聚焦三角函數問題中的常用數學思想

■冉淑華

三角函數是高中數學的重要內容之一,其中蘊含著豐富的分類討論思想、等價轉化思想、函數與方程思想、換元思想、整體代換思想等。下面舉例說明,供大家學習與提高。

一、分類討論思想

分類討論思想的基本思路是將一個較復雜的數學問題,分解(或分割)成若干個基礎性問題,通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略。

二、對稱思想

對稱思想是研究數學問題常用的思想方法,對稱是一種美。數學中的對稱美主要表現在幾何圖形的對稱、式子的對稱、解題方法的對稱等方面。

三、等價轉化思想

解決數學問題,離不開轉化與化歸思想,如未知向已知的轉化、新知識向舊知識的轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數學問題之間的互相轉化、實際問題向數學問題的轉化等。

四、換元思想

解題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代換它,從而使問題得到簡化,這叫換元法。換元法的實質是轉化思想的應用。

評析:在三角恒等變換中,有時可把一個代數式整體視為一個“元”來參與計算和推理,這個“元”可以明確地設出來,但要注意新元的取值范圍。

五、方程思想

方程思想就是利用變量間的等量關系,建立方程或方程組,通過解方程或方程組,或者運用方程的性質去分析、轉化問題,使問題獲得解決。

六、整體代換思想

當已知的代數式中不能求出每個字母的值或求出的值比較煩瑣時,往往通過對比已知條件和所求問題之間的聯系,考慮在所求問題中把已知條件(或其變式)整體代入,從而使計算變得簡潔。整體代換是換元思想的延伸。

例6 已知函數f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(2020)=1,則f(2021)的值為( )。

A.-1 B.1 C.3 D.-3

解:因為f(2020)=asin(2020π+α)+bcos(2020π+β)=asinα+bcosβ=1,所以f(2021)=asin(2021π+α)+bcos(2021π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asinαbcosβ= - (asinα+bcosβ)= -1,即f(2021)=-1。應選A。

評析:題中字母較多,不可能求出每個字母的值。利用f(2020)=1,得到asinα+bcosβ=1,從而可得f(2021)的值,這是整體代換思想的具體應用。