電勵磁直線同步電動機磁懸浮系統(tǒng)H∞魯棒控制的研究*

藍(lán)益鵬 張明慧

(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870)

傳統(tǒng)數(shù)控機床采用“旋轉(zhuǎn)電機+滾珠絲杠”的驅(qū)動系統(tǒng)，由于存在中間傳動裝置，不能夠滿足現(xiàn)代工業(yè)所要求的高加工精度[1]。

較傳統(tǒng)電機而言，直線電機沒有中間傳動環(huán)節(jié)、沒有沖擊、響應(yīng)速度快、磨損和噪聲小，但是運動平臺和導(dǎo)軌之間存在較大的摩擦[2-4]。將電勵磁直線磁懸浮同步電動機作為數(shù)控機床驅(qū)動系統(tǒng)，其水平方向產(chǎn)生的推力和垂直方向產(chǎn)生的懸浮力使電動機實現(xiàn)直線進給和穩(wěn)定懸浮，改善平臺和導(dǎo)軌間的摩擦。

但是電勵磁磁懸浮直線進給平臺系統(tǒng)具有較強的不穩(wěn)定性，且在受到不確定性擾動或者端部效應(yīng)等影響時，其參數(shù)也會發(fā)生變化，極大地增加了控制難度[5]。因此既要保證零傳動，又要實現(xiàn)高效、可靠的控制性能，是系統(tǒng)控制器的設(shè)計難點[6]。

H∞魯棒控制主要為了解決被控對象的不確定性擾動的問題，通過設(shè)計H∞魯棒控制器可以使系統(tǒng)有更好的穩(wěn)定魯棒性和品質(zhì)魯棒性。

正是如此，H∞魯棒控制也被許多學(xué)者相繼研究。文獻(xiàn)[7]設(shè)計了一種在非線性系統(tǒng)中執(zhí)行器失效時H∞魯棒控制系統(tǒng)，但是它的抗擾能力和容錯能力有一定的范圍。文獻(xiàn)[8]提出混合H2/H∞魯棒預(yù)測控制器設(shè)計方法，使永磁同步伺服電機系統(tǒng)負(fù)載變化時起到更好的抑制擾動的作用和穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[9]則是基于線性矩陣不等式(LMI)設(shè)計了魯棒H∞滑模速度控制器和電流控制器，該控制系統(tǒng)能夠很好的抑制不確定性的外部擾動。

針對電勵磁直線電動機的磁懸浮系統(tǒng)，本文提出一種磁懸浮系統(tǒng)H∞魯棒控制方法，對電勵磁直線同步電動機懸浮系統(tǒng)方向的狀態(tài)空間模型進行線性化，將系統(tǒng)對擾動的不確定抑制問題歸為H∞控制問題，通過解Riccati不等式的正定解，得到懸浮系統(tǒng)的H∞魯棒控制器，并對其進行仿真研究。

1 電勵磁直線電動機的結(jié)構(gòu)和運行機理

電勵磁直線電動機磁懸浮進給平臺主要由運動平臺，電勵磁直線同步電動機與輔助導(dǎo)軌組成。如圖1所示。

從圖1可知其運動平臺主要為兩部分：動子部分和定子部分。

(1)動子部分：動子鐵心和電樞繞組。在三相交流電的作用下，電樞繞組產(chǎn)生電樞磁場，從而產(chǎn)生電磁推力，推動平臺運行。

(2)定子部分：定子鐵心、勵磁繞組、輔助導(dǎo)軌以及端座組成。在直流電的作用下，勵磁繞組產(chǎn)生勵磁磁場，從而鐵心在磁場的作用下受到垂直向上的吸引力，吸引力與運動平臺重力相當(dāng)時，可保證電機的穩(wěn)定懸浮。

2 電勵磁直線電動機的數(shù)學(xué)模型

2.1 數(shù)學(xué)模型

在d-q軸坐標(biāo)系下的電壓方程和磁鏈方程[10-11]。

電壓方程：

(1)

其中：ud、uq為電樞繞組d、q軸的電壓分量；uf為勵磁繞組的電壓；id、iq為d、q軸的電流分量；if為勵磁繞組電流；rs為電樞繞組電阻，rf為勵磁繞組電阻；v為運動平臺的運動速度，為極距；ψd、ψq為d、q軸的磁鏈；ψf為勵磁磁極磁鏈分量。

磁鏈方程:

(2)

其中：Lmd、Lmq為直軸與交軸的主電感；Lσ為電樞繞組漏感；Lσf為勵磁繞組漏感。

由電壓方程和磁鏈方程可將電勵磁直線電動機懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述為:

磁懸浮力方程：

(3)

(4)

(5)

懸浮方向的運動方程：

(6)

電壓方程：

(7)

式中：m為運動平臺的重量；δ為運動平臺實際懸浮的氣隙高度；fy為不確定性擾動；K1是磁懸浮系數(shù)，K1=5.659×10-6。

(8)

從式(8)可看出存在狀態(tài)變量之間的非線性。即電勵磁直線電動機磁懸浮系統(tǒng)是一個典型的非線性系統(tǒng)，由線性化后的線性模型可得到描述系統(tǒng)H∞魯棒控制的狀態(tài)空間模型。

2.2 模型的線性化

磁懸浮系統(tǒng)的模型線性化[13]：在系統(tǒng)平衡工作點對模型進行線性化，用泰勒公式在平衡點展開，忽略二階以后的高階項，從而得到一階數(shù)學(xué)模型，再采用傳統(tǒng)控制策略對其進行控制，借此取得良好的控制效果。所以本文在平衡點(i0,δ0)附近對磁懸浮系統(tǒng)進行線性化處理[14]。

Fy(i,δ)=Fy(i0,δ0)+KδΔδ+KiΔi

(9)

(10)

(11)

其中：

(12)

由式(9)～(11)可得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

其中：A、B1、B2矩陣分別對應(yīng)于式(16)中簡寫之后的矩陣；y為輸出，即觀測量等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量；z為評價函數(shù)；C1和D12為加權(quán)系數(shù)矩陣；u為輸出；w為干擾。

3 H∞魯棒控制器的設(shè)計

由式(16)知磁懸浮系統(tǒng)具有不確定性的擾動。這種不確定的擾動在磁懸浮伺服系統(tǒng)中，將會降低磁場定向的精度，影響控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。為解決被控對象的不確定性擾動的問題，采用H∞魯棒控制，所以接下來將對電勵磁直線電動機進行H∞魯棒控制器的設(shè)計。

設(shè)系統(tǒng)增廣被控對象的狀態(tài)空間描述為

(18)

z=C1x+D12u

(19)

且rankD12=p，(A,B2)可穩(wěn)定。即

(20)

由此設(shè)計懸浮系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器

u=Kx,K∈Rp×n

(21)

定理1[15]：對于給定的γ>0，存在狀態(tài)反饋矩陣K使得閉環(huán)系統(tǒng)(20)和(21)內(nèi)部穩(wěn)定且

‖Tzw(s)‖∞<γ

(22)

成立的充分必要條件是存在正定矩陣X>0滿足Riccati不等式

(23)

如果上述不等式有正定解X>0，則使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且式(22)式成立的反饋陣由下式給出

(24)

由式(16)可知增廣被控對象中A、B1、B2矩陣分別為

(25)

(26)

(27)

加權(quán)系數(shù)矩陣C1和D12為：

(28)

(29)

式(28)和(29)中:q1、q2、q3、ρ為待取的加權(quán)系數(shù)。

所以由式(12)可計算得到

(30)

經(jīng)過反復(fù)取試，C1和D12選擇如下：

(31)

(32)

之后利用MATLAB解Riccati不等式(23)，可得：

再由式(24)可以得到控制器的參數(shù)K如下所示：

(34)

4 仿真研究

電勵磁直線電動機控制系統(tǒng)的仿真框圖如圖2所示，系統(tǒng)的位置環(huán)節(jié)是H∞魯棒控制器，電流環(huán)用的是傳統(tǒng)PI控制器。

EELSM參數(shù)：電樞電阻Rs=1.2 Ω，直交軸電感Ld=Lq=0.018 74 H，直軸主電感Lmd=0.095 H，極距=0.048 m，極對數(shù)Pn=3，電機動子以及平臺質(zhì)量M=10 kg，勵磁電流if=5.7 A。

用Simulink對所提的控制策略進行仿真研究，并與PI控制器進行對比。

(1)電勵磁直線同步電動機磁懸浮系統(tǒng)起動性能。

如圖3為電動機磁懸浮系統(tǒng)起動時的氣隙高度響應(yīng)曲線。由圖可以得出：磁懸浮系統(tǒng)采用PI控制時，大約0.138 4 s穩(wěn)定在系統(tǒng)給定氣隙高度，上升時間tr約為0.002 537 s，穩(wěn)態(tài)誤差ess約8×10-7m，沒有超調(diào)；磁懸浮系統(tǒng)采用H∞魯棒控制時，大約0.072 46 s達(dá)到穩(wěn)定值，上升時間tr約0.002 535 s，沒有穩(wěn)態(tài)誤差，沒有超調(diào)。如圖4，磁懸浮系統(tǒng)采用H∞魯棒控制時，勵磁電流到達(dá)穩(wěn)定比PI控制系統(tǒng)所需時間較短。由上述可得，H∞魯棒控制較PI控制系統(tǒng)來說，其到達(dá)穩(wěn)定時間，上升時間，系統(tǒng)響應(yīng)速度都比較快，動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能都很好。

圖5為懸浮系統(tǒng)起動時高度誤差曲線，從圖中可以看出起動時PI控制的系統(tǒng)誤差為2.531×10-7m，H∞魯棒控制的響應(yīng)速度快，系統(tǒng)誤差幾乎為0 m，可忽略不計。

(2)電勵磁直線同步電動機磁懸浮系統(tǒng)抗擾性能。如圖6和圖7，在0.3 s處突加15 N階躍擾動，之后在0.6 s去掉擾動，觀察其抗擾動性能。

如圖6為階躍擾動時氣隙高度曲線，從圖6中可以觀察出懸浮系統(tǒng)采用PI控制時，氣隙高度動態(tài)降落較大，大約6.0×10-5m，再次恢復(fù)到給定高度時間約為0.172 8 s；系統(tǒng)采用H∞魯棒控制時，系統(tǒng)氣隙高度降落約為1.6×10-5m，恢復(fù)到給定高度時間約0.05 s。由此可見H∞魯棒控制控制系統(tǒng)時，系統(tǒng)的抗擾性能更好。

圖7為階躍擾動時懸浮系統(tǒng)勵磁電流曲線，由圖7可以看出：PI控制時，加擾動之后，系統(tǒng)電流恢復(fù)時間約為0.02 s，且抖振較大；H∞魯棒控制加擾動之后系統(tǒng)電流恢復(fù)時間0.003 2 s，抖振較小。通過比較兩種控制方法，H∞魯棒控制抗擾動性能更好。

(3)電勵磁直線同步電動機磁懸浮系統(tǒng)對端部效應(yīng)的抗擾性能。用正弦函數(shù)f=15sin(20t)N來模擬端部效應(yīng)，在0.3 s處加入正弦擾動，觀察系統(tǒng)的抗擾能力。

圖8是懸浮系統(tǒng)加入正弦擾動時的氣隙高度曲線。由圖8可看出：系統(tǒng)采用PI控制在加正弦擾動后，振蕩比較大，抗擾能力差；采用H∞魯棒控制的系統(tǒng)沒有明顯的振蕩，跟隨性能較好，抗擾能力較PI控制有明顯的優(yōu)越性。

圖9是懸浮系統(tǒng)加入正弦擾動時的氣隙高度誤差曲線。從圖9中可以觀察出PI控制的高度誤差很大，且加入正弦擾動之后波動較大；而H∞魯棒控制則氣隙高度誤差很小，并且擾動之后幾乎沒有波動，有較好的抗擾能力。

5 結(jié)語

針對電勵磁直線電動機磁懸浮系統(tǒng)，為提高其抗擾性能，提出一種H∞魯棒控制策略，得到結(jié)論如下：

(1)對EELSM的結(jié)構(gòu)和懸浮系統(tǒng)的懸浮機理進行分析，由于電樞繞組交軸電流產(chǎn)生的磁場對定子鐵心的吸引力是隨負(fù)載的變化而變化的，具有不確定性，將其作為擾動處理之后，從而可得到含有不確定性擾動的磁懸浮力方程，進一步推導(dǎo)出磁懸浮系統(tǒng)的運動方程。

(2)針對推導(dǎo)所得而建立的系統(tǒng)狀態(tài)空間方程具有非線性，采用平衡點線性化的方法進行線性化處理，得到線性狀態(tài)空間方程。

(3)對磁懸浮控制系統(tǒng)中存在擾動的不確定性，提出用H∞魯棒控制策略抑制系統(tǒng)擾動，同時仿真結(jié)果表明H∞魯棒控制策略使系統(tǒng)具有更好的抗擾效果。