分數階模糊微分方程周期邊值問題解的存在唯一性

席艷麗，陳鵬玉

（西北師范大學 數學與統計學院，甘肅 蘭州 730070）

0 引言

分數階模糊微分方程是模糊數學的重要組成部分，分數階模糊微分方程初邊值問題是分數階模糊微分方程定性理論的基本研究對象之一.與整數階模糊微分方程相比，分數階模糊微分方程具有分數階導數的非局部性和記憶性的優點，例如在現實世界的各種物理問題的建模中有巨大的應用潛力，包括地震模型、流體力學模型和黏彈性材料性質的測量等等.因此，分數階模糊微分方程初邊值問題的解以及相關理論的研究引起了許多學者的廣泛關注［1-3］.

2014 年，Armand 等［1］運用Schaefer 不動點定理研究了模糊分數階微分方程初值問題

1 預備知識及引理

1965 年，Zadeh 給出了模糊集合的如下定義：所謂論域（非空集）X 上的一個模糊子集A，是指對任意x∈X，存在μA（x）∈［0，1］與x 對應，并且稱μA（x）為x屬于模糊子集A 的隸屬程度，即模糊子集A指的是映射μA：X→［0，1］），也稱μA為A的隸屬函數，簡記μA（x）為A（x）.在不致引起誤解的情況下，對模糊子集A 與它的隸屬函數A（x）不加區別，同時模糊子集簡稱模糊集.

定義1.1［4］設E ＝｛u|u：R→［0，1］且滿足下面性質（i）～（iv）｝.

（i）u 是正規的模糊集，即存在x0∈R，使得u（x0）＝1；

（ii）u是凸的，即對任意的x1，x2∈R，λ∈（0，1），有u（λx1+（1 -λ）x2）≥min｛u（x1），u（x2）｝；

（iii）u是上半連續函數；

（iv）u 的支集Supp 的閉包cl｛x∈R|u（x）＞0｝，記為［u］0，是緊的.則稱u 是一個（1 維）模糊數，而所有（1 維）模糊數的全體稱之為（1 維）模糊數空間，記為E.

定義1.2［6］（Hukuhara差分）設w1，w2∈E，若存在w3∈E，使得w1＝w2+w3，則w3被稱為w1與w2的Hukuhara 差分.記作w1?w2.（注意：本文中，符號“?”表示差分，且w1?w2≠w1+（-1）w2.）

記CE（［a，b］）表示區間［a，b］上所有連續模糊函數的集合，LE（［a，b］）表示區間［a，b］上所有可測且可積的模糊數值函數的集合.

定義1.3［7］設模糊數值函數F ∈CE（［a，b］）∩LE（［a，b］），則q ∈（0，1］階Riemann-Liouville型分數階積分有如下定義：

引理1.1［8］設F：［a，b］→E 是可積的模糊數值函數，且p，q ＞0，則）.

定義1.4［9］（Caputo gH-導數）設F ∈CE（［a，b］）∩LE（［a，b］）.若

等式右端積分逐點有定義，其中q∈（m -1，m］，m∈N+，則稱模糊數值函數F存在gH-可微意義下的q 階Caputo 型分數階導數，簡稱Caputo gH-導數.

定義1.5［9］設F：［a，b］→E 在t0∈（a，b）點Caputo gH-可微.如果F在t0點滿足

那么稱F在t0點C［（i）-gH］型可微；如果F在t0點滿足

那么稱F在t0點C［（ii）-gH］型可微.

引理1.3［11］任意給定u，v，w，x，y∈E，有如下性質成立：

（i）若u ＝v，當且僅當u≤v且u≥v；

（ii）若u≤v，則u+w≤v+w；

（iii）若u≤v且x≤y，則u+x≤v+y；

（iv）若u≤v且M∈R，則Mu≤Mv.

定義1.7［12］設函數ψ：［0，+∞）→［0，+∞）滿足：（i）ψ 是連續非減函數；（ii）ψ（t）＝0當且僅當t ＝0，則稱ψ是一個距離選擇函數.

定義1.8［13］設（X，d）是度量空間，函數f：X→X.如果存在距離選擇函數ψ 和φ，使得對任意的x，y∈X，有

引理1.4［14］設（X，≤）是一個偏序集，且在X中存在一個度量d，使得（X，d）是一個完備的度量空間；函數f：X→X是非減函數，使得對于某些距離選擇函數ψ和φ，滿足

假設X滿足對任意的n∈N，若非減序列（或者非增序列）｛xn｝n∈N收斂到x∈X，則xn≤x；或者滿足f連續.若存在x0∈X 使得x0≤f（x0）（或者x0≥f（x0）），則f有一個不動點.

引理1.5［14］在引理1.4 的假設條件下，若X中的每對元素有一個上界或者下界，則f 存在唯一的不動點.另外，若x0是f 的不動點，則對于任意x∈X，都有.

注1.1在空間（E，≤）和（CE［a，b］，≤）上，任意元素對總有上界.

2 主要結果

定義2.1設模糊數值函數u∈CE［0，T］是滿足邊值問題（1）的解.如果邊值問題（1）的解是C［（i）-gH］型可微的，那么稱其為（i）型解；如果邊值問題（1）的解是C［（ii）-gH］型可微的，那么稱其為（ii）型解.

定義2.2設模糊數值函數u ∈CE［0，T］，如果

那么稱u是模糊邊值問題（1）的一個下解.特別地，如果u 是C［（i）-gH］型可微的（或者C［（ii）-gH］型可微的），那么稱u 為（i）型下解（或者（ii）型下解）；如果

那么稱u是模糊邊值問題（1）的一個上解.特別地，如果u是C［（i）-gH］型可微的（或者C［（ii）-gH］型可微的），那么稱u 為（i）型上解（或者（ii）型上解）.

在CE［0，T］中，設存在ρ ＞0，λ∈［0，1）∪（1，+∞），使得當ρ 充分大時，成立，度量

對任意的u，v∈CE［0，T］，度量Dρ等價于度量D，且（CE［0，T］，Dρ）是一個完備的度量空間［15］.

定理2.1假設邊值問題（1）存在一個（i）型下解u∈CE［0，T］，如果函數f：［0，T］×E→E 連續且滿足：

（H1）f關于第二變量是非減的，即對于所有的t∈［0，T］，若u≥v，則f（t，u）≥f（t，v）；

（H2）f對于可比較元素來說是弱壓縮的，即對任意的u≥v，存在2 個距離選擇函數φ 和ψ，使得ψ（d（f（t，u），f（t，v）））≤ψ（d（u，v））-φ（d（u，v）），那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

證明設λ∈（0，1），q∈（0，1］時，如果y 是C［（i）-gH］型可微的，則邊值問題（1）等價于積分方程

故定義算子A：CE［0，T］→CE［0，T］如下：

其中，λ∈（0，1），u 是邊值問題（1）的（i）型解當且僅當u ＝Au.證明分為以下4 步.

步驟1 算子A是非減的.由文獻［12］中模糊值函數的積分性質及條件（H1）知，對于u≥v，t∈［0，T］，λ∈（0，1），有

因此算子A是非減的.

步驟2 算子A是弱壓縮的.由條件（H2），若u≥v，則有ψ（d（f（t，u），f（t，v）））≤ψ（d（u，v）），t∈［0，T］.由距離選擇函數ψ 的單調性及條件（H2），對任意u≥v，有d（f（t，u），f（t，v））≤d（u，v），t∈［0，T］.由Dρ和A的定義，有

當u≥v時，對于距離選擇函數ψ，

因此，算子A是弱壓縮的.

步驟3 算子A 是連續的.設u，v∈CE［0，T］且u≥v，與步驟2 類似，有

因此，對任意的ε ＞0，當

時，D（Au，Av）≤ε，即A是連續算子.

步驟4 由（i）型下解的存在性及引理2.1 有

因此，u≤Au，由引理1.4 知，算子A在CE［0，T］中有一個不動點.假設CE［0，T］中的每一對元素都有上界，則由引理1.5 知，算子A存在唯一的不動點.因此，邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

定理2.2假設邊值問題（1）存在一個（i）型上解v∈CE［0，T］，如果函數f：［0，T］×E→E 連續且滿足條件（H1）和（H2），則邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（i）型解.

證明若v是邊值問題（1）的一個（i）型上解，則對任意的t∈［0，T］，λ∈（0，1）有

因此，v≥Av.進一步假設CE［0，T］中每一對元素都有一個上界，再由引理1.4，算子A 存在唯一的不動點.

定理2.3假設邊值問題（1）存在一個（ii）型下解u∈CE［0，T］，如果函數f：［0，T］×E→E 連續，且滿足條件（H1）～（H3）.

（H3）對所有α∈［0，1］，λ∈（1，+∞），有

關于α分別單調遞增和單調遞減，那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

證明設λ∈（1，+∞），q∈（0，1］時，如果y是C［（ii）-gH］型可微的，邊值問題（1）等價于積分方程

故定義算子B：CE［0，T］→CE［0，T］如下：

其中λ∈（1，+∞），若u 是邊值問題（1）的（ii）型解當且僅當u ＝Bu.由條件（H3）和文獻［8］中的表示定理知，上述等式右端積分在［0，T］上有定義，證明分為以下4 步.

步驟1 算子B是非減的.由文獻［12］中的模糊值積分性質及條件（H1）知，對于u≥v，t∈［0，T］，λ∈（1，+∞），有

因此算子B是非減的.

步驟2 算子B是弱壓縮的.由定理3.1 證明中的步驟2，有

當u≥v時，對于距離選擇函數ψ，有

因此，算子B是弱壓縮的.

步驟3 算子B 是連續的.設u，v∈CE［0，T］且u≥v，λ∈（1，+∞），有

因此，對任意的ε ＞0，當

時，D（Bu，Bv）≤ε，即B是連續算子.

步驟4 由（ii）型下解的存在性及引理1.1 有

因此，u≤Bu，由引理1.4 知，算子B在CE［0，T］中有一個不動點.假設CE［0，T］中的每一對元素都有上界，則由引理1.5 知，算子B存在唯一的不動點.因此，邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

定理2.4假設邊值問題（1）存在一個（ii）型上解v∈CE［0，T］，如果函數f：［0，T］×E→E 連續且滿足條件（H1）～（H3），那么邊值問題（1）在［0，T］上存在唯一的（ii）型解.

證明若v 是邊值問題（1）的一個（ii）型上解，則對任意的t∈［0，T］，λ∈（1，+∞），有

因此，v≥Bv.進一步假設CE［0，T］中每一對元素都有一個上界，再由引理1.4，算子B 存在唯一的不動點.

致謝西北師范大學青年教師科研能力提升計劃資助項目（NWNU-LKQN2019-3）和西北師范大學參與式研討課教學改革項目對本文給予了資助，謹致謝意！