求三角函數的值域（最值）題型例析

■賀顯孟

評注:形如y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的三角函數,當定義域為R 時,值域為[-|A|+k,|A|+k];當定義域為某個給定的區間時,需確定ωx+φ的范圍,結合正弦函數的單調性求值域。

題型2:形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R 或y=acos2x+bcosx+c,a≠0,x∈R

例2 函數f(x)=cos2x-2sinx的最大值與最小值分別為____。

解:函數f(x)=cos2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,則t∈[-1,1],所以原函數等價于y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=f(x)max=2,ymin=f(x)min=-2。

評注:求形如y=asin2x+bsinx+c,a≠0,x∈R 的三角函數的值域或最值時,可令t=sinx,將原函數轉化為關于t的二次函數,利用配方法求值域或最值,但要注意正弦

已知函數f(x)=sinx+cosx+sinxcosx,x∈R,求f(x)的最值及取到最值時x的值。