多年來的第一個重大突破。

隨后，郭帥開始用這種扭不變量的思路嘗試更高虧格的鏡像猜想。2017年初，在安娜堡的一次報告中，郭帥介紹了他關于某種扭不變量的計算思路，得知F.Janda和阮勇斌正在猜測一個與之相關的局部化公式，由此開啟了幾人的合作之旅。經過幾個月反復修正，郭帥終于找到了正確的算法，和Janda、阮勇斌合作完成了虧格2鏡像公式的驗證。這一工作結束了10年來該問題停滯不前的狀態，被R.Pandharipande在2018年數學家大會一小時報告中作為“未來方向”特別引用。

至此，郭帥已經在數學界嶄露鋒芒，并不斷向著更高的科研高峰攀登。

在猜想的世界里突圍

征程還在繼續。

在完成虧格2的鏡像公式之后，郭帥也在嘗試另一種更接近于原始BCOV費曼規則的思路。早在一些低虧格計算中，郭帥就發現，在混合旋轉場（MSP）理論的局部化求和公式中，也會出現類似于BCOV的傳播子項，且它們是唯一會真正貢獻的項，其他項都會神奇消去。然而這個消去過程極為復雜，只能用程序驗證且看不出規律。在很長一段時間，郭帥被這種神奇現象所困擾。最終，他意識到，應該對MSP理論進行一種看起來簡單粗暴的改進。大略來講就是把其中的1個場增加到N個場，這里N為一個足夠大的素數，以獲得足夠大的自由度。

郭帥的這種改進看起來沒有幾何上的緣由，卻有奇效。其精妙之處在于，在N趨向于無窮大的時候，會完全重現BCOV理論中的傳播子，且不出現額外項。這讓人不禁想到一個著名的物理學哲學：“More is different（多即不同）！”某種意義上，新理論提供了BCOV的（沒有數學定義的）無窮維路徑積分的一個有限維代數幾何模型，該模型通過添加場的數量N趨近于無窮，去逼近BCOV的費曼積分。由此，郭帥和李駿、張懷良合作，完成了BCOV猜想的證明。論文第一部分已被Annals of Mathematics接收。對此，田剛院士評價道：這篇論文解決了計數幾何領域著名的難題，多位國際知名數學家都長期研究過，一直未有實質性進展。郭帥的研究成果在解決這些難題中發揮了關鍵作用。

與此同時，郭帥在另一種代數幾何方法上也取得了重大的進展。在之前和Janda、阮勇斌合作的工作中，出現的扭理論十分復雜。事實上虧格2鏡像定理是在計算機幫助下完成驗證的。通過反復嘗試，郭帥猜想當把局部化公式中的扭理論修改為他和Ross工作中使用的扭理論之后，公式的形式保持不變，僅其有效常數發生變化。而使用后者會將整個計算過程變得極為簡單——之前依靠計算機幫助完成的計算，現在可在半頁紙內手算完成。

通過該想法，郭帥與Felix Janda、阮勇斌合作得到了一個全虧格的結構性定理，并證明了全純反常方程和LG/CY對應，進一步，對一些低虧格的gap猜想也進行了驗證。至此，郭帥通過與合作者的一系列工作，對自Zinger后，剩下的關于五次超曲面整體鏡像對稱的絕大多數猜想，給出了圓滿的回答。

最近，郭帥又有新的突破。在BCOV理論提出的十幾年后，2007年，物理學家猜想存在一種更為精細的不變量，物理上對應于加細瞬子數。其數學含義到現在仍然是一個謎。2020年，郭帥與合作者證明，在NS極限的情況下，這種神秘的加細不變量正是已經被深入研究過的相對不變量！更進一步，其在該極限下滿足加細的BCOV結構。該結果發表于Forum of Mathematics, Pi。評審人稱該工作是“一首漸入高潮的樂章”(crescendo)，“真正的名鑄”(true masterpiece)。

深耕鏡像對稱的一系列結構性猜想多年，郭帥對科學研究有著自己的感想。在他看來，探索未知是數學最大的魅力，研究中卡殼是99%的情況，這個過程中，堅持很重要。一個問題長期沒有進展的情況下，數學研究就進入了他們日常生活模式。當然，有時候也需要考慮一些其他相關問題擴大一下視野，積累到了一定的程度，在某個偶然的瞬間，說不定就會豁然開朗。

這些年，實在沒有想法的時候，郭帥就會做點“體力活”：寫些程序“跑一跑”，找點規律碰碰運氣。仿佛不經意間，他獲得了解決最終問題所需的全部技能點，對問題的理解也越來越透徹。“回想起來，其中有些技術和想法的獲得完全是出于偶然。這也是解決一個大問題所需要的另一個重要因素——運氣。”郭帥說。

守一盞教育的燈

教書育人是高校教師最根本的任務。黨的十八大報告中明確指出把立德樹人作為教育的根本任務，要著力提高教育質量。入職北京大學之后，郭帥認真踐行教師職業道德規范，堅持德育為先、課程育人，不斷為北京大學的教育事業貢獻自己的力量。

在教學中，郭帥擔任的科目既包括“高等數學”“線性代數”“復變函數”“抽象代數”等本科生基礎課程，也包括“模形式”“李群及其表示”“代數曲線”“代數幾何專題”等本科生高年級和研究生課程。課堂教學中，他仔細調研國內外多種教材的邏輯體系，保證盡量全面而又不失重點地對課程進行介紹。課堂之外，他積極參加教學改革和一流課程的申請活動。

2018年秋季學期，郭帥開設了研究生課程“鏡像對稱和Gromov-Witten理論”，主要講授他科研領域的相關內容。該課程涉及辛幾何、代數幾何、奇點理論、可積系統和表示論等多個數學分支，對學生而言是一大挑戰。郭帥從最簡單的橢圓曲線和模形式入手，讓學生逐步體會到相關數學的優美，激發學生對其進一步探索。在教學實踐中，他傾向于給學生提供一個比較完整的圖景，讓他們根據自己的興趣按圖索驥，深入了解。

此外，作為博士生的班主任，郭帥利用班會、微信群等平臺，營造和諧互助的班級氛圍，重視人文關懷。在數學圈內頗有名氣的韋東奕，曾是郭帥班上的學生。一個趣聞是，在某次申請個人獎項時，因韋東奕全神專注于數學研究，有同學主動提出要替“韋神”申請并代其匯報。在獲得韋東奕和全體同學同意后，答辯順利進行并以最高票通過。在節假日，郭帥還組織開展了游覽慕田峪長城、參觀雙清別墅等集體活動，讓學生們了解歷史，增長見聞，培養團隊協作精神。郭帥曾獲北京大學優秀班主任等榮譽稱號。

最近5年，郭帥連續擔任北京國際數學中心辛幾何與數學物理討論班的組織者。該討論班每周邀請相關專家作一次報告，并每年組織一到兩次高級討論班，邀請國際頂級專家來進行一周的專題系列講座。郭帥還是北京大學數學學院周五報告相關方向的負責人之一。該報告于每周五定期舉行，報告要求從基礎開始入手，旨在為學院的全體研究生提供一個學術平臺。

生活中，郭帥有著很多愛好，喜歡看電影、聽音樂，也喜歡一些技巧性的體育運動，還喜歡看武俠小說。他說，一些做數學的人喜歡看武俠，可能是因為武俠世界和數學世界有某種相似性。做數學也是一種個人的修煉，在解決一些艱深問題的時候需要長時間的閉關（獨立思考）來獲得突破，同樣也需要不斷和其他高手過招（學術交流）來提升自己。

不過，數學這門古老的學科如汪洋、如星空，有著無窮無盡的魅力，同樣也有著無窮無盡的困難。往往翻過一座高峰，會發現還有更高的山峰等在前方。但在郭帥看來，做數學研究就是“但行好事，莫問前程”。他說：“無論如何，如果你喜歡數學，對某個問題很有興趣，那就堅持去做。在未來的某個點，你會獲得你應有的收獲。”

郭帥（左）與合作者李駿