“一次函數(shù)”易錯題解析

周林超

我們在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，常常會出現(xiàn)各種問題。下面對本章的易錯題進行整理分析。

易錯類型一：對一次函數(shù)概念理解不清

1.已知下列函數(shù)：①y=x;②y+2x=3;③y=1;④y=3x2+7;⑤y=x-5，其中y是關(guān)于x的一次函數(shù)的是（? ? ? ? ?）。

A.①③④⑤ B.②③⑤

C.①②⑤ D.②⑤

【分析】有的同學(xué)在解答時會出現(xiàn)選“B”或“D”的錯誤現(xiàn)象。一次函數(shù)概念中的k、b為常數(shù)，k≠0，但b可以為0。當(dāng)b=0時，函數(shù)y=kx（k≠0）為正比例函數(shù)，它是特殊的一次函數(shù)，選擇“D”的同學(xué)就是忽略了這一點。而函數(shù)③④不符合一次函數(shù)的定義，選“B”的同學(xué)正是由于對一次函數(shù)的概念理解不清而出錯。很多同學(xué)對②是不是一次函數(shù)比較糾結(jié)，因為它不是我們熟悉的形式。對于數(shù)（函數(shù)），我們不能只看其形式，而要看其本質(zhì)，它可以化為y=-2x+3，因此，它也是一次函數(shù)。故選C。

易錯類型二：對一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)理解不透徹

2.若直線y=-3x+k不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

【分析】本題考查了同學(xué)們對一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）性質(zhì)的掌握。條件：“不經(jīng)過”第三象限，有的同學(xué)會錯誤或者局限地認為該函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，而忽視了只經(jīng)過第二、四象限（正比例函數(shù)）這種特殊情況。因此，不少同學(xué)錯誤地認為k>0。故答案為k≥0。

易錯類型三：對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式不熟練

3.已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像過點（2，0），且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則這個一次函數(shù)的表達式是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

【分析】本題先根據(jù)面積求出三角形在y軸上方的長度，再分正半軸和負半軸兩種情況討論求解。需要注意本題有兩種情況，有的同學(xué)錯在漏解，或者對絕對值符號不能正確使用，沒有考慮到形的多樣性。

解：由題意得，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像與y軸交點坐標(biāo)為（0，b），則[12]×2×|b|=1，解得|b|=1，∴b=±1。

①當(dāng)b=1時，與y軸的交點為（0，1），

∴2k+1=0，解得k=-[12]，

∴函數(shù)表達式為y=-[12]x+1;

②當(dāng)b=-1時，與y軸的交點為（0，-1），

∴2k-1=0，解得k=[12]，

∴函數(shù)表達式為y=[12]x-1。

綜上所述，這個一次函數(shù)的表達式是y=[12]x-1或y=-[12]x+1。

故答案為y=[12]x-1或y=-[12]x+1。

易錯類型四：對一次函數(shù)增減性分析不全面

4.當(dāng)-3≤x≤1時，一次函數(shù)y=kx+b對應(yīng)的函數(shù)值為1≤y≤9，求k+b的值。

【分析】本題應(yīng)該考慮到y(tǒng)有可能隨x的增大而增大，也有可能隨x的增大而減小，而不單單只考慮一種情況進行求解。

解：①當(dāng)x=-3時，y=1;當(dāng)x=1時，y=9，

則[1=-3k+b，9=k+b，]解得[k=2，b=7，]

∴k+b=9。

②當(dāng)x=-3時，y=9;當(dāng)x=1時，y=1，

則[-3k+b=9，k+b=1，]解得[k=-2，b=3，]

∴k+b=1。

故答案為9或1。

易錯類型五：對一次函數(shù)圖像信息獲取不準確

5.如圖1，甲騎摩托車從A地駛往B地，乙騎自行車從B地駛往A地，兩人同時出發(fā)。設(shè)行駛的時間為t（h），兩車之間的距離為s（km），圖中的折線表示s與t之間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖像得出下列信息：①A、B兩地相距90 km;②當(dāng)乙行駛1.5 h時，甲和乙在點D處相遇;③甲騎摩托車的速度為乙騎自行車的速度的3倍;④甲在相遇后2 h到達B地。其中正確的信息有? ? ? ? ? ? ? ? 。（填寫序號）

【分析】對一次函數(shù)圖像進行分析時，同學(xué)們要能夠?qū)D像進行全方位的剖析，抓住圖像中“拐點”的意義，弄清楚“拐點”出現(xiàn)的原因。其中，理解橫軸、縱軸的實際意義尤為重要，有的同學(xué)對橫軸和縱軸數(shù)據(jù)的綜合理解和處理的能力不足，導(dǎo)致解題困惑。本題中的1.5 h是兩車相遇的時間，橫坐標(biāo)6h的信息處理和信息再加工是解題瓶頸。

解：根據(jù)行駛的時間為t（h），兩車之間的距離為s（km），由圖像可得出：A、B兩地相距90 km，①正確;當(dāng)乙行駛1.5 h時，甲和乙在點D處相遇，②正確;乙騎自行車的速度為[906]=15（km/h），設(shè)甲騎摩托車的速度為a km/h。則[9015+a]=1.5，解得a=45，

∴甲騎摩托車的速度為乙騎自行車的速度的3倍，③正確;∵甲騎摩托車的速度為45 km/h，[9045]=2（h），∴甲在相遇后2-1.5=0.5（h）到達B地，④錯誤。故本題正確答案為①②③。

（作者單位：江蘇省建湖縣秀夫初級中學(xué)）