會找捷徑的小螞蟻

甄璽

自從接觸了“將軍飲馬”問題，我們就愛上了求距離最小值問題。我班同學(xué)開始搜集各式各樣的距離求解類問題，以每日一題的形式與大家分享。下面就是我和同學(xué)們推薦的每日一題，讓我們一起來揭秘“花式例題”中的距離最小值問題吧！

【原題呈現(xiàn)】如圖1，一圓柱體的底面周長為24cm，高AB為9cm，BC是上底面的直徑。一只螞蟻從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？

讀完題目，我發(fā)現(xiàn)這題是求曲面上的線段長度，與以前求平面圖形中線段的長度不一樣。見臺下沒了動靜，老師開始引導(dǎo)我們：“既然不會求曲面上的線段長度，那就把它轉(zhuǎn)化成你會求的線段問題。”底下有的同學(xué)恍然大悟：“沿著高線AB，將圓柱側(cè)面展開成平面（如圖2），根據(jù)兩點之間，線段最短，找到最短路徑。此時，A到C和A′到C的距離是一樣的。由題可得AD=12cm，CD=9cm，∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，∴AC=15cm，即最短路程為15cm。”

【原題追問】若螞蟻爬了一圈半才到C點，則螞蟻爬行的最短路程是多少？

同學(xué)們思考了起來。沒一會，就有人上臺畫出了展開圖AA′GB，在GA′上取GE′=[13]GA′，取BG中點C，連接AE′和CE′，如圖3。此時，同學(xué)認為螞蟻所走的路線為AE′+CE′。

老師問：“為什么是取GE′=[13]GA′？為什么螞蟻走的路線是AE′+CE′？”

我說：“螞蟻走的路線是AE′+CE，而不是AE′+CE′。因為展開圓柱時，螞蟻的路線就已經(jīng)被分成兩個部分了。”為了更好地解釋這個問題，我上臺把EC平移到了E′H。也就是說，要走一圈半到C，則要畫一個長為3AD，寬為AB的長方形，如圖3，連接AH，即為螞蟻爬的最短路線。由題可得AF=36cm，HF=9cm，∴在Rt△AFH中，AF2+HF2=AH2，∴AH=9[17]cm，即螞蟻爬行的最短路程是9[17]cm。

【舉一反三】如圖4，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點B處有一粒米，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與米粒相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離是多少？

老師準(zhǔn)備讓一名同學(xué)上臺為大家講解這道題。我迫不及待地主動上臺講題：“螞蟻走的路一部分在杯外壁，一部分在杯內(nèi)壁，這是典型的‘將軍飲馬’問題。如圖5，先展開這個圓柱，再作A關(guān)于EF的對稱點A′，利用勾股定理求出A′B的長度即可。答案是20cm。”

類似的問題還有很多，但萬變不離其宗。一些數(shù)學(xué)題看似簡單，實則蘊含著很多奧秘，有的奧秘已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了，但還有無窮無盡的奧秘在等著我們發(fā)現(xiàn)，這不正是數(shù)學(xué)的魅力所在嗎？

教師點評

小作者對幾只小螞蟻的爬行問題進行了深入淺出的思考與實踐。一開始從立體圖形如何展開成平面圖形，到展開后如何在平面圖形上找出對應(yīng)點，這個過程需要同學(xué)們“悟一悟”;對于爬行一圈半到達點C的問題，正確地畫出平面圖形，需要有活動經(jīng)歷。兩名同學(xué)，一名模擬螞蟻路徑，一名將一部分路線進行平移，從而水到渠成地構(gòu)建出正確的圖形，這樣的討論與實踐過程，讓大家更能理解這道題的本質(zhì)。最后，又通過一個同質(zhì)不同形的變式題的探究、拓展與思考，讓此類型題目更加凸顯本質(zhì)。

（指導(dǎo)教師：章薇薇）