ν-t圖巧解帶電粒子在電場中的運動問題

>>>廉新萍

《普通高中物理課程標準（2017年版）》指出：“運用物理知識解決實際問題能力的高低，往往取決于學生將情境與知識相聯系的水平。”我們常說某個問題很“活”，其實“活”的本質之一在于情境的轉化，能不能把問題中的實際情境轉化成物理情境，是應用物理觀念思考問題、應用物理知識分析問題，進而建立相應物理模型的關鍵，而ν-t圖不失為打開情境轉化之門的一把金鑰匙。

一、ν-t圖能把運動現

帶電粒子在電場中的直線運動不外乎加速、減速、勻速這三種形式，弄清運動過程是解決此類問題的關鍵，利用ν-t圖恰恰可以展示帶電粒子在某時刻的速度、某段時間段內的位移。

例1．如圖1所示，在P板附近有一電子由靜止開始向Q板移動，已知兩極板間的電勢差為U，極板間距為d，電子質量為m，電量為-e。分析：當將兩極板間的電勢差增加一倍（其他條件不變）和將極板間距d增大一倍（其他條件不變）時，求電子到達Q板的時間和速度變化情況。

圖1

【思路】電子在電場中做勻加速直線運動，作出ν-t圖如圖2所示，到達Q板時間為t1，速度為ν1。若將兩極板間的電勢差增加一倍（其他條件不變），則電場強度加倍，加速度加倍。由于位移不變，即圖線與時間軸圍成的面積不變，可知電子到達Q板的時間t2＜t1，速度ν2＞ν1。

圖2

若將極板間距d增大一倍，則加速度減半，由于位移加倍，即圖線與時間軸圍成的面積是原面積的2倍，即×t3，可得電子到達Q板的時間t3＝2t1，而電子到達Q板的速度保持不變，仍為ν1。

【方法提煉】

電場中粒子勻加減，運動要用ν-t展；

斜率來把加速度現，位移就用面積看。

二、復雜運動更直觀

當帶電粒子所處電場為交變電場時，粒子運動加速度會發生變化，時而加速時而減速，時而正向運動，時而反向運動，但利用ν-t圖可以使復雜運動清晰與直觀。

例2．如圖3所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖4所示的交變電壓，一重力可忽略不計的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處。（設A、B間距離足夠大）。

圖3

圖4

現分析在t=0時刻釋放該粒子，粒子最終打在哪個板上。

板間為勻強電場且場強方向向右，由于粒子帶正電，所以受到的電場力向右，從t=0開始，粒子向右做勻加速直線運動，當t=T—2時，速度達到最大為ν1。在內電場反向，加速度反向，粒子向右做勻減速直線運動。由于兩段時間內加速度大小相等，因此當t=T時，速度剛好減為零。之后重復0-T內的運動形式，這一運動的ν-t圖如圖5所示。圖線與時間軸圍成的面積始終處于橫軸上方，表示粒子一直向右運動，所以在t=0時刻釋放該粒子最終會打在B板上。

圖5

若在t0時刻釋放該粒子，粒子會時而向A板運動，時而向B板運動，并最終打在A板上。求t0可能屬于的時間段（設0＜t0＜T）。

【分析】先找從特殊時刻（如）釋放的粒子，由于內UAB＞0且保持不變，可知，粒子受到的電場力向右，該段時間內向右做勻加速直線運動，t=T—2時最大速度為ν2，作出ν-t圖如圖6所示。在內電場反向，加速度反向，粒子先向右減速到零，再向左加速，在t=T時，速度變為-ν2；接下來，電場反向，粒子向左做勻減速直線運動時，速度變為0。之后重復內的運動形式。圖線與時間軸圍成的面積如果在時間軸上方，代表粒子位移為正，即該段時間內，粒子向右運動；圖線與時間軸圍成的面積如果在時間軸下方，代表粒子位移為負，即該段時間內，粒子向左運動。由ν-t圖可以發現，粒子從P點出發，先向右方（正方向）運動一段位移（橫軸上方對應的三角形面積），再向左方（負方向）返回運動一段位移（橫軸下方對應的三角形面積），到達P點，然后又向右重復上述運動，即粒子在P點右側做往返運動，但不會打到A板上。

圖6

圖6 也可以認為是將圖5的兩個坐標軸進行平移而成，即縱軸向右平移到，此時縱軸與圖線的交點就是橫軸應向上平移到的位置，如圖7所示，可看到新圖象與圖6效果相同。

圖7

與計算法相比，坐標軸平移的方法較為簡單。以下分析均采用坐標軸平移的方法。

要想使粒子時而向A板運動，時而向B板運動，并最終打在A板上，需要使t'軸上方圖線與t'軸圍成的面積小于t'軸下方圖線與t'軸圍成的面積。可得使粒子在內釋放（平移坐標軸后的ν'-t'圖如圖8所示）；或粒子內釋放（平移坐標軸后的ν'-t'圖如圖9所示），粒子最終會打在A板上。

圖8

圖9

【方法提煉】

初態分析是基礎，坐標平移到要求處；

上下面積有“方向”，合面積為負反向了。

三、最大位移面積找

除了可以用ν-t圖找運動形式外，還可以從ν-t圖找粒子運動的最大與最小位移。

例3．如圖10所示，水平正對放置的金屬板A和B的距離為d，它們的右端放著垂直于金屬板的靶MN，現在A、B板上加上如圖11所示的電壓，電壓的正向值為U0（A板電勢高于B板電勢），反向值為且每隔變向1次。現將質量為m、帶電荷量為+q的粒子束從A、B左側的中點O以平行于金屬板的方向射入兩板之間，設粒子能全部打在靶上且所有粒子在A、B間的飛行時間均為T。不考慮重力的影響。求在距靶MN中心O'點多遠的范圍內有粒子擊中。

圖10

圖11

【分析】粒子打在靶MN上的范圍，實際上就是粒子在豎直方向所能到達的范圍。帶電粒子在電場中做類平拋運動，水平、豎直方向的分運動等時且獨立，因此，粒子在豎直方向的分運動用時也為T。根據可知，內的加速度為內加速度的2倍。在t=0時刻射入電場的粒子，受到的電場力向下，所以粒子在豎直方向向下做勻加速直線運動，時豎直方向的速度為ν。在內電場反向，加速度反向且大小減半，粒子在豎直方向向下做勻減速直線運動，在t=T時，豎直方向的速度變為此時粒子離開電場。作出豎直方向運動的ν-t圖如圖12所示，圖線與時間軸圍成的面積表示粒子向下運動的位移。

圖12

圖13

【方法提煉】

曲線運動分解現，選擇分運動畫ν-t；坐標平移省計算，找坐標原點很關鍵。