Lagrange中值定理的證明及其應用

肖 琪 龔 萍

（攀枝花學院數學與計算機學院 四川·攀枝花 617000）

微分中值定理（主要包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理等）是微分學中的基本定理，而Lagrange中值定理是最為重要的定理，Rolle中值定理是其基礎和特殊情況，Cauchy中值定理是其推廣，Lagrange中值定理可用于研究函數的單調性、凹凸性及其連續性等性質、等式證明、不等式證明、級數斂散性判別以及求函數極限等方面。本文主要研究Lagrange中值定理的證明，以及在等式證明、不等式證明和求函數極限這幾方面的應用，通過具體的例題來分析、歸納和總結對應題型的解題思路、方法與步驟。

1 Lagrange中值定理

1.1 Lagrange中值定理

1.2 Lagrange中值定理的證明

人們經常通過借助輔助函數，利用積分法、幾何法、待定系數法、分析法、推論法等方法來Lagrange中值定理的證明。下面通過倒推法來構造輔助函數，其主要過程為：

（2）將等式兩端簡單積分，不考慮常數c：

2 Lagrange中值定理的應用

本節中，我們將通過具體例子，闡述說明Lagrange中值定理在證明等式、證明不等式和求函數極限中的應用，通過具體的例題來分析、歸納總結對應題型的解題步驟、方法。

2.1 證明等式

2.2 證明不等式

題型：如果需要證明的不等式中涉及某一個函數的兩點函數值之差的。

2.3 求函數極限

題型：所求函數極限中為同類型函數的兩點函數值之差，且自變量僅相差一個常數。

3 結束語

本文主要研究了Lagrange在證明等式、證明不等式和求函數極限中的應用，Lagrange中值定理還可用于研究級數斂散性、函數單調性和凹凸性等性質，但歸根結底，其重點在于構造輔助函數。可見，Lagrange中值定理是學好微分學、高等數學的重中之重，要學好、用好Lagrange中值定理需要對其核心內容及其特點做到能夠靈活運用，并且歸納總結其特性以及思想方法。