函數(shù)的“前世今生”

唐崇明

早在古希臘時(shí)期，人們就在運(yùn)動(dòng)的過程中種下了函數(shù)的種子，但這顆偉大的數(shù)學(xué)種子一直沒有生根發(fā)芽，直到14世紀(jì)才稍有起色，而對這顆種子澆水施肥的人就是法國數(shù)學(xué)家奧雷斯姆。他在研究一個(gè)勻速減到零的速度問題時(shí)，想要把速度用圖像表示出來。于是，他就用一條水平線上的點(diǎn)來表示時(shí)間，稱為“經(jīng)度”;用豎直線上的點(diǎn)來表示速度，稱為“緯度”。大家對“經(jīng)度”和“緯度”是不是感覺很熟悉？這就是我們已經(jīng)學(xué)過的直角坐標(biāo)系的原型。在研究過程中，奧雷斯姆畫了一條線段來描述速度逐漸減小到零的運(yùn)動(dòng)，于是，在函數(shù)這個(gè)精確的概念還沒出現(xiàn)時(shí)，圖像就深深地融入函數(shù)的血液里。大家對這樣的圖像是不是也感到很熟悉？這樣的圖像其實(shí)就是我們所學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的圖像。

15世紀(jì)，哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，開啟了大航海時(shí)代。船長們在茫茫大海上航行時(shí)，經(jīng)常遇到一個(gè)令人頭疼的問題：該如何確定船在大海上的位置呢？數(shù)學(xué)家們開始了對運(yùn)動(dòng)以及事物變化的研究。笛卡爾在針對這類問題的研究中提出了一個(gè)對函數(shù)發(fā)展至關(guān)重要的詞——“變量”。例如，在航行過程中把時(shí)間稱為自變量，船航行的路程因?yàn)闀r(shí)間的變化而變化，所以稱為因變量。之后，萊布尼茨創(chuàng)造出了“函數(shù)”這個(gè)詞，并把函數(shù)表示為由變量和常數(shù)共同組成的樣式，但此時(shí)的函數(shù)定義與我們學(xué)習(xí)的函數(shù)定義似乎還是不一樣。

在萊布尼茨創(chuàng)造出“函數(shù)”這個(gè)詞后，函數(shù)的定義在數(shù)學(xué)史上還經(jīng)歷了5次擴(kuò)張。

第一次擴(kuò)張發(fā)生在1718年，約翰·伯努利在萊布尼茨的基礎(chǔ)上對函數(shù)進(jìn)行了定義：由一個(gè)變量x與常數(shù)構(gòu)成的任意表達(dá)式，稱為x的函數(shù)。后來，數(shù)學(xué)家歐拉把函數(shù)定義為：變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式，它是由這個(gè)變量和一些變量以任何方式組成的。這就是函數(shù)的第二次擴(kuò)張。但歐拉的定義仍然沒有脫離表達(dá)式對函數(shù)的限制，例如，隨著時(shí)間的變化，潮水的水位也在不斷變化，此時(shí)，無法用具體的表達(dá)式來表示。到了1821年，柯西把函數(shù)定義為：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值隨之確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫作自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù)。在他的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對函數(shù)來說不一定要有表達(dá)式。我們發(fā)現(xiàn)，柯西的研究削弱了表達(dá)式的地位而加強(qiáng)了變化的重要性。直至1837年，狄利克雷突破了函數(shù)表達(dá)式對函數(shù)定義的局限性，他認(rèn)為：對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫作x的函數(shù)。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。同學(xué)們學(xué)習(xí)的定義就來自狄利克雷的貢獻(xiàn)。現(xiàn)在肯定有同學(xué)要問：“那函數(shù)的第五次擴(kuò)張又產(chǎn)生了哪些變化呢？”這個(gè)問題我們將在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的“集合定義”時(shí)解答。

在函數(shù)的發(fā)展過程中，不僅有外國人的身影，我國數(shù)學(xué)家也有著巨大貢獻(xiàn)。李國平是我國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、文學(xué)家，他和華羅庚、蘇步青并稱為中國數(shù)學(xué)界“三大巨擘”。李國平出國留學(xué)后在法國龐加萊研究所工作，但是他時(shí)刻沒有忘記自己的祖國。1939年，在國家危難之際，他毅然歸國，在四川大學(xué)數(shù)學(xué)系任教。李國平以“函數(shù)論”為研究方向，陸續(xù)在半純函數(shù)唯一性問題、有理函數(shù)表寫問題、整函數(shù)理論應(yīng)用、解析函數(shù)逼近等研究方向獲得多項(xiàng)重要成果，為函數(shù)的發(fā)展貢獻(xiàn)了中國的一份力量。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級(jí)中學(xué)）