巧構一次函數模型 妙解生活決策問題

陳軍

數學來源于生活，又應用于生活。用生活中的信息構建數學模型，既能解決實際問題，又能彰顯數學魅力。下面，老師以生活中的實際問題為例，與同學們談談如何構建一次函數模型來解決決策性問題，希望對同學們的學習有所啟迪和幫助。

問題1：學校欲購置一批標價為4800元的某種型號電腦，需求數量在6～15臺之間。經與兩個商店商談，優惠方法如下：

甲商店：購買電腦打八折;

乙商店：先贈一臺電腦，其余電腦打九折優惠。

設學校欲購置x臺電腦，甲商店購買費用為y甲（元），乙商店購買費用為y乙（元）。

（1）分別寫出購買費用y甲、y乙與所購電腦x（臺）之間的函數表達式;

（2）對x的取值情況進行分析，說明這所學校購買哪家電腦更劃算。

【分析】問題（1），可直接根據甲商店和乙商店優惠的條件，得出函數表達式;問題（2），要確定這所學校購買哪家電腦更劃算，也就是到哪家購買電腦的費用更少，實際上就是分類討論甲商店購買費用與乙商店購買費用的大小關系，結合（1）的表達式，運用方程和不等式即可解決問題。

解：（1）由題意可得，y甲=4800×0.8x=3840x（6≤x≤15）;y乙=4800×0.9（x-1）=4320x-4320（6≤x≤15）。

（2）當3840x=4320x-4320時，解得x=9，即當購買9臺電腦時，到兩個商店購買費用相同;當3840x<4320x-4320時，解得x>9，即當10≤x≤15時，到甲商店更劃算;當3840x>4320x-4320時，解得x<9，即當6≤x≤8時，到乙商店更劃算。

【點評】本題考查應用一次函數模型解決實際問題的能力。讀懂題目信息，理解“更劃算”的實際意義，并將其轉化為數學語言，再構建數學模型是解決本題的關鍵。

問題2：某工廠計劃生產A、B兩種產品共50件，已知A產品成本2000元/件，售價2300元/件;B種產品成本3000元/件，售價3500元/件。如果該廠每天最多投入成本140000元，那么該廠生產的兩種產品全部售出后，最多能獲利多少元？

【分析】由于該工廠計劃生產A、B兩種產品的件數都是變量，因此，可建立該廠每天生產A種產品x（件）與兩種產品全部售出后共可獲利y（元）之間的函數表達式，再根據問題中的條件“該廠每天最多投入成本140000元”建立關于x的不等式，求得x的取值范圍，從而根據函數的性質確定該廠生產的兩種產品全部售出后，最多可獲得的利潤。

解：設該廠每天生產A種產品x件，兩種產品全部售出后共可獲利y元。由題意可得y=（2300-2000）x+（3500-3000）（50-x）=-200x+25000，

即y與x的函數表達式為y=-200x+25000。

∵該廠每天最多投入成本140000元，

∴2000x+3000（50-x）≤140000，

解得x≥10。

∵y=-200x+25000，

∴當x=10時，y取得最大值，此時y=23000。

答：該廠生產的兩種產品全部售出后，最多能獲利23000元。

【點評】本題巧妙地利用待求問題與變化量之間的關系建立一次函數表達式，考查了同學們靈活應用一次函數、一元一次不等式等知識解決實際問題的能力。解答本題的關鍵是構建一次函數數學模型。

總之，數學無處不在。數學知識是解決生活問題的關鍵，建模是解決實際問題的一個重要手段，而構建一次函數模型解決實際生活中的決策問題，又是常見的方法之一。學習函數不僅能幫助同學們形成良好的數學思維，還能提高同學們解決實際問題的能力。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級中學）