基于數學運算素養的一道聯考題的思考

胡春香 李連方 (浙江省湖州中學 313000)

1 思考背景

數學教學已經進入“核心素養”時代，高考試題也在發生新的變化，側重考查學生自主探究解決問題的能力，這對師生提出了更高的要求．《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，數學運算是指“在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養”，主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇算方法、設計運算程序、求得運算結果等.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力．眾所周知，解析幾何的本質是用代數方法研究幾何問題，它把曲線用代數形式表示，利用代數形式研究幾何性質，研究各種位置關系和數量關系，是培養學生運算求解能力的重要載體．本文通過一道解析幾何試題的解析，談在教學中如何培養學生的數學運算素養．

2 問題呈現

(2021年浙江協作體高二數學返校考)如圖1，已知過拋物線C：y2=4x焦點F的直線交拋物線C于點A,B(點A在第一象限)，線段AB的中點為M，拋物線C在點A處的切線與以AM為直徑的圓交于另一點P．

圖1

這是一道以阿基米德三角形為背景的綜合性解析幾何問題，主要考查直線與圓錐曲線位置關系的綜合應用，涉及到拋物線的定義、圓的方程、弦長公式及其垂直距離的求解等知識點，考查學生的數學運算能力和數學轉化能力.該題融多種數學思想方法和解法于一體，對學生的計算能力有著較高要求，是一道有一定難度的題目(整個年級的該題得分率僅為32%)．

3 如何培養學生的數學運算素養

3.1 回歸本質，確立運算思路

反思 確定思路1后，教師更重要的是引導學生選擇合理的運算法則，設計合理的運算程序．后續的消參化簡有一定的難度，需要教師適時引導學生合理地利用韋達定理的兩個等式．

3.2 巧借向量，優化運算方法

反思 解決解析幾何中的垂直距離的方法有很多，而向量是解決垂直距離的最優方式，能實現運算的優化．本解法就是利用有關向量坐標的確定，結合投影的本質，巧妙地借助向量的坐標運算轉化了圓錐曲線問題，從形入手轉化為數的運算，簡化了運算，很好地培養了學生的數學運算素養．

3.3 巧設參數，提升運算效率

圖2

反思 解析幾何問題的解決關鍵在于設參與消參.在其運算過程中，及時地審視與反思從而調整運算策略，這有助于提升學生運算的正確率和速度．本題在利用點參運算復雜時，轉而利用傾斜角為參數大大簡化運算，從而有效地提升了學生的數學運算素養．

3.4 重視背景，提高思維能力

將幾何問題代數化是解決解析幾何問題的基本思路，但是若合理地利用幾何背景，揭示問題的幾何本質，可以極大地簡化運算過程，提高學生的思維能力和品質．

圖3

總而言之，學生的運算素養是可發展、可提升的．課堂教學要以培養學生的運算能力作為教學目標之一，做好每一節課的教學設計，把提高學生的運算素養滲透到每一節課中.在問題的解決過程中，重視引導學生思考：“為什么要這樣算，是否有更好的運算方法．”將教師精心選編的每一道例題中蘊含的數學運算方法合理和自然表現出來，反復強化和滲透，將其始終貫穿課堂的教學中，學生勢必會形成良好的運算習慣，數學運算素養必定能大大提升．