120階群的完全分類

陳松良，石昌梅，歐陽建新，莫貴圈

120階群的完全分類

陳松良，石昌梅，歐陽建新，莫貴圈

（貴州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550018）

設(shè)是120階群，證明了共有47個互不同構(gòu)的類型，其中Sylow5-子群正規(guī)的群有44個，而Sylow5-子群不正規(guī)的群有3個。

有限群；同構(gòu)分類；群的構(gòu)造

1 主要結(jié)果

定理1120階群共有47個互不同構(gòu)的類型，其中Sylow 5-子群為正規(guī)子群的有44個不同構(gòu)的類型，Sylow 5-子群為不正規(guī)子群的有3個不同構(gòu)的類型。

2 定理1的證明

定理1的證明需要下面的引理。

引理1設(shè)是24階群，則必同構(gòu)于下列15種類型之一[1]：

引理2如果是5-子群不正規(guī)的60階群，那么必同構(gòu)于5次交錯群5。

證明 見文獻(xiàn)[4]之推論1。

注1 文獻(xiàn)[4]中引理2的證明過程不完整，遺漏了以下兩種構(gòu)造：

因此，當(dāng)Sylow 5-子群正規(guī)時，60階群恰有12個互不同構(gòu)的類型，加上Sylow 5-子群不正規(guī)的60階群只有一個，故60階群總共有13個互不同構(gòu)的類型。

以下恒設(shè)是120階群，是的Sylow 5-子群。

與(6)是同構(gòu)的。

但上述構(gòu)造中，若將，分別記為與，則可知它與(27)是同構(gòu)的。

其中

引理3證畢。

如果沒有2階正規(guī)子群，那么是不可解的。考慮的置換表示

由引理3和引理4可知，定理1成立。

[1] 陳松良,歐陽建新,李驚雷.3階群的完全分類[J].海南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,23(3):253-255.

[2] 陳松良.論p3q2階群的構(gòu)造[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,50(3):321-325.

[3] 陳松良,黎先華.33階群的完全分類[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2018,56(4):793-796.

[4] 陳松良,歐陽建新,李驚雷.論60階群的構(gòu)造[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報,2012,34(2):22-24.

[5] 陳松良,蔣啟燕.關(guān)于83階群的一個注記[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報,2016,38(2):1-4.

[6] 徐明曜.有限群導(dǎo)引(上冊)[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[7] Robinson D J S. A course in the theory of groups[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1982.

[8] Kurzweil H, Stellmacher B. The Theory of Finite Groups [M]. New York: Springer-Verlag, 2004.

Complete Classification of Groups with Order 120

CHEN Song-liang, SHI Chang-mei, OUYANG Jian-xin, MO Gui-quan

(School of Mathematics and Big Data, Guizhou Education University, Guiyang 550018, China)

Whenis a group of order 120 it was proved thathas 47 nonisomorphic structures. If its Sylow 5-subgroups are normal, it has 44 nonisomorphic structures. If its Sylow 5-subgroups are non-normal, it has 3 nonisomorphic structures.

finite group; isomorphic classification; structure of group

O152.1

A

1009-9115(2021)06-0003-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2021.06.002

國家自然科學(xué)基金項目（11661023），貴州省科技計劃資助項目（黔科合基礎(chǔ)[2017]1136），貴州省省級重點學(xué)科（ZDXK[2018]007號）

2021-01-19

2021-11-08

陳松良（1964-），男，湖南雙峰人，博士，教授，研究方向為代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用。

（責(zé)任編輯、校對：趙光峰）