探究構圖 優化路徑 提升素養
——記一道解析幾何題的求解歷程

石 鵬 (江蘇省石莊高級中學 226531)

解析幾何的基本思想是用代數方法研究平面圖形問題，平面圖形是由點、線所構成，簡稱為“構圖”．教師教學過程中應帶領學生充分探究“構圖”中各元素之間的關系，挖掘構圖的幾何特征和性質，尋找最優運算路徑，簡化運算過程，提升運算素養．本文以一道模考題的講評為例，帶領學生通過對構圖的探究，產生不同的運算路徑，比較各個運算路徑的優劣，在探究和比較中培養學生的運算素養．

1 問題呈現

圖1

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過T(t,0)(t>a)作斜率為k(k<0)的直線l交橢圓C于M，N兩點(點M在點N的左側)，且F1M∥F2N，設直線AM,BN的斜率分別為k1，k2，求k1·k2的值．

2 根據題意，釋學生之惑

2.1 設而不求 整體代換

由于點M，N是直線l與橢圓C相交而得到，將直線l的方程與橢圓C的方程聯立，借助韋達定理，進行整體代換求解．

2.2 巧用性質 簡化運算

學生卡殼的問題得以解決，臉上露出了欣喜的笑容，但同時也需要進行反思：在練習和考試的過程中，遇到類似問題，要心平氣和地、理智地進行分析，充分挖掘題目的隱含條件，要敢于去探索，善于解決問題，克服各種“隱形”的困難．此時有學生提出了另一種想法．

2.3 借助中點 尋求斜率

解法1，2是將直線的方程和橢圓的方程進行聯立，運算過程比較繁瑣，教師引導學生思考：不聯立方程，又能否解出來呢？請學生思考后再小組討論，試探究直線F1M的斜率與直線l斜率間的關系．學生思考片刻后開始討論，然后有一個學生主動板演出如下解題過程．

評注以上三種解法的運算過程都比較繁瑣，解法1和解法2都需要把直線l和橢圓聯立，解法1需借助“韋達定理”或者分別求出x1，x2，這對學生的運算和思維要求都比較高．解法2借助橢圓的結論簡化了運算，這需要學生在平時學習過程中注意對圓錐曲線中的“亞結論”進行歸納和總結，以便在解題過程中達到游刃有余的境界．解法3利用了點差法，或者通過解法1的①式求出M,N中點Q的坐標，寫出直線OQ的斜率，探究出直線MF1，NF2的斜率與直線l的斜率．表面上沒有把直線方程與橢圓方程聯立，運算量會小一點，實際上把點M或者點N的坐標代入橢圓尋找k與t的關系，涉及到4次，這對學生運算能力的要求也比較高．

3 簡化構圖 優化路徑

圖2

3.1 知點解點 建立等式

該生提供了自己的方法：聯立直線AM與橢圓C的方程，用k1表示點M的坐標，同理用k2表示點N的坐標,借助于F1M∥F2N建立k1和k2的等式關系進行求解．這就是常見的知點解點模型．

3.2 利用平行 直接求解

也有其他學生發現，由直線F1M與直線F2N平行知斜率相等，設一個變量將運算進行到底．關鍵是如何設直線方程，將直線F1M設為x=my-1，還是設為y=k(x+1)呢？學生小組討論發現，如果把直線F1M和橢圓聯立，不管是解出橫坐標還是縱坐標，都是兩個解.旋轉F1M可知，橫坐標有可能兩個都是負的或者一正一負，而縱坐標只可能一正一負，所以解縱坐標比較方便，從而需消去參數x，并且直線經過的定點在x軸上，所以直線方程設為x=my-1比較合理．

3.3 聯立直線 代入橢圓

此時有學生指出，以上兩個方法的運算量都有點大，可類比解法3，把兩條直線的方程聯立解出點M，N后代入橢圓，消去斜率k，即尋找到k1，k2之間的關系．

4 重新構圖 凸顯本質

橢圓作為幾何圖形，具有對稱性、有界性等性質．在解析幾何題目的運算過程中，借助于相關性質，可以大大地簡化運算，如本題可以引導學生借助橢圓對稱性來簡化運算．

解如圖3，延長MF1交橢圓于點H,由直線F1M∥F2N,點F1,F2和橢圓C關于原點對稱,得點N，H關于原點對稱，所以直線AH的斜率等于k2．設點M(x1,y1),H(x2,y2)，直線MH的方程為x=my-1．

圖3

評注借助對稱性讓題目回歸到常見的模型，避免了復雜冗長的運算．平時教學要引導學生儲備好相關平面幾何的知識和圓錐曲線中必要的“亞結論”，比如：三角形中的三線及三角形面積的求法，與圓相關的垂徑定理、切線長定理、相交弦定理等，圓錐曲線中的極點和極線的關系、焦點三角形等，同時培養學生能夠充分挖掘圖形各元素間的關系，把這些關系轉化為代數關系，利用數形結合的思想方法，將復雜的代數運算轉化為幾何問題．

5 結束語

解析幾何問題歸根結底還是幾何問題，在解決相關問題的時候，不能一味強調代數運算，而應該綜合考慮構圖中不同元素間的關系，通過探究構圖、簡化構圖、重新構圖，讓問題回歸到常規，讓運算回歸常見，學生就能夠有的放矢，就能將運算進行到底．最重要的是通過探究構圖，學生更容易挖掘出幾何背景，以便充分利用圖形的特征，以形助數，優化運算的路徑，調整運算的步驟，減少復雜的運算，提高運算的效率和準確率，最終提升運算素養．