圓錐懸鏈線形復合變幅桿的設計

鞏建輝，王晨豐，吳承啟

（商洛職業技術學院，陜西商洛 726000）

0 引言

變幅桿又稱為聚能器，是超聲換能器裝置中的一個重要部件，其主要功能是振幅放大和阻抗匹配。在超聲加工系統中，為了提高加工效率，要求換能器的前端輸出較高的振動速度或位移振幅。但是對于一般的換能器振子，無論采用壓電式振子還是磁致伸縮振子，它們端面產生的振動速度或位移振幅較小，不能夠滿足實際加工的要求，這就需要在換能器振子的端面上安裝變幅桿來提高位移振幅。針對不同的加工對象，對變幅桿的性能要求越來越高，為此對變幅桿的設計研究一直是廣大學者關注的熱點，從單一形狀變幅桿到復合變幅桿，從單級變幅桿到多級變幅桿，不斷地對變幅桿性能進行優化，以獲得較高放大倍數和形狀因數的變幅桿為最終目標。靳濤等[1]將圓柱和圓錐桿進行組合，對圓柱圓錐復合變幅桿進行了研究；封志斌等[2]研究了懸鏈線過渡的復合形變幅桿；孫濤等[3]設計了正弦圓柱形復合變幅桿，該變幅桿的放大倍數和形狀因數皆優于階梯形變幅桿；李井等[4]運用替代法研究了冪函數形復合變幅桿。本文將放大性能良好的懸鏈線桿和形狀因數較高的圓錐桿進行組合，提出了一種新型的半波長復合變幅桿，即圓錐懸鏈線形復合變幅桿，運用四端網絡法對變幅桿進行理論設計，得出了頻率方程、放大倍數和節點位置等重要參量，并利用ANSYS軟件對其進行模態分析和諧響應分析，有限元分析結果與理論解算值基本吻合。

1 變幅桿的構建

由圓錐桿的窄端接懸鏈線桿的寬端組成的半波長復合形變幅桿如圖1所示，圓錐桿的長度為l1，大小端面積分別為S1和S，懸鏈線桿的長度為l2，大小端面積分別為S和S2，兩桿的交界面位于坐標原點O處。

圖1 圓錐懸鏈線形復合變幅桿

2 變幅桿的理論分析

在簡諧振動情況下，變截面桿縱振動的波動方程[5]為

式中：vD和vX分別為圓錐懸鏈線形復合變幅桿大端與小端面振動速度；FD和FX分別為圓錐懸鏈線形復合變幅桿大端與小端面受到的力，當圓錐懸鏈線形復合變幅桿兩端自由時，由邊界條件可得FD=FX=0。

此圓錐懸鏈線形復合變幅桿設計頻率f=20 kHz，縱波在細桿中的聲速c=5.2×103m/s，圓錐桿的大小端截面直徑分別為D1=0.052 m、D=0.038 m，懸鏈線桿的大小端截面直徑分別為D=0.038 m、D2=0.016 m。先設定圓錐桿的長度為l1=0.04 m，利用MATLAB對式（7）頻率方程求數值解得到懸鏈線桿的長度l2=0.0976 m，從而得到復合變幅桿的諧振長度l≈0.138 m，對式（8）進行解算得出復合變幅桿的放大倍數MP≈4.5，利用A21可以計算出位移節點是在距離變幅桿左端約0.0448 m的位置。

3 變幅桿的有限元分析

3.1 模態分析

利用ANSYS有限元分析軟件對設計好的變幅桿進行模態分析，首先建立幾何模型，定義單元類型，定義材料屬性，劃分有限元網格，然后進行模態設置，模態擴展設置，并進行擴展求解[9]。這里變幅桿的材料采用45鋼，選用SOLID95實體單元，采用掃掠網格劃分，材料參數定義為：彈性模量為210.9 GPa，泊松比為0.28，密度為7800 kg/m3。網格的劃分情況如圖2所示，共有35 976個節點和22 618個單元。運用分塊蘭索法（Block Lanczos）分析，模態提取頻率范圍為15～25 kHz，使用Solve求解后當f′=19808 Hz時得到其縱向振動的位移云如圖3所示。

圖2 變幅桿的有限元模型

圖3 變幅桿的位移云圖

3.2 諧響應分析

在模態分析的基礎上，采用完全法（full）進行諧響應分析，這種方法是運用完整的系統矩陣來計算響應的[10]。在圓柱桿的左端面加載幅值為2.7 μm的正弦變化的周期位移載荷，在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應曲線如圖4所示，從響應曲線可以看出在諧振頻率大約20 000 Hz附近出現了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖5所示。從圖5可以看出，變幅桿大小端面位移分別為2.7 μm和121.85 μm，可得到放大倍數約為4.4，也可以看出位移節點是在距離變幅桿左端約0.044 m的位置，有限元分析結果與理論設計基本一致。

圖4 諧響應曲線

圖5 變幅桿的軸向位移曲線

4 結論

將經典的圓錐形和懸鏈線形變幅桿進行組合，提出了一種新型的圓錐懸鏈線形復合變幅桿。首先構建了復合型變幅桿的模型，然后運用圓錐形和懸鏈線形變幅桿的四端網絡傳輸方程得到了新型復合變幅桿的傳輸方程，分析傳輸方程得出了頻率方程和放大倍數的數學表達式及節點位置，借助MATLAB軟件解算出了新型復合變幅桿的諧振長度、放大倍數和節點位置。最后采用ANSYS軟件對復合變幅桿進行了模態分析和諧響應分析，將有限元分析結果與理論計算值進行比較，諧振頻率相差0.96%，放大倍數相差2.2%，位移節點位置相差0.17%，有限元分析結果與理論設計基本一致，符合變幅桿設計要求。利用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進行組合，得出新型變幅桿，為變幅桿的優化設計提供了借鑒，有一定的實用價值。