機(jī)械臂卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模軌跡跟蹤控制

謝 宏，王立宸，袁小芳，陳海濱

湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長沙 410082

由于機(jī)械臂是具有非線性，強(qiáng)耦合，不確定等特點(diǎn)的復(fù)雜系統(tǒng)，因此對(duì)機(jī)械臂的精確控制問題一直是控制領(lǐng)域的難點(diǎn)和熱點(diǎn)[1]?；？刂品椒m然具有對(duì)參數(shù)變化及未知擾動(dòng)不敏感、響應(yīng)快速、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)等優(yōu)點(diǎn)，但也存在嚴(yán)重的“抖振問題[2-3]”。

目前，隨著各種智能算法的發(fā)展，為了提高控制性能，眾多學(xué)者提出了許多先進(jìn)的控制方法。Lee 等[4]提出了一種自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法，該方法基于當(dāng)控制系統(tǒng)的建模誤差和外界擾動(dòng)變化時(shí)，根據(jù)實(shí)際位置和期望位置的差值調(diào)整控制策略，進(jìn)而補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，但是該方法控制精度較低。Yang 等[5]提出了一種基于柔性機(jī)械臂的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?，自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于補(bǔ)償柔性機(jī)械臂的不確定部分，再通過滑?？刂仆瓿煽刂迫蝿?wù)，取得了一定的效果，但作用對(duì)象較為單一。Li等[6]通過設(shè)計(jì)魯棒項(xiàng)，并將其添加到RBF自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制律中，彌補(bǔ)了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。但未考慮外部不確定干擾項(xiàng)，且延長了軌跡收斂時(shí)間。

深度學(xué)習(xí)，是一種基于學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)表示的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是深度學(xué)習(xí)方法中的一種廣泛應(yīng)用模型[7-9]。將深度學(xué)習(xí)模型引入到機(jī)械臂軌跡跟蹤控制，是目前的研究方向。

劉衛(wèi)朋等[10]提出了基于增強(qiáng)學(xué)習(xí)的控制方法，同時(shí)使用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提高迭代速度。但是該方法是從經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)控制律，無法及時(shí)和被控對(duì)象建立聯(lián)系，導(dǎo)致誤差收斂比較緩慢。Wang等[11]設(shè)計(jì)了一種基于時(shí)滯估計(jì)的分?jǐn)?shù)階NTSM控制器，利用延時(shí)估計(jì)的方法得到系統(tǒng)不確定部分的補(bǔ)償。延時(shí)估計(jì)避免了脫離模型的學(xué)習(xí)，提高了數(shù)據(jù)的精確度。Yao 等[12]將深度學(xué)習(xí)和滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合，應(yīng)用在磁軸承系統(tǒng)中，借助卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的前向通路和反向回路確定控制系統(tǒng)的輸出和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的更新，達(dá)到了轉(zhuǎn)子預(yù)計(jì)的軌跡跟蹤效果。這為本文提供了思路。

深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對(duì)機(jī)械臂模型不確定部分的精確補(bǔ)償能夠減少傳統(tǒng)滑模控制存在的“抖振”缺點(diǎn)，由于卷積等操作的存在，較傳統(tǒng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型有著更強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力，跟蹤精度會(huì)有進(jìn)一步的提高，延時(shí)估計(jì)也會(huì)避免根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)控制律，使得跟蹤誤差收斂時(shí)間較于增強(qiáng)學(xué)習(xí)大幅縮短。

由此，本文提出了一種機(jī)械臂卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模軌跡跟蹤控制方法。首先分析機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型，提取出不確定部分，再設(shè)計(jì)基于延時(shí)估計(jì)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)加以補(bǔ)償，最后將補(bǔ)償項(xiàng)添加到滑模控制律中，通過改進(jìn)后的滑?？刂品椒ㄍ瓿蓹C(jī)械臂軌跡跟蹤，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證跟蹤效果。結(jié)果顯示本文方法能夠提高機(jī)械臂的控制精度和實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的快速控制。

1 機(jī)械臂模型的描述

已知n關(guān)節(jié)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為：

2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

2.1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

基于上述公式，為了在廣泛應(yīng)用的RBF網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步提高精度，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)基于深度學(xué)習(xí)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，主要包括以下四個(gè)部分：輸入層、卷積層1、卷積層2、輸出層。在本網(wǎng)絡(luò)中，池化層隱去的原因是由于輸入層的維數(shù)不大。應(yīng)用延時(shí)估計(jì)的方法，定義輸入層的輸入矩陣為V0=[(e)t,(e)t-1,…(e)t-z] ∈Rn×z。其中z代表延時(shí)采樣點(diǎn)的數(shù)目。最后的輸出為機(jī)械臂不確定部分的補(bǔ)償VDCNN∈Rn。

如圖1展示了本文卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型。

圖1 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Convolutional neural network model

在卷積層1中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入矩陣V0∈Rn×z通過含有D1數(shù)量的卷積核濾波，卷積核為K1∈RH11×H12。將激勵(lì)函數(shù)f作用到濾波結(jié)果進(jìn)而得到特征圖V1∈RN11×N12×D1，并且將其作為卷積層2的輸入。

在卷積層2中，特征圖V1∈RN11×N12×D1通過含有D2數(shù)量的卷積核濾波，卷積核為K2∈RH21×H22。將激勵(lì)函數(shù)f作用到濾波結(jié)果進(jìn)而得到特征圖V2∈RN21×N22×D2。將特征圖V2∈RN21×N22×D2轉(zhuǎn)為矢量Vv∈RN3×1，其中N3=N21×N22×D2。最后通過轉(zhuǎn)換關(guān)系f0得到卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出VDCNN∈Rn。

2.2 前向通路計(jì)算

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)計(jì)算由前向通路和反向回路兩部分決定。通過前向通路計(jì)算出卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。每一個(gè)卷積層的輸出為：

其中卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出層的權(quán)值和偏移量由wv，bv表示。Vv是通過卷積層2的輸出V2得到的。

2.3 反向回路計(jì)算

通過反向回路的相關(guān)計(jì)算更新卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和偏移量。定義損失函數(shù)如下：

其中mi表示機(jī)械臂第i個(gè)關(guān)節(jié)的質(zhì)量。

使用梯度下降法，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和偏移量的更新公式如下：

其中w′、b′表示更新后的權(quán)值和偏移量，dw、db表示對(duì)應(yīng)的靈敏量，rw、rb表示學(xué)習(xí)速率，靈敏量可通過反向傳播法計(jì)算，結(jié)果如下：

相似的，可以得到：

3 控制器的設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性證明

3.1 控制器的設(shè)計(jì)

基于此，本文設(shè)計(jì)了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑模控制器，如圖2展示了控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of control system

滑模控制器的輸入為位置跟蹤誤差信號(hào)e和速度跟蹤誤差信號(hào)e?，輸出為機(jī)械臂的控制力矩τ。其中控制力矩τ包含卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償項(xiàng)VDCNN。

本文所設(shè)計(jì)的基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制器要解決以下三個(gè)問題：機(jī)械臂的抖振問題、不確定部分的補(bǔ)償問題、跟蹤精度問題。

3.2 穩(wěn)定性證明

當(dāng)選擇式（4）作為滑模函數(shù)，式（21）為機(jī)械臂的控制力矩，就能夠保證誤差狀態(tài)方程式（5）從任意s不為零的位置趨近于切換面s=0。設(shè)計(jì)如下：

其中η為切換開關(guān)，且

β和ρ為大于零的常數(shù)。

穩(wěn)定性證明：

定義Lyapunov函數(shù)如下：

式（23）求導(dǎo)，得到：

將式（3）、（5）、（21）代入式（24），得到：

將卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的更新方程代入式（25），得到：

將式（22）代入式（26），得到：

當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，式（27）會(huì)逐漸收斂到零，滑模面會(huì)趨近到原點(diǎn)。同時(shí)機(jī)械臂的軌跡跟蹤誤差和速度跟蹤誤差均會(huì)趨于零，控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真分析

4.1 仿真效果

為驗(yàn)證本文控制方法的有效性，采用式（1）的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程，在MATLAB/Simulink 模塊上搭建仿真模型，選擇兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂模型進(jìn)行仿真研究。相關(guān)參數(shù)如下所示：

如表1為機(jī)械臂相關(guān)參數(shù)。

表1 機(jī)械臂相關(guān)參數(shù)Table 1 Related parameters of manipulators

如表2為卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)參數(shù)。

表2 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相關(guān)參數(shù)Table 2 Related parameters of convolutional neural network

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)重w和初始偏移量b為[-1，1]之內(nèi)的隨機(jī)值。

如圖3 是機(jī)械臂關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的位置跟蹤曲線，可以看出本文控制方法能夠使得機(jī)械臂兩關(guān)節(jié)在較短的時(shí)間逼近期望軌跡，軌跡跟蹤效果良好。

圖3 位置跟蹤曲線Fig.3 Position tracking curve

4.2 對(duì)比分析

為了能更形象地展示本文控制方法的優(yōu)良性能，進(jìn)行以下三種典型控制方法的對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

4.2.1 與傳統(tǒng)滑?？刂频膶?duì)比

對(duì)比文獻(xiàn)[13]提出的滑?？刂品椒ǎM(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

如圖4 是傳統(tǒng)滑模方法下，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 的控制力矩曲線；如圖5是本文方法下，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2的控制力矩曲線。由對(duì)比圖可看出，傳統(tǒng)滑模方法下的關(guān)節(jié)控制力矩曲線出現(xiàn)了嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象，存在對(duì)機(jī)械臂造成損壞的風(fēng)險(xiǎn)。本文方法下的關(guān)節(jié)控制力矩曲線則較為平穩(wěn)，大幅度減少了抖振現(xiàn)象。

圖4 傳統(tǒng)滑模關(guān)節(jié)控制力矩曲線Fig.4 Control torque curve of traditional sliding mode joint

圖5 卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模關(guān)節(jié)控制力矩曲線Fig.5 Control torque curve of convolutional neural network sliding mode joint

如圖6 是采用兩種控制方法時(shí)，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 的位置跟蹤誤差對(duì)比曲線。由對(duì)比曲線可以看出，在本文的控制方法作用下，較于傳統(tǒng)滑模控制，機(jī)械臂關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2的軌跡跟蹤誤差有了顯著的降低，且收斂時(shí)間明顯縮短。說明相較于傳統(tǒng)滑模控制方法，本文的控制方法有一定的優(yōu)勢(shì)。

圖6 關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對(duì)比圖（兩種方法）Fig.6 Comparison chart of joint position tracking error（two methods）

4.2.2 與其他控制方法的對(duì)比

為了驗(yàn)證本文提出的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模控制方法的優(yōu)越性，與文獻(xiàn)[14]提出的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂品椒?、文獻(xiàn)[15]提出的自適應(yīng)模糊控制方法進(jìn)行比較，得到關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差的對(duì)比結(jié)果。

如圖7 是三種控制方法下，關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 的位置跟蹤誤差對(duì)比曲線。為了評(píng)估控制效果，將收斂時(shí)間CT（convergence time）、最大誤差ME（maximum error）、平均誤差A(yù)E（average error）用于評(píng)估軌跡跟蹤性能，定義如下：

圖7 關(guān)節(jié)位置跟蹤誤差對(duì)比圖（三種方法）Fig.7 Comparison chart of joint position tracking error（three methods）

評(píng)估結(jié)果如表3所示。

表3 數(shù)據(jù)對(duì)比Table 3 Comparison of Data

由表3可以得到，本文提出的控制方法在控制精度和快速控制方面明顯優(yōu)于另外兩種控制方法。采用的深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)不確定部分有著更為精確的補(bǔ)償，提高了控制精度，延時(shí)估計(jì)方法的引入也縮短了誤差收斂的時(shí)間。相較于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模、自適應(yīng)模糊兩種控制方法，關(guān)節(jié)1 的誤差收斂時(shí)間分別減少了75.9%、88.8%；關(guān)節(jié)2 的誤差收斂時(shí)間分別減少了78.9%、83.5%；關(guān)節(jié)1 的平均誤差減分別少了17.9%、12.1%；關(guān)節(jié)2的平均誤差分別減少了10.9%、4.9%；關(guān)節(jié)1 的最大誤差分別減少了64.1%、20.7%；關(guān)節(jié)2 的最大誤差分別減少了4.5%、25.0%。綜合分析本文的控制方法較優(yōu)。

5 結(jié)語

本文為了進(jìn)一步提高工業(yè)機(jī)械臂的精度，縮短軌跡跟蹤誤差收斂時(shí)間，提出了一種機(jī)械臂卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模軌跡跟蹤控制方法。通過分析機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程提取出不確定部分，采用基于延時(shí)估計(jì)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)加以補(bǔ)償，并將精確補(bǔ)償后的部分添加到滑模控制律中。通過計(jì)算驗(yàn)證了收斂條件的成立，證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以二關(guān)節(jié)機(jī)械臂為仿真對(duì)象，通過與三種典型控制方法的對(duì)比，結(jié)果表明，在本文的控制方法下，機(jī)械臂關(guān)節(jié)位置的誤差收斂時(shí)間有所減少，平均誤差和最大誤差均有所降低，跟蹤精度有所提升。但是在卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值的選取上，采用的是隨機(jī)方法，未來可以進(jìn)一步優(yōu)化初始權(quán)值、偏移量，進(jìn)一步提高跟蹤精度。