深溝球軸承-轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)建模與分析

馮曉飛，王德倫

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

0 引言

軸承作為機(jī)械加工系統(tǒng)的核心部件，其精度特性直接關(guān)系到整機(jī)的性能。Jones[1]建立了可以求解不同滾動(dòng)體個(gè)數(shù)的軸承內(nèi)圈滾道相對(duì)于外圈滾道位移的擬動(dòng)力學(xué)模型；Harris[2]考慮了軸承潤(rùn)滑條件和摩擦等因素的影響，分析了軸承在徑向、軸向和力矩聯(lián)合作用下軸承內(nèi)外圈的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；Noguchi等[3]從理論上研究了軸承滾道波紋度與滾動(dòng)體直徑不同誤差形式與大小對(duì)軸承內(nèi)圈跳動(dòng)的影響；Okamoto[4]將數(shù)值模擬與試驗(yàn)檢測(cè)相結(jié)合，分析了軸承軸心運(yùn)動(dòng)軌跡與零件形狀誤差的關(guān)系；留劍等[5]分析了軸承內(nèi)外圈滾道及滾動(dòng)體上的波紋度對(duì)軸承跳動(dòng)的影響規(guī)律；王德倫等[6]采用剛性輪廓曲面等效零件的幾何誤差，提出彈性冗余空間機(jī)構(gòu)模型。

1 軸承模型建立

軸承主要由內(nèi)圈、外圈、滾動(dòng)體和保持架4個(gè)基本元件組成。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，模型做出如下假設(shè)：1）在載荷作用下，軸承的內(nèi)外圈不發(fā)生整體變形，只會(huì)產(chǎn)生相對(duì)的位移；2）軸承的滾動(dòng)體與滾道為局部接觸，變形規(guī)律符合赫茲接觸理論；3）不考慮軸承保持架的影響，保持架只發(fā)揮固定滾動(dòng)體處于理想位置的作用；4）不考慮彈流潤(rùn)滑條件的變化。

1.1 滾動(dòng)體與滾道幾何關(guān)系

基于軸承各組件的幾何關(guān)系，建立坐標(biāo)系：以外圈滾道幾何中心為原點(diǎn)的固定坐標(biāo)系{Of; if, jf, kf}，以內(nèi)圈滾道幾何中心為原點(diǎn)的移動(dòng)坐標(biāo)系{Om;im, jm, km}，滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 滾動(dòng)體與滾道位姿關(guān)系

建立滾動(dòng)體與滾道幾何位移方程：

式中：j為滾動(dòng)體編號(hào)；Rij、Roj分別為滾動(dòng)體j與軸承內(nèi)、外圈滾道接觸處曲面的矢量方程；Nij、Noj分別為滾動(dòng)體j與軸承內(nèi)、外圈滾道接觸處法線方向矢量；rgj為滾動(dòng)體j的半徑尺寸；Rgj為滾動(dòng)體j的質(zhì)心位置；δij、δoj分別為滾動(dòng)體j與內(nèi)、外滾道法向接觸變形量；Rm表示軸承內(nèi)圈幾何中心位置。

1.2 滾動(dòng)體與內(nèi)外圈接觸力

根據(jù)赫茲接觸理論，滾動(dòng)體與內(nèi)外滾道之間的接觸載荷為：

式中：Fij、Foj為法向接觸載荷，是標(biāo)量；Lij、Loj分別為內(nèi)、外滾道與滾動(dòng)體接觸摩擦方向。

1.3 滾動(dòng)體離心力

設(shè)軸承內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)角速度為ωi，滾動(dòng)體的公轉(zhuǎn)角速度與保持架的角速度相同，均為ωb，滾動(dòng)體的公轉(zhuǎn)角速度ωb與內(nèi)圈回轉(zhuǎn)的角速度ωi的關(guān)系為

式中：Dm為軸承節(jié)圓直徑；Di為軸承內(nèi)圈直徑；Dwj為滾動(dòng)體j的實(shí)際直徑尺寸。

1.4 軸承力學(xué)平衡方程

1）滾動(dòng)體力平衡分析。

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，軸承滾動(dòng)體受到來(lái)自軸承內(nèi)圈、外圈的作用力及高速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的離心力，對(duì)于滾動(dòng)體j的受力如圖2所示。

圖2 滾動(dòng)體受力示意圖

根據(jù)圖中滾動(dòng)體受力情況，建立滾動(dòng)體j的力平衡方程：

式中：Fij、Foj分別為內(nèi)圈與滾動(dòng)體j的接觸載荷；Tij、Toj分別為內(nèi)圈與滾動(dòng)體j之間的摩擦力；Fcj為滾動(dòng)體j的離心力；Ggj為滾動(dòng)體j的重力。

2）內(nèi)圈力平衡分析。

內(nèi)滾道受力如圖3所示。

圖3 內(nèi)圈受力示意圖

在全局坐標(biāo)系下，先計(jì)算得出每個(gè)滾動(dòng)體的受力狀態(tài)，再代入軸承內(nèi)圈平衡方程進(jìn)行計(jì)算，求解出軸承內(nèi)圈質(zhì)心的位姿變化。平衡方程如下：

式中：Gi為軸承內(nèi)圈的重力；Mi為施加的力矩；F為施加在內(nèi)圈上的外載荷。

2 軸系模型建立

在柔性軸系統(tǒng)中，軸在受到徑向載荷后，轉(zhuǎn)軸會(huì)發(fā)生一定的彈性彎曲變形，并產(chǎn)生力矩載荷。軸系結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 軸系結(jié)構(gòu)受力簡(jiǎn)圖

根據(jù)軸系受力簡(jiǎn)圖，建立軸系平衡方程：

通過(guò)求解上式，可得到軸承上載荷與轉(zhuǎn)角及位移之間的關(guān)系。當(dāng)深溝球軸承內(nèi)圈所受外載荷為F={Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，Mx，My}，位移為δ={ux，uy，uz，θx，θy}，根據(jù)軸承載荷與位移之間的關(guān)系，利用差分法就可計(jì)算得出軸承剛度矩陣為

采用歐拉-伯努利梁?jiǎn)卧獙?duì)軸的彎曲變形進(jìn)行等效，軸的整體剛度矩陣是由每個(gè)梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚱M集而成。當(dāng)軸被劃分為M個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)存在6個(gè)自由度，則轉(zhuǎn)軸的剛度矩陣為6M階矩陣。將2個(gè)軸承剛度矩陣疊加到轉(zhuǎn)軸剛度矩陣對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上，組成裝配后軸系整體的剛度矩陣。對(duì)于雙支點(diǎn)支承軸系結(jié)構(gòu)，令外載荷矩陣為

由式KU=P可知，若K和P已知，便可計(jì)算得出軸上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位姿狀態(tài)，從而計(jì)算出轉(zhuǎn)軸在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的位姿變化。

軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)模型的計(jì)算流程圖如圖5所示。

圖5 軸系模型計(jì)算流程圖

3 算例分析

軸系結(jié)構(gòu)如圖4所示，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 軸系結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 軸向載荷對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響

在軸上施加固定的徑向載荷，通過(guò)改變軸向載荷的大小，分析軸向載荷對(duì)軸系回轉(zhuǎn)精度的影響規(guī)律。令徑向載荷為3000 N，軸向載荷從500 N到1500 N變化，變化步長(zhǎng)為50 N，計(jì)算出在不同的軸向載荷作用下軸系載荷位置處軸向與徑向的位移誤差，繪制關(guān)系曲線如圖6所示。

圖6 軸向載荷對(duì)軸系回轉(zhuǎn)誤差的影響

結(jié)果表明，隨著軸向載荷的增大，軸系的軸向誤差急劇減小，并且當(dāng)軸向載荷大于1100 N時(shí)，軸向位移誤差趨近于某一較小值。軸系通過(guò)安裝時(shí)施加一定的軸向力可以提高軸系的回轉(zhuǎn)精度，對(duì)于本模型，當(dāng)軸向預(yù)緊力大于1100 N時(shí)，有利于系統(tǒng)的精度達(dá)到最佳。同時(shí)，軸上施加的軸向載荷對(duì)于軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的徑向誤差影響較小。

3.2 徑向載荷對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響

在軸上施加固定的軸向載荷，通過(guò)改變徑向載荷的大小，分析徑向載荷對(duì)軸系回轉(zhuǎn)精度的影響規(guī)律。令軸向載荷為1000 N，徑向載荷從1000 N到8000 N變化，變化步長(zhǎng)為500 N，計(jì)算出在不同的徑向載荷作用下軸系載荷位置處軸向與徑向的位移誤差，繪制關(guān)系曲線如圖7所示。

圖7 徑向載荷對(duì)軸系回轉(zhuǎn)誤差的影響

結(jié)果表明，徑向載荷對(duì)于軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸向誤差影響較大，隨著軸上徑向載荷的增大，軸系的軸向誤差逐漸變大，而徑向載荷變化對(duì)軸系的徑向誤差影響較小，且當(dāng)徑向載荷超過(guò)7000 N時(shí)，軸系的徑向位移誤差值增加逐漸緩慢。

3.3 載荷位置對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響

軸上載荷作用位置不同，軸承所受的載荷不同，所以轉(zhuǎn)軸在載荷作用位置處的各方向移動(dòng)量也不同。如圖4所示，軸承1與載荷施加位置的距離為a，令a的取值范圍為20～280 mm，變化步長(zhǎng)為20 mm，施加載荷Fy=2000 N，F(xiàn)z=1000 N。計(jì)算出當(dāng)載荷位置不同時(shí)，軸系載荷處軸向與徑向的位移誤差，繪制關(guān)系曲線如圖8所示。

圖8 載荷位置對(duì)軸系回轉(zhuǎn)誤差的影響

結(jié)果表明，載荷位置的變化對(duì)軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸向誤差影響較大，而對(duì)徑向誤差影響很小。對(duì)于軸承對(duì)稱布置的雙軸承支承軸系結(jié)構(gòu)，當(dāng)施加載荷位置位于兩軸承中間位置時(shí)，軸系的徑向、軸向誤差達(dá)到最小值，此時(shí)軸承-轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)精度為最佳。

4 結(jié)論

從深溝球軸承組件的幾何關(guān)系、載荷約束關(guān)系出發(fā)，建立軸承-轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)精度模型。通過(guò)改變軸上載荷大小與載荷施加位置，分析載荷對(duì)軸承-轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律，得出結(jié)論如下：1）隨著軸向載荷的增大，軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸向位移誤差減小，而對(duì)徑向位移誤差影響較小；2）隨著徑向載荷的增大，軸系回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軸向位移誤差增大，而對(duì)徑向位移誤差影響較小；3）對(duì)于軸承對(duì)稱布置的雙支點(diǎn)支承軸系，當(dāng)載荷位置在兩軸承中間位置時(shí)，回轉(zhuǎn)軸系的徑向、軸向誤差達(dá)到最小值，此時(shí)系統(tǒng)的回轉(zhuǎn)精度達(dá)到最佳狀態(tài)。