會找捷徑的小螞蟻

甄璽

自從接觸了“將軍飲馬”問題，我們就愛上了求距離最小值問題。我班同學開始搜集各式各樣的距離求解類問題，以每日一題的形式與大家分享。下面就是我和同學們推薦的每日一題，讓我們一起來揭秘“花式例題”中的距離最小值問題吧！

【原題呈現】如圖1，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑。一只螞蟻從A點出發，沿著圓柱的側面爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？

讀完題目，我發現這題是求曲面上的線段長度，與以前求平面圖形中線段的長度不一樣。見臺下沒了動靜，老師開始引導我們：“既然不會求曲面上的線段長度，那就把它轉化成你會求的線段問題。”底下有的同學恍然大悟：“沿著高線AB，將圓柱側面展開成平面（如圖2），根據兩點之間，線段最短，找到最短路徑。此時，A到C和A′到C的距離是一樣的。由題可得AD=12cm，CD=9cm，∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，∴AC=15cm，即最短路程為15cm。”

【原題追問】若螞蟻爬了一圈半才到C點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？

同學們思考了起來。沒一會，就有人上臺畫出了展開圖AA′GB，在GA′上取GE′=[13]GA′，取BG中點C，連接AE′和CE′，如圖3。此時，同學認為螞蟻所走的路線為AE′+CE′。

老師問：“為什么是取GE′=[13]GA′？為什么螞蟻走的路線是AE′+CE′？”

我說：“螞蟻走的路線是AE′+CE，而不是AE′+CE′。因為展開圓柱時，螞蟻的路線就已經被分成兩個部分了。”為了更好地解釋這個問題，我上臺把EC平移到了E′H。也就是說，要走一圈半到C，則要畫一個長為3AD，寬為AB的長方形，如圖3，連接AH，即為螞蟻爬的最短路線。由題可得AF=36cm，HF=9cm，∴在Rt△AFH中，AF2+HF2=AH2，∴AH=9[17]cm，即螞蟻爬行的最短路程是9[17]cm。……