基于實測誤差的齒輪傳動模型的建立與分析

蘇家乙，王德倫

（大連理工大學機械工程學院, 遼寧大連 116024）

0 引言

齒輪傳動是機械傳動中最常見的形式之一，廣泛應用于各類機械設備和儀器儀表中。齒輪傳動的質(zhì)量對設備的精度、壽命、振動和噪聲等有重大影響，而齒面接觸區(qū)域和齒輪傳動誤差是衡量齒輪傳動質(zhì)量好壞的綜合技術指標[1]。因此，研究各類誤差下齒輪傳動的情況有重要的意義。

使用計算機模擬齒面接觸傳動的方法稱為齒面接觸分析技術（Tooth Contact Analysis，TCA）。美國Livtin[2]總結了TCA技術，并普遍應用于不同的齒輪嚙合。鄭啟昌[3]、方宗德[4]、蔣進科[5]利用TCA技術對準雙曲面齒輪、弧齒錐齒輪、直齒輪和斜齒輪等進行接觸分析，并討論了齒面誤差、修形和安裝誤差對傳動的影響。考慮誤差時齒輪副傳動退化為空間中兩剛體接觸傳動，齒面上的點、線、面都可能參與接觸導致邊緣接觸等情況。然而現(xiàn)有研究中并未對接觸類型進行有效辨識進而形成統(tǒng)一模型，導致對考慮誤差時的齒輪傳動情況分析不準確。

綜上，本文以漸開線直齒輪為例，基于齒面誤差、齒距誤差和軸線誤差測量原理，依據(jù)基本的運動幾何學理論建立齒輪傳動模型，對考慮上述誤差時齒輪的傳動情況進行分析。

1 基于誤差測量原理的模型構造

1.1 齒面誤差的測量原理及模型處理

對漸開線直齒輪，一般采用雙基圓盤式漸開線測量儀測量其橫截面上的齒面誤差，其具有測量結構簡單、測量精度高與經(jīng)濟性好等特點[6]。齒面誤差的測量原理如圖1所示。當齒面為漸開線時，杠桿測頭軌跡為漸開線，杠桿輸出值為0；當齒面存在誤差時，杠桿測頭會移動，移動的距離為誤差齒廓與漸開線在AP方向的差值，即測量得到漸開線法線方向的誤差值。

圖1 齒面誤差測量原理示意圖

使用測量儀進行多次測量，可得到若干端面的齒面誤差值，將這些離散誤差值通過擬合得到誤差曲面e（u,v）。將誤差曲面按照測量原理，即沿漸開線法線方向疊加到理想齒面上即可得到考慮齒面誤差的真實齒面，則有

式中：R為真實齒面方程；R0為理想齒面；n0為理想漸開線的單位法矢；u、v為曲面參數(shù)。

已知真實齒面的解析方程，其法矢量N為

1.2 齒距誤差的測量原理及模型處理

在國家標準中，齒距誤差有多種評價指標，有單個齒距誤差fpt、齒距累計誤差Fpk和齒距累計總誤差Fp[7]。單個齒距誤差fpt的定義為：在端平面上接近齒高中部的一個與齒輪軸線同心的圓上，實際齒距與理論齒距的代數(shù)差。

從建立齒輪幾何模型的角度，只需已知fpt即可確定各個齒面之間的關系。絕對測量法的測量原理與fpt的定義一致。在模型中通過改變相鄰齒面的夾角來反映齒距誤差，如圖2所示。

圖2 模型中fpt的處理

已知齒面上某齒面的方程RZ1,則考慮齒距誤差的相鄰齒面的方程為

式中：L為旋轉(zhuǎn)矩陣；θ為理論齒距對應的旋轉(zhuǎn)角，有θ=2π/z；Δθ為齒距偏差fpt對應的旋轉(zhuǎn)角，有Δθ=fpt/rpt。

1.3 軸線誤差的測量原理及模型處理

在課題組研究[8]的基礎上，通過雙標準球和編碼器測量得到齒輪軸線的6自由度運動，測量原理如圖3所示。

圖3 軸線誤差測量原理圖

根據(jù)測量原理圖可建立閉環(huán)矢量方程：

由于軸線的位姿由測量得到，軸線每個轉(zhuǎn)角位置的位姿都已知，所以在模型中把軸線除轉(zhuǎn)角外的5自由度運動擬合為轉(zhuǎn)角φ的函數(shù)，即在模型中軸線為單自由度6維度運動。

2 齒面接觸傳動

2.1 單對齒面接觸傳動

由于要對考慮誤差時齒輪接觸的運動進行描述，首先建立固定坐標系Sf、兩齒輪軸線坐標系Se1和Se2、兩齒輪坐標系Sh1和Sh2，結果如圖4所示。

圖4 齒輪傳動模型的坐標系

考慮誤差時，齒面上的點、線、面都有可能參與接觸，所以需要對接觸類型進行辨識從而選擇合適的接觸方程并求解。在本文中，總結各種接觸的情況，將齒面分為6個區(qū)域，如圖5所示。根據(jù)基本的幾何關系，使兩齒面在理想嚙合位置的基礎上，相對轉(zhuǎn)動一微小角度，求解此時兩齒面上距離最近的兩點，根據(jù)兩點在齒面上所在區(qū)域即可得到此時的接觸類型。

圖5 齒面分區(qū)示意圖

在本文中假設齒輪1齒寬大于齒輪2齒寬，分析得到可能出現(xiàn)的接觸情況如下：

1）齒輪1齒頂A3與齒輪2下端面曲線B4接觸：

式（6）～式（14）中：R1、R2為兩齒面位矢；n1、n2為兩齒面法矢；L為旋轉(zhuǎn)矩陣；M為齊次變換矩陣；φ1、φ2為兩齒輪轉(zhuǎn)角；u1、v1、u2、v2為兩曲面參數(shù)。

在模型中，給出齒輪1的轉(zhuǎn)角φ1，在Matlab中可編程求得與其接觸的齒輪2轉(zhuǎn)角和接觸點。

2.2 多對齒面接觸傳動

通過上節(jié)處理，能夠完成單對齒面的接觸分析，接下來討論多對齒面交替?zhèn)鲃拥那闆r。在一對齒輪傳動過程中，每個時刻至少有一對齒面接觸傳遞運動，不妨將其稱為主導齒面。根據(jù)運動幾何學理論，當多對齒面共同接觸時，轉(zhuǎn)速快的齒面主導運動，其余齒面會被頂開，如圖6所示。

圖6 主導齒面變化的示意圖

在模型中，若出現(xiàn)多對齒面同時接觸，將這多對齒面分別進行下一時刻的齒面接觸分析，從動輪相對轉(zhuǎn)角最大的齒面作為主導齒面。經(jīng)過上述處理，能夠準確地模擬齒輪交替時的邊緣接觸情況。

3 算例分析

以一對標準漸開線直齒輪為例，各基本參數(shù)如表1所示。通過測量得到各誤差值，齒輪齒面誤差如圖7所示，齒距誤差如圖8所示，軸線誤差如圖9所示。使用Matlab編寫模型程序，計算得到齒輪的傳動誤差和齒面接觸情況。

表1 齒輪參數(shù)

圖7 齒面誤差曲面

圖8 齒距誤差

圖9 軸線運動誤差

3.1 考慮齒面誤差時的齒輪傳動分析

假設各齒面的齒面誤差相同，模型計算結果如圖10～圖12所示。將所有接觸點在固定坐標系下描述，如圖10所示，可以發(fā)現(xiàn)接觸點集中在中部，即所有齒面基本在齒面中部接觸傳動，這是由于按照給定的齒面誤差（如圖7）構造的真實齒面中凸造成的。任取一對嚙合齒面，其接觸情況如圖11所示。從圖12可知，齒面誤差會產(chǎn)生小幅度波動狀的傳動誤差。

圖10 考慮齒面誤差時的嚙合線

圖11 考慮齒面誤差時的齒面接觸情況

圖12 考慮齒面誤差時的傳動誤差

3.2 考慮齒距誤差時的齒輪傳動分析

考慮齒距誤差時，模型的計算結果如圖13～圖15所示。將所有接觸點在固定坐標系下描述，如圖13所示，可知存在齒距誤差時，嚙入-嚙出處的接觸點偏離理論嚙合面，這是由于此時發(fā)生了齒頂刮著齒面?zhèn)鲃拥那闆r，產(chǎn)生速比沖擊。任取一對嚙合齒面，其接觸情況如圖14所示，可知主動輪齒根部分與從動輪齒頂部分未參與接觸，這是因為前一對齒面接觸后，由于存在齒距誤差，此對齒面未能正常進入嚙合。從圖15可知，齒距誤差會在齒面嚙入-嚙出時產(chǎn)生類弦函數(shù)的傳動誤差。

圖13 考慮齒距誤差時的嚙合面

圖14 考慮齒距誤差時的齒面接觸情況

圖15 考慮齒距誤差時的傳動誤差

3.3 考慮軸線誤差時的齒輪傳動分析

考慮軸線誤差時，模型的計算結果如圖16～圖19所示。將接觸點放到固定坐標系中描述，如圖16所示，可知接觸點主要集中在兩端，中間區(qū)域有少量離散接觸點，這是因為考慮軸線誤差時，主要發(fā)生從動輪端面曲線與主動輪齒面相切接觸的情況。任取一對嚙合齒面，將其接觸點放到齒輪坐標系中描述，得到齒面接觸情況，如圖17所示。從圖18可知，軸線誤差會引起大范圍波動的傳動誤差。也可對齒輪轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進行離散求導，得到速比計算結果如圖19所示。

圖16 考慮軸線誤差時的嚙合面

4 結語

以漸開線直齒輪為例，基于誤差測量原理，依據(jù)基本的運動幾何學理論建立齒輪傳動模型，能夠準確實現(xiàn)齒輪傳動的幾何分析。通過算例分析可知：齒面誤差會導致小范圍波動的傳動誤差，影響齒輪傳動的平穩(wěn)性；齒距誤差會使齒面在嚙入嚙出處產(chǎn)生線外接觸，造成速比沖擊，導致類似弦函數(shù)的周期傳動誤差，從而使齒輪副產(chǎn)生噪聲；軸線誤差會使齒面在一端接觸，不利于齒面載荷分布，導致大范圍波動的傳動誤差。由于本模型是根據(jù)運動幾何學理論建立的，可推廣應用到其他類型齒輪傳動機構的分析中。

圖17 考慮軸線誤差時的齒面接觸情況

圖18 考慮軸線誤差時的傳動誤差

圖19 考慮軸線誤差時的速比