基于徑向基組合近似模型技術的立柱結構優化設計*

魏鋒濤 史云鵬 張洋洋 黎俊宇 高新勤

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西 西安710048)

面對復雜工程優化問題時，由于不能求出各變量之間的具體顯式關系，難以利用常規方法進行優化設計，組合近似模型技術是將多個單一近似模型組合起來的技術，因其具有較高的精度和穩定的魯棒性引來了國內眾多學者的研究。Bi Shop CM等[1]在利用神經網絡建立近似模型技術時首次提出組合近似模型技術的概念，通過將單一近似模型技術的優勢結合起來，有效避免了實際復雜工程問題中因單一模型精度不夠造成的誤差較大等問題。在國內，李志華等[2]為了提高近似模型技術的預測精度和穩定性，采用留一交叉驗證策略和預測平方和P來計算初始權因子，并且通過迭代更新權因子，直到滿足精度需求為止。黃煥軍等[3]發現組合近似模型技術無論是精度還是魯棒性都要優于單一模型，最后利用組合近似模型技術建立了車身結構多學科的設計優化模型，改善了汽車的安全性能。童水光等[4]利用3個單一近似模型技術構建組合近似模型技術，用交叉驗證均方差為目標函數計算權因子，構建內燃叉車外門架的近似模型技術，降低了外門架的質量和最大應力。在國外，Fang J等[5]為了獲得最大化卡車駕駛室的疲勞壽命，用組合近似模型技術構建卡車駕駛室的優化模型，并與單一近似模型技術對比，發現組合近似模型技術能獲得更好的結果并且節約了成本。Qi Ouyang等[6]采用將最優設計推入可行區域的保守策略來解決近似模型技術的不確定性，使用多基因遺傳規劃、Kriging和支持向量回歸構建耗時的多相流模型的替代模型，結果表明該方法解決了近似模型技術的不確定性。

通過上述分析，鑒于徑向基近似模型技術計算精度和效率較低，本文研究一種基于徑向基組合近似模型技術，以改進徑向基近似模型為基礎構建組合近似模型技術，并以SZJY-14型加工中心的立柱作為研究對象進行結構優化設計，以驗證本文所提方法的有效性。

1 基于徑向基的組合近似模型技術

1.1 基于多策略的徑向基近似模型技術

1.1.1 動態加點策略

為了提高樣本點的質量，設計了一種基于全局最優解、移動變區域的局部采樣和基于置信度的全局采樣策略多種集成策略。首先，利用具有組合變異策略的回溯搜索優化算法(backtracking search optimization algorithm with combined mutation strategy, CMBSA)[7]對預測模型全局尋優，找出全局最優點并將其作為添加點；隨后以最優解為中心在其附近范圍內抽樣；最后利用U函數找出置信度最大點，并在其附近進行抽樣，通過以上策略來提高徑向基近似模型技術的精度。

(1)全局最優解的加點策略

該策略通過CMBSA算法對預測模型進行全局尋優，找出近似模型技術的全局最優點，并將最優點添加到初始樣本點中構建新的樣本點，通過最優點的引導，提高了近似模型技術的構建效率和精度，其求解模型如式(1)所示：

minf(x)

s.t.xL,i

(1)

其中：f(x)是目標函數;xL,i和xu,i分別是x的下界和上界。

(2)移動變區域的局部采樣策略

該策略先通過CMBSA算法找出預測模型的最優解x*，隨后找出當前樣本點的最優值xbest，并計算出模型的最優解x*和當前樣本點的最優值xbest的距離d，如式(2)所示：

(2)

其中：n為樣本點的維數。

同時計算x*和xbest的響應值，并比較它們的大小，將響應值小的點作為抽樣中心，以d為半徑進行抽樣，具體如式(3)所示：

(3)

(3)基于置信度的全局采樣策略

(4)

其中：μk(x)是徑向基近似模型技術的預測值，σk(x)是預測標準偏差。通過上式雖然可以找出置信度最大的點，但是上式只考慮了樣本點預測值的信息并沒有考慮樣本點的真實響應值，如果近似模型技術預測精度較低則會導致預測值與真實響應值誤差較大，那么只考慮預測值信息的U函數是不完整的。針對此問題，對現有的U函數進行改進，具體如式(5)所示：

(5)

改進后的U函數同時考慮了預測值和真實響應值的信息，能準確地找出置信度最大的點xz，然后以xz為中心，以D1為半徑進行多次抽樣，并且將每次的抽樣點記錄下來。

1.1.2 融合基函數策略

在影響徑向基近似模型技術的因素中，基函數對模型的預測精度影響是非常重要的，考慮到各個基函數的特點，選擇高斯函數和逆多二次型函數作為基礎函數構建組合基函數，具體如式(6)所示。

(6)

其中：w1、w2是權系數,ε為形狀參數。

為了完全發揮各個基函數的優點，本節調用CMBSA算法對目標函數在定義域內進行尋優，選用留一交叉驗證法作為算法的優化目標函數，找出使得誤差最小的參數組合。詳細求解模型如式(7)所示：

minf(w1、w2、ε)

(7)

1.2 構建基于徑向基的組合近似模型技術

組合近似模型技術又稱為加權平均近似模型技術，其一般表如式(8)所示：

(8)

為了進一步提高近似模型技術的預測精度與計算效率，以改進徑向基近似模型和Kriging近似模型為基礎，構建組合近似模型技術，利用交叉驗證均方差最小化方法(EA法)[8]計算權系數wi，具體如式(9)所示：

(9)

其中：GMSEEN為組合近似模型技術交叉驗證均方差值;yEN是除過點xk之外，其他點構建的近似模型在xk處的預測響應值;yactual為點xk處的真實響應值。

2 建立立柱優化模型

2.1 立柱載荷計算

SZJY-14型加工中心可以很多類型零件，并可以加工銑削、鏜削和鉆削等工藝。在優化問題中，選擇銑削工況為研究對象[10]。在加工過程中，刀具采用立銑刀，不對稱逆銑，故其受到的圓周銑削力FZ=2 662.776 N，分別是銑削力Fa，背向力FV和進給力FH，按照銑削時各分力與圓周力的比值，計算各分力的具體數值，如式(10)所示：

(10)

其中：橫梁和主軸箱自重約為1 400 N。

2.2 立柱特性分析及優化目標確定

將立柱三維模型導入Abaqus中建立其有限元模型，將四面體作為網格劃分的基本單元。立柱基本尺寸為：長度550 mm、寬度450 mm、高度1 753 mm、外殼壁厚30 mm、筋板厚度25 mm、筋板高度50 mm、工藝孔D1直徑70 mm和工藝孔D2直徑50 mm。立柱所用材料為HT250，密度為7 210 kg/m3、彈性模量為1.38×105MPa和泊松比為0.3。

為了提高計算精度同時兼顧計算效率，選擇四面體為基本體，網格大小為40 mm，產生的節點數為67 137個，單元數為36 836個，具體有限元模型如圖1所示。

(1)靜力學分析

通過Abaqus對立柱進行靜力學分析，獲得立柱的應力、應變和位移云圖，具體結果如圖2～4和表1所示。

由圖2～4和表1可知，立柱的應力最大值為2.735 MPa，應變最大值為1.598×10-5mm，查表可知，HT250材料的許用應力為220 MPa，其應力最大值遠小于許用應力，從應力云圖和應變云圖上看，應力應變分布較為均勻，并無應力集中現象。立柱最大變形量為1.441×10-2mm，此工況下能夠保證正常的穩定性和加工精度，證明立柱結構尺寸還有非常大的優化空間。

表1 立柱靜態分析結果

(2)模態分析

模態分析可以了解立柱在工作狀態中是否會發生共振現象，本節繪制了立柱前四階固有頻率和振型，具體如圖5和表2所示。

由對圖5和表2可知，立柱的一階頻率為100.7 Hz，而該數控機床加工零件時主軸的震動頻率為30～60 Hz，兩者相差較大，所以在工作過程中，不會發生共振現象。但是從圖5看，立柱在前四階頻率分析中均發生了不同程度的震動及變形，這說明立柱的動剛性不足，需要對其進一步優化。

表2 立柱前四階模態數據

2.3 確定優化設計變量

針對實際工程優化問題參數較多的現象，本節選擇單因素靈敏度分析法[11]對立柱優化問題中的參數進行簡化，假設有m個因素x=(x1,x2,...,xm)T，其各因素的響應值為y=(y1,y2,...,ym)T，只讓第i(i∈m)個因素變化Δ，則變化后的響應值為y′=(y1,y2,...,yi+Δ,...,ym)T，則xi的靈敏度值如式(11)所示：

(11)

利用單因素靈敏度分析法，以一階頻率、最大變形量和質量為目標進行靈敏度分析，具體如圖6所示。

由圖6可以看出，外殼壁厚、筋板厚度和筋板高度的尺寸變化對立柱的質量、最大變形量和一階頻率影響較大，故以這3個變量作為優化設計變量，并依次記為x1、x2、x3。

2.4 建立優化設計模型

通過對立柱靜動態特性分析和靈敏度分析，確立了優化目標與變量，其具體如下：

(1)優化設計變量

通過對立柱各尺寸變量進行靈敏度分析，得出外殼壁厚、筋板厚度和筋板高度對立柱的靜動態特性影響較大，故以這3個變量作為優化設計變量，并依次記作x1、x2、x3且12≤x1≤48、10≤x2≤40和20≤x3≤80。

(2)目標函數

通過分析，以立柱質量、一階頻率和最大變形量為優化目標，其對應權系數分別為w1、w2和w3，具體優化模型如式(12)所示：

minF=w1Fm(X)-w2Ff1(X)+w3Fd(X)

(12)

其中：w1=0.5、w2=0.25和w3=0.25[12]。

3 立柱結構優化設計

3.1 近似模型構建

利用拉丁超立方設計方法抽取50個樣本點，并利用Abaqus軟件獲取樣本點的真實響應值，另外再抽取1組樣本點用于驗證構建模型的誤差，如表3和表4所示。

表3 實驗樣本點及真實響應值

表4 檢驗樣本點與真實響應值

構建模型過程中，共添加樣本點個數為7個，為了更生動地體現出組合近似模型技術構建的近似模型擬合性能，以表中樣本點作為檢驗點，將實際響應值與預測值進行對比，如圖7所示。

由圖7可知，添加樣本點后的模型預測值比初始狀態更接近真實響應值，證明了加點后的組合近似模型技術的預測精度更高。

由圖7可知，添加樣本點后的模型預測值比初始狀態更接近真實響應值，證明了加點后的組合近似模型技術的預測精度更高。

3.2 立柱優化設計

利用組合近似模型技術構建立柱模型并調用CMBSA算法對模型進行尋優，首先對算法的參數進行設定，具體如表5所示。

表5 CMBSA算法參數設置

利用CMBSA算法對構建的模型迭代200次尋優，得到一組最優參數組合并重新構建立柱模型，在Abaqus里對其進行有限元分析，獲得立柱靜動態性能，具體如表6所示。

表6 優化結果對比

從表6可看出，優化后的質量較優化前減少了3.77%；最大變形較優化前減少了5.14%；一階固有頻率優化前提高了5.9%，總體上看，組合近似模型技術的優化效果顯著，在減小立柱質量的情況下保證了立柱的靜動態性能。

為了更直觀地體現優化后立柱的結構性能，對立柱進行了靜動態性能分析，具體如圖8和圖9所示。

經過對優化后立柱靜動態特性分析，立柱的性能得到很好地改善，同時質量明顯減小，達到了此次優化的預期效果，同時也驗證了組合近似模型技術的有效性。

4 結語

針對徑向基近似模型技術預測精度和效率較低等問題，提出一種基于多策略的徑向基近似模型技術，并以改進徑向基近似模型為基礎構建基于徑向基的組合近似模型技術，將其應用于立柱的結構優化設計問題中。選取SZJY-14型加工中心的立柱作為研究對象，利用組合近似模型技術建立立柱的近似模型，并調用CMBSA算法對模型優化求解，優化后的立柱質量減小了3.77%，一階頻率提高了5.9%，最大變形量減少了5.14%，實現了立柱結構優化設計，為類似實際工程優化問題提供了一種解決方案。