縱橫聯系，數學更有趣

朱月紅

數學世界浩瀚如海，數學知識千差萬別，但不同知識之間卻存在“親緣”關系、相似之處。只有學會有聯系地思考，我們才能獲得更有益的知識。下面，我們以蘇科版八年級上冊第五章“平面直角坐標系”為例，共同體會其中的奧妙。

一、類比學習，形成完整的知識結構

數學的概念與概念之間具有聯系性。當知識與知識聯系在一起時，新知識因為有了“根”才“成活”，進而成為“活”的知識，最終轉化為“力量”。

請同學們思考一下：“平面直角坐標系”的“上一代”是什么？研究了什么內容？怎么研究的？后續將研究什么問題？

如果類比數軸（一維）研究的對象和路徑，來研究兩條數軸（二維），建立平面直角坐標系，對比“前世”（數軸）和“今生”（平面直角坐標系）（如圖1），同學們是不是有種豁然開朗的感覺？

二、有邏輯地思考，讓思維更靈活

有的同學每攻克一道難題，就志得意滿，其實這還遠遠不夠。同學們要學會從多個角度思考：這道題還有沒有其他解法？如果遇到同類問題，自己還能快速地做出來嗎？

例 在平面直角坐標系中，點A（3，2）關于原點對稱的點的坐標是（ ）。

A.（-3，2）? ? B.（3，-2）

C.（-2，-3）? D.（-3，-2）

【分析】兩個點關于原點對稱，則它們的橫縱坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（-x，-y）。因此，點A（3，2）關于原點對稱的點的坐標是A′（-3，-2）。故選D。

【點評】本題主要考查了關于原點對稱的兩點的性質，正確記憶橫縱坐標的符號是解題關鍵。

變式訓練1 在平面直角坐標系中，點A（-3，-1）關于y軸對稱的點的坐標是（ ）。

A.（-3，1） B.（3，1）

C.（3，-1）? D.（-1，-3）

【分析】根據關于y軸對稱的點的坐標特點，即橫坐標互為相反數，縱坐標不變，可得出答案。因此，點A（-3，-1）關于y軸的對稱點A′的坐標是（3，-1）。故選C。

【點評】本題主要考查了關于y軸對稱的點的坐標，解題的關鍵是掌握點的坐標特點。

變式訓練2 若點P（x，y）在第三象限，則點M（y-1，-x+1）在第 ? ? 象限。

【分析】首先，根據各象限內的點的橫、縱坐標的特征，判斷出x、y的正負情況;再根據對橫、縱坐標的理解，判斷出點M的橫、縱坐標的正負情況;最后，根據各象限內的點的坐標特征進行解答。

方法一（特殊值法，解決填空、選擇題最快捷的方法）：

令x=-1，y=-1，則y-1=-2，-x+1=2，

∴M（-2，2）。

故點M在第二象限。

方法二（根據各象限內的點的坐標特點）：

∵點P（x，y）在第三象限，

∴x<0，y<0，

∴y-1<0，-x+1>0。

故點M（y-1，-x+1）在第二象限。

方法三（數形結合，如圖2）：

∵點P（x，y）在第三象限，

∴x<0，y<0，

∴-x>0，y<0，

∴點（y，-x）在第二象限，

∴點（y-1，-x+1）為點（y，-x）向左平移1個單位，向上平移1個單位，平移后的點仍在第二象限。

故點M（y-1，-x+1）在第二象限。

【點評】一道例題有多種變法，一個問題有多種解法，同學們只有做到觸類旁通，才能真正弄懂、弄透一類題，才能以不變應萬變，享受學習數學的樂趣。下面我們再變一變，請同學們試一試。

變式訓練3 在平面直角坐標系中，若點P（a-3，1）與點Q（2，b+1）關于x軸對稱，則a+b的值是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.4

變式訓練4 在平面直角坐標系中，過不同的兩點 P（2a，6）與 Q（4+b，3-b）的直線 PQ //x 軸，則 a，b滿足的條件是 ? ? ? ? ? ? 。

同學們要學會從不同角度、不同思想、不同方法和不同的運算過程進行聯想，這樣可以將一些繁瑣的甚至枯燥無味的習題變得充滿趣味。

[參考答案]

變式訓練3.C;變式訓練4.a≠[12]，

b=-3。

（作者單位：江蘇省泰州市高港區教師發展中心）