指向抽象思想培養(yǎng)的小學數(shù)學試題命制

陳小英

（霞浦縣第四小學，福建 霞浦 355100）

試題檢測一直是考查學生學習目標是否達成的主要手段。合理的命題有利于考核學生的階段學習成果，反饋教師的教學效果，從而優(yōu)化教師的教和學生的學，提升教學質(zhì)量。近年來，小學數(shù)學命題改革從“雙基”向“四基”發(fā)展，不僅重視學生基礎知識、基本技能的掌握情況，還關(guān)注到學生基本思想的滲透和基本活動經(jīng)驗的積累。抽象、推理和模型是數(shù)學的三大基本思想，其中抽象思想又是這三大基本思想中最核心的思想。史寧中教授認為，數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象的事物，教學的最終目標也是培養(yǎng)學生具有初步的抽象能力。［1］抽象能力是一種重要的科學研究能力，是一個人智慧的表現(xiàn)。如何優(yōu)化命題的價值取向，以“抽象”這個基本的數(shù)學思想來導向命題策略，通過合理地命題，培養(yǎng)學生抽象能力呢？

一、依托生活素材，抽象數(shù)學問題

數(shù)學與生活聯(lián)系緊密。在命題時，把自然、社會、生活中與數(shù)學有關(guān)的因素作為素材，讓數(shù)學與生活在命題中“友好牽手”，一直都是命題改革發(fā)展的趨勢所在。生活問題富含生活味，包裹著各色各樣華麗的生活外衣，它與學生在課堂上學習的數(shù)學問題是不能完全等同的。將生活問題抽象成數(shù)學問題，是學生解題前的關(guān)鍵步驟，同時也是培養(yǎng)學生抽象能力的有利抓手。只有通過閱讀、想象、分析，剔除生活問題中的無關(guān)因素，選取有用的數(shù)學信息，才能抽象成數(shù)學問題。這一個抽象化的過程，有利于學生建立抽象思想，發(fā)展抽象能力。

試題1：霞浦縣游泳館內(nèi)有一個長40 米，寬30 米，池深約2 米的游泳池。（1）工人師傅要在游泳池的底部貼上地磚，你認為買以下哪種型號的地磚比較合適，無需裁剪？需要買多少塊地磚？A 型地磚：邊長5分米；B 型地磚：邊長6 分米。（2）游泳池里水深約1.2米，如果每周換一次水，每次換水大約多少升？（3）工人準備用繩子將游泳池隔成長40 米，寬2 米的若干泳道，請你算一算，至少要用繩子多少米？

由生活素材創(chuàng)設的情境，比枯燥的數(shù)學問題更生動。面對熟悉的生活情境，有利于激發(fā)學生的解題興致，激活已有經(jīng)驗。此題表面上是給游泳池貼地磚、換水和做隔離帶的生活問題，實際上，游泳館是長方體，題（1）貼地磚是有關(guān)公因數(shù)知識的應用問題；題（2）給游泳池換水是求長方體的容積問題；題（3）給游泳池做隔離帶，包含間隔排列和整數(shù)乘法的問題。將生活問題抽象成數(shù)學問題，只是解題時的第一次抽象，接著還要在數(shù)學問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，用數(shù)學語言來表達，進而解決問題。熟悉的生活素材為學生抽象數(shù)學問題提供正向刺激，使學生在積極的心向中達成對問題的抽象與解決，親身感悟數(shù)學抽象思想。

二、借助圖像呈現(xiàn)，抽象思考方法

數(shù)學學科具有很強的抽象性，也最能體現(xiàn)思維能力。抽象思維反映數(shù)學學習的高層次水平，是創(chuàng)新性學習的主要體現(xiàn)。小學生以具體形象思維為主要思維形式，如何助推學生思維向抽象發(fā)展、感悟抽象思想呢？在試題設計中，可將試題與圖像攜手呈現(xiàn)，豐富試題內(nèi)涵。圖像指的是圖形、圖畫、表格等。學生在答題時，首先要摒棄圖像中的無關(guān)因素，搜集有關(guān)信息；接著將搜集到的有關(guān)圖像信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將圖像信息與文字信息聯(lián)合起來，觀察、分析、抽象、概括，直至解決問題。學生的解題過程也是抽象思維孕育生長的過程。

試題2：如圖1，把0°到180°平均分成4 份，A、B、C、D 四點表示不同的角度，其中（ ）點的角度大小等于直角三角形中兩個銳角度數(shù)之和。

圖1

這是“直角三角形知識”與“數(shù)軸”的綜合應用。在直觀圖上，學生要自覺將二維平角的角度抽象為一維線段的長度，將角度與數(shù)軸上的位置一一對應，然后利用已有的知識經(jīng)驗，開展思維推理活動。線段表示0°到180°的角，平均分成4 份，可以推導出每一份表示45°，那么點A 所在的位置表示的是45°的銳角，點B 表示直角，點C 表示大于90°而小于180°的鈍角，點D 表示平角。從文字信息中得出答案是直角，所以正確選項是B。學生經(jīng)過練習，深化對直角三角形相關(guān)知識理解的同時，感悟到這種有條有理、有根有據(jù)思考方法的價值。

試題3：“垃圾分類”社團小組對班級學生進行調(diào)查，并繪制以下的統(tǒng)計圖表（如圖2），你能結(jié)合圖表中的信息，求出b=（ ）嗎？

圖2

此題把信息融入圖表中，需要學生認真閱讀圖表，將圖表中的信息抽象為數(shù)學語言，然后對試題進行推理分析和解答。統(tǒng)計圖表上的已知信息有：①非常了解的人數(shù)是18，占全班總?cè)藬?shù)30%，②基本了解的有30 人。要求解答的問題是：b（不了解的人數(shù)所占的百分比）等于多少？此題可以先求出全班總?cè)藬?shù)18÷30%=60（人），接著求出b=（60-18-30）÷60=20%；也可以先求出基本了解的人數(shù)所占的百分比：a=30%÷18×30=50%，故b=1-30%-50%=20%等。學生經(jīng)歷一系列的解題過程，思維能力逐步由直觀思維向抽象思維發(fā)展。

三、應用多元表征，抽象知識模型

“表征”指信息的記載或者表達的方式。在數(shù)學學習中，“表征”指學生用自己的方式表達對數(shù)學知識的理解。在解題過程中，引導學生從不同的視角出發(fā)，對知識進行多元化表征，有利于學生逐步剝離數(shù)學知識的非本質(zhì)屬性，獲得對知識內(nèi)涵的理解和知識外延的把握，逐步抽象出知識模型，提升抽象能力。

試題4：圖3 中三角形和小棒的數(shù)量是相等的。先數(shù)一數(shù)圖中有（ ）個三角形，畫一畫缺少的小棒根數(shù)，然后在計數(shù)器上用算珠表示出它們的數(shù)量，最后填空。

圖3

此題要求學生從數(shù)出15，到補畫15，再到計數(shù)器上撥出15，最后用語言描述出15 的組成。15 個三角形可以表示15，10 根小棒加上5 根小棒可以表示15，用十位上的1 顆珠子和個位上的5 顆珠子也可以表示15，不管哪種表征形式，只要是1 個十和5 個一合起來的數(shù)都是15。表征由簡單變?yōu)閺碗s，直到抽象，學生從豐富的漸進式表征中體會到知識之間的勾連，抽象出立體、飽滿的兩位數(shù)的知識模型。［2］

（1）畫：我會畫圖來表示。（2）說：本題是要把（ ）朵小紅花看作單位“1”，平均分成（ ）份，送給樂樂的小紅花占其中的（ ）份，也就是（ ）朵。（3）算：我會列式計算。（4）編：我會編這樣列式解答的數(shù)學問題。

單一的表征形式不利于體現(xiàn)學生對知識理解的全面性。學生在解題中，循著知識脈絡發(fā)展特點和自身認知生長特點，逐層進行不同方式的表征，從直觀形象的圖像表征到抽象的語言表征、符號表征，逐步觸摸內(nèi)化知識本質(zhì)，抽象出“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”要列乘法算式來解答的知識模型。模型抽象出來后，建模過程并未停止，題（4）改變問題的情境，讓學生將初步建立的知識模型應用到實際中，促使模型內(nèi)涵得到深化，模型外延得到拓寬，從而建立更加完善的結(jié)構(gòu)化知識模型。