2021年新高考全國卷Ⅰ數學18題評析

>>>伊翠紅

2021年新高考全國卷Ⅰ數學18題以“一帶一路”知識競賽為背景，考查考生對概率統計基本知識的理解與應用。試題就選手答題得分而設問，既考查相關數學知識，又考查關鍵能力；既突出數學知識的基礎性，又突出數學模型的應用性。本文旨在分析考生在試題解答過程中出現的一些問題，并對2022年高考概率統計的復習提出些許建議。

一、試題再現

18.(12分)

某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．

已知小明能正確回答A類問題的概率為0．8，能正確回答B類問題的概率為0．6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．

解：（1）X的取值可能為0，20，100.

∴х的分布列為

?

（2）假設先答B類題，得分為Y，

則Y可能為0，80，100．

∴Y的分布列為

?

∴E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6．

由（1）可知E（X）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．

∴E（Y）＞E（X），

應先答B類題．

二、錯例典析

試題背景具有鮮明的時代特色，通過考生熟悉的答題競賽活動進行設問，考查概率統計基礎知識的應用。有些考生在解答時存在諸多不妥之處，下面舉例說明。

1.文字閱讀不認真，造成審題失誤

從第（1）問即開始丟分，如圖1—圖4。

圖1

圖4

試題文字材料近300字，每漏讀一字，對題意的理解都可能出現偏差。圖1與圖2考生顯然都沒能正確寫出隨機變量X的三個取值；圖3與圖4考生雖然正確寫出了隨機變量X的三個取值，但分別對“X=0”和“X=20”的概率取值出現計算方面的錯誤。此類考生都沒有認真閱讀題目材料，沒有從中提取出完整的答題有效信息，造成失分。

圖2

圖3

2.數學概念不清晰，公式選擇不恰當

如圖5—圖7。

圖5

圖7

對數學概念的理解要清晰，對數學公式的運用要精準。顯然，三名考生在求解問題（1）時，對“X=20”和“X=100”的概率取值計算都沒有選對公式。圖5考生把問題理解為互斥事件的和事件，采用概率加法公式；圖6考生把問題理解為獨立重復試驗，采用n次獨立重復試驗有k次發生的概率計算公式；圖7考生則錯把古典概型融入。他們共同失誤是，對隨機變量X的取值對應的事件及彼此關系沒有進行正確分析，概念混淆、公式錯亂，造成失分。

圖6

3.運算過程出現失誤，致使結果不準確

如圖8和圖9。

圖8

圖9

數學的關鍵在于運算，運算結果能為解決問題提供數據支撐。在求解問題（2）時，需要比較兩類方案中小明答題得分的數學期望，以做出有利決策。雖然他們所列的表達式正確，但最終的計算結果卻都是錯誤的。此類考生的共同問題在于平時沒有養成認真作答、提高精準率的好習慣，致使考場答題失分。

4.數據分析、推理不嚴謹，出現跳步作答

如圖10和圖11。

圖10

圖11

推理與證明是數學特有的思維方式。在解決問題（2）時，圖10考生直接得出兩種方案下的隨機變量數學期望值分別為54.4和57.6，但對這兩個數據的由來卻缺少必要的說明；圖11考生直接得出數學期望的結果為57.6，而對于數據9.6與48的由來也沒有提供數據支撐。此類考生的共同錯誤是對問題結論的得出缺少必要的數據說明，缺少數據分析、推理不嚴謹，屬于跳步作答，造成失分。

5.對概率的意義、性質理解不到位

出現常識性錯誤，如圖12和圖13。

圖12

圖13

概率是描述隨機事件發生可能性大小的量，其取值范圍為[0，1]。圖12考生顯然沒有注意到分布列中隨機變量X所有取值概率之和大于1這一點；圖13考生更是出現了隨機變量X單個取值概率大于1的錯誤解答。他們的共同失誤是對概率的意義、分布列的性質理解不到位，致使出現常識性錯誤，造成失分。

6.公式書寫不規范，數據表達不準確

如圖14和圖15。

圖14

圖15

數學語言具有簡潔性、準確性的特點。圖14考生在書寫隨機變量X的分布列時，對其概率取值直接列式表達，未給出最簡結果，屬于結果表達不簡潔；圖15考生書寫隨機變量數學期望公式時，未使用加權平均數х1p1+х2p2的表達式，屬于書寫不規范。此類考生的共同缺點是數學符號表達不規范，不符合數學語言簡潔性和準確性的要求，造成失分。

7.書寫混亂，字跡不清，影響視覺

如圖16。

圖16

字跡清晰是保障閱卷老師順利閱卷的前提，也是確保考生取得相應分數的必要條件。圖16考生答卷時字跡潦草不清晰，可能會影響閱卷老師對答題過程的準確評判，也可能會影響考生自己的成績。此類考生的共同缺點是平時不注重書寫訓練，沒有養成書寫清晰、表達規范的好習慣。

三、備考建議

總結、反思以上作答中存在的問題，針對概率統計知識的復習備考，提出以下建議。

1.重視材料閱讀訓練，提高信息提取、加工、處理的能力

閱讀中，要用數學的眼光觀察問題，通過直觀觀察或抽象描述，完整提取相關信息，再運用所學數學知識解決實際問題。如該試題文字敘述極為精簡，增之一字不必，減之一字不可，漏讀一字對題意的理解都會出現偏差。如“有A，B兩類問題”“能正確回答問題的概率與回答次序無關”等語句，對問題的分析、判斷、求解都起著至關重要的作用。

2.重視教材，熟悉概率相關概念的產生背景，理清概率計算公式的來龍去脈

每一個數學概念、公式的產生都是自然的，如果我們對哪個概念、公式不理解，只要想想它產生的背景，自然就明了了。如試題第（1）問，隨機變量X的分布列的得出過程并不復雜，關鍵是要理解隨機事件、隨機變量、隨機變量分布列等概念及相關性質，并正確選擇運算公式進行計算。

3.樂于解決實際問題，在知識的運用中加深理解各種概率模型

借助教材中“擲硬幣”“擲骰子”“選手射擊”等經典實例，準確區分“古典概型”“互斥事件有一個發生”“相互獨立事件同時發生”等概念；清楚“超幾何分布”“二項分布”“正態分布”等概率模型，以便正確選擇概率公式求解。如試題第（1）問，“小明能正確回答A類問題”與“小明能正確回答B類問題”為相互獨立事件，故應采用“相互獨立事件同時發生”的概率乘法公式進行計算。

4.重視邏輯推理、數學運算，加強理性思維訓練

邏輯推理、數學運算體現在對實際問題能進行有條理的梳理，對涉及的事件間的關系能進行清晰的辨析。如試題第（1）問，考生如果能夠依據題目條件，對小明答題順序、得分規則進行理性分析，則不僅能正確解答問題（1），問題（2）也能迎刃而解。

5.多看新聞，知曉國家大事，特別要關注經濟建設和科學發展成果

寬廣的視野能夠消除考生對題目背景材料的恐懼感，近兩年，精準扶貧、科學防疫、社會勞動實踐、“一帶一路”等國家時政大事都躍然卷上。同時，新高考數學試題會多方位凸顯數學知識的基礎性和應用性，考生只有直面各種數學應用問題，才能領會統計與概率思想在現實生活中的應用，形成自覺應用數學知識的意識，提高解決實際問題的能力。

6.平時要養成良好的書寫習慣

答題時書寫要有排版意識，必要的文字說明要簡單明了，數學符號的表達要規范準確，對數據運算結果要有檢驗意識，其中，注重數學運算結果的精準性是最重要的。如試題第（2）問，計算結果支持小明選擇先回答B類問題，此時他得到較高分數的可能性更大些，更有可能為團隊爭得榮譽。