巧構一次函數模型 妙解生活決策問題

陳軍

數學來源于生活，又應用于生活。用生活中的信息構建數學模型，既能解決實際問題，又能彰顯數學魅力。下面，老師以生活中的實際問題為例，與同學們談談如何構建一次函數模型來解決決策性問題，希望對同學們的學習有所啟迪和幫助。

問題1：學校欲購置一批標價為4800元的某種型號電腦，需求數量在6～15臺之間。經與兩個商店商談，優惠方法如下：

甲商店：購買電腦打八折;

乙商店：先贈一臺電腦，其余電腦打九折優惠。

設學校欲購置x臺電腦，甲商店購買費用為y甲（元），乙商店購買費用為y乙（元）。

（1）分別寫出購買費用y甲、y乙與所購電腦x（臺）之間的函數表達式;

（2）對x的取值情況進行分析，說明這所學校購買哪家電腦更劃算。

【分析】問題（1），可直接根據甲商店和乙商店優惠的條件，得出函數表達式;問題（2），要確定這所學校購買哪家電腦更劃算，也就是到哪家購買電腦的費用更少，實際上就是分類討論甲商店購買費用與乙商店購買費用的大小關系，結合（1）的表達式，運用方程和不等式即可解決問題。

解：（1）由題意可得，y甲=4800×0.8x=3840x（6≤x≤15）;y乙=4800×0.9（x-1）=4320x-4320（6≤x≤15）。

（2）當3840x=4320x-4320時，解得x=9，即當購買9臺電腦時，到兩個商店購買費用相同;當3840x<4320x-4320時，解得x>9，即當10≤x≤15時，到甲商店更劃算;當3840x>4320x-4320時，解得x<9，即當6≤x≤8時，到乙商店更劃算。

【點評】本題考查應用一次函數模型解決實際問題的能力。讀懂題目信息，理解“更劃算”的實際意義，并將其轉化為數學語言，再構建數學模型是解決本題的關鍵。

問題2：某工廠計劃生產A、B兩種產品共50件，已知A產品成本2000元/件，售價2300元/件;B種產品成本3000元/件，售價3500元/件。……