同軸轉動與角動量守恒易混淆案例分析

陳 鑫

（哈爾濱師范大學 黑龍江·哈爾濱 150025）

0 引言

在筆者的教學過程中，有過這樣一次經歷。在進行圓周運動部分同軸轉動模型角速度相等規律的講授時，一位同學舉手提出了這樣的問題，“老師，我平時特別喜歡觀看體育賽事，在假期休息的時候，我偶然看到一場花樣滑冰比賽，運動員在做動作的時候經常用到旋轉的技巧，同一個動作中，運動員先抱住軀干旋轉（如圖1所示），后展開軀干繼續旋轉（如圖2所示），在這個過程中明顯能夠看到即便考慮阻力的影響展開軀干后旋轉的也要比初始抱住軀干時慢，角速度不相等，這是為什么呢？”

圖1

圖2

我們先來分析一下這個問題。

1 理論推導

1.1 同軸轉動

高中階段圓周運動教學過程中，避不開鏈條傳動與同軸轉動規律的傳授，研究同軸轉動時，我們考慮動力軸單位時間內轉過的角度傳動至軸上大小不一的研究對象（例如齒輪）上，所以即便是半徑不相同的齒輪，只要滿足同軸轉動，角速度就相等，根據角速度線速度的關系

半徑更大的齒輪線速度更大。

1.2 角動量相關知識推導

1.2.1 角動量定理

牛頓第二定律最早期的表達式

通過此表達形式我們可以推導動能定理、動量定理和角動量定理，本文章不討論動量定理和動能定理，下面進行角動量定理的推導。

如圖3所示，在空間中選定一個固定參考點O，以該參考點為坐標原點建立直角坐標系，參考點到力的作用點做位置矢量（以下簡稱位矢），用位矢對牛頓第二定律左右兩端進行叉乘

圖3

對等式右側進行數學推導

我們建立的坐標模型中，位矢的起點是固定的，即為我們的參考點，因此位矢對時間的微分即為速度，等式變為

速度叉乘該速度對應的動量得到的結果為零，等式即為

推導結果就是質點的角動量定理，我們對等式左右兩邊進行概念的界定，從而得出質點角動量定理的文字表達與微分形式。

1.2.2 力矩、角動量與角動量定理

力矩的定義與初中物理杠桿原理部分給出的差別較大，力矩在物理學里是指作用力使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，用符號M表示，

一個質點的動量與一個給定的參考點的位置矢量的叉乘叫做這個質點相對給定的參考點的角動量，用符號L表示，

力矩等于質點角動量對時間的變化率，我們稱之為角動量定理

1.2.3 角動量守恒

先在微分式的基礎上，給出角動量定理的積分表達式

等式左側我們稱之為力矩沖量，右側為末狀態的角動量減去初狀態的角動量即角動量的變化量。一個過程中，質點的力矩沖量為零時，初狀態末狀態角動量相等，即為角動量守恒。

2 問題解決

如圖4所示，我們以運動員的支撐軀干為中心軸（轉動軸），俯視角建模，將其抽象為圓周運動，張開的軀干的向心力來自軸心軀干，我們可以抽象為指向中心軸，選取中心軸上向心力與軸的交點為參考點，可以發現，位矢與力在同一條直線上，意味著力矩為零，系統初末狀態（運動員伸展軀干、收起軀干）角動量守恒。

圖4

3 教學啟示

3.1 物理規律的適用條件

在高中物理教學中，物理規律、定律、定理等的適用條件意義重大，高中物理課本中的第一節課，質點、參考系中質點理想模型的建立就涉及到質點的應用條件，它約束著我們對于該理想模型的使用，同時也幫助我們深刻理解質點這個理想模型，高中階段我們往往會忽略各種規律的適用條件的傳授與點撥，例如在必修第三冊靜電場及其應用章節中我們會在庫侖定律部分強調真空中點電荷這個前提條件，強調我們研究的是靜電力，但是在場強疊加部分知識的講授過程中，我們是否強調了靜電場這個關鍵前提呢，作為在本章標題中出現過的詞語極易被忽視。

圓周運動中，同軸轉動具有其約束條件，那就是一個物體僅在轉軸作用下轉動時，形態發生變化將不能滿足同軸轉動規律，此時要考慮角動量守恒；而在高中階段我們接觸的同軸轉動模型，都是轉軸通過質量均勻圓盤或齒輪的質心，不同物體間的同軸轉動規律，或者是一個齒輪上下尺寸不同但繞同一轉軸轉動。

3.2 生活中的物理現象

高中物理教學中，運用生活中的物理現象是非常重要的手段，生活中隨處可見的問題，其中或多或少都蘊含著物理規律，因此，將生活中的現象予以收集、歸納、分類整理并用于高中物理教學中能夠起到非常好的效果，一方面生活中發生的事情緊貼學生生活實際，能夠非常輕松的激發學生的學習興趣、探究欲望；另一方面，日常常見的現象學生在生活中可能并未仔細去思考過，在課堂中展示后，能夠促進學生通過物理學視角去觀察生活中的現象，對于落實物理核心素養的培養具有重要意義[1]。

在圓周運動教學過程中，我們完全可以引入一個小實驗進行同軸轉動規律適用條件的辨析，準備一把轉椅，兩個小啞鈴，教師坐在轉椅上，雙臂伸平，由學生幫忙，進行旋轉，旋轉過程中，突然收回雙臂合于胸前，我們就能明顯地觀察到轉動變得快了，角速度變大；再展開雙臂后，轉動又變慢了，角速度又變小了。通過這個簡單的小實驗，形成認知沖突，對比兩個規律的發生條件，從而幫助學生更好地理解同軸轉動規律的適用條件。

3.3 類似問題的處理方式

即便很少有學生能夠在圓周運動的學習過程中提出這樣的問題，但是一旦有學生能夠提出，就已經反映出了這位同學能夠積極觀察實際生活中的物理現象，能夠從物理角度去分析生產生活中的問題，這個觀察和思考的過程，不僅僅包含對科學思維能力的實際體現，也說明了該同學端正的科學態度，對科學探究的興趣及熱愛，這應該是落實核心素養教學的目標效果[2]。

課堂教學的過程中，學生能夠針對現階段所學的概念或現象，提出質疑或具有創新性的問題，教師應給予高度關注及重視，首先明確，學生的質疑、對概念或現象的不同角度的思考都在教學設計的預設之外、在課程經驗序列之外，但教師要對這種情況給予高度肯定，一方面保護學生觀察生活積極思考的探究興趣，另一方面對學生創新性思考給予鼓勵與贊賞；其次，要評估對學生提問做出及時反饋的各種形式的價值，對于學生的創新性產出，我們要盡全力使其價值最大化，既包括知識經驗本身的價值，也包括物理觀念等核心素養培養的價值，快速思考出解決方案，例如課堂上直接給出解釋，闡明問題的核心，或全班同學參與其中，集思廣益查閱資料，將這個新穎、具有創意的問題變成全班同學交流合作的小課題，又或者課下單獨交流，作為激勵學生繼續保持熱情的方法，總的來說應依據價值評估選擇恰當的解決方案。