在圖形與幾何學(xué)習(xí)中發(fā)展空間觀念的課例研究
——以“認(rèn)識圓柱”的教學(xué)設(shè)計為例

薛舒引

（江蘇省南京市江寧區(qū)秣陵中心小學(xué)，江蘇南京 211111）

引 言

筆者在小學(xué)高年級數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生普遍缺乏空間觀念。由此，筆者產(chǎn)生了疑問：空間觀念看不見、摸不著，如何衡量學(xué)生空間觀念的發(fā)展水平？如何在“圖形與幾何”的教學(xué)中落實學(xué)生空間觀念的發(fā)展？筆者通過研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》，學(xué)習(xí)范希爾幾何思維水平理論，在“認(rèn)識圓柱”的教學(xué)中進(jìn)行了以下思考和實踐。

一、衡量空間觀念發(fā)展的理論依據(jù)——范希爾幾何思維水平理論

在對學(xué)生幾何概念形成的研究中，范希爾的幾何思維水平理論是最具影響力的理論之一?；谄喗艿恼J(rèn)知發(fā)展階段論，范希爾夫婦指出，學(xué)生的幾何思維發(fā)展包含五個層次，分別是水平0——視覺、水平1——分析、水平2——非形式化演繹、水平3——形式化演繹、水平4——嚴(yán)密性。學(xué)生的幾何思維水平發(fā)展是循序漸進(jìn)、逐步進(jìn)階的。小學(xué)第一、第二學(xué)段學(xué)生的幾何思維發(fā)展主要集中于前三個水平。

基于該理論，筆者認(rèn)為，在“認(rèn)識圓柱”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生空間觀念的發(fā)展主要分為三個層次。水平0——視覺：能夠從生活實物中或幾何圖形中分辨出圓柱，用“生活語言”片面描述圓柱的特征，這是學(xué)生在本節(jié)課中的學(xué)習(xí)起點。水平1——分析：了解圓柱各要素名稱及其特征，能用數(shù)學(xué)語言系統(tǒng)地描述圓柱的外部及內(nèi)部特征。水平2——非形式化演繹：理解圓柱與平面圖形之間的聯(lián)系，這是本節(jié)課的學(xué)習(xí)難點。

二、發(fā)展空間觀念的教學(xué)策略——以“認(rèn)識圓柱”為例

《課程標(biāo)準(zhǔn)》和小學(xué)數(shù)學(xué)教材中都沒有對空間觀念內(nèi)涵的解釋，但《課程標(biāo)準(zhǔn)》中給出了學(xué)生是否具備空間觀念的具體表征：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。從《課程標(biāo)準(zhǔn)》的表述可以看出：學(xué)生發(fā)展空間觀念，需要從生活中的實際物體出發(fā)，經(jīng)歷抽象、想象和表達(dá)的思維活動。

基于對《課程標(biāo)準(zhǔn)》的理解，筆者確定了“認(rèn)識圓柱”一課的教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合觀察、比較、證明等操作，探索、驗證圓柱的基本特征；結(jié)合切、旋轉(zhuǎn)、平移等活動，探索在圓柱與平面圖形的變形轉(zhuǎn)換中相對應(yīng)的關(guān)系；在探索活動中，積累圖形研究的經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念；在小組合作中能清晰地表達(dá)自己的想法，積累與他人合作交流的經(jīng)驗。在此基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計了以下教學(xué)活動。

活動一：基于原型，調(diào)動經(jīng)驗，初步建立表征——喚醒水平0

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，學(xué)習(xí)素材的選擇應(yīng)在反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學(xué)生的現(xiàn)實，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學(xué)知識與方法的過程。基于這樣的思考，筆者在課前讓每位學(xué)生在生活中選擇1～2個圓柱形物體并記錄下它的特征。這樣的活動既調(diào)動了學(xué)生的已有經(jīng)驗，又為觀察活動提供了豐富的原型素材。

活動二：經(jīng)歷觀察，結(jié)合語言表達(dá)，歸納圖形外部和內(nèi)部特征——達(dá)到水平1

1.在豐富的學(xué)習(xí)素材中求同存異，發(fā)現(xiàn)外部特征

觀察活動中的素材要豐富和直觀，貼近學(xué)生生活，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。學(xué)生在豐富的圓柱形物體素材中求同存異，結(jié)合對比、推理等，發(fā)現(xiàn)圓柱的外部特征，開展小組共同觀察的活動。

2.調(diào)動多感官參與觀察，與伙伴共同學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)部特征

觀察是研究圖形的重要方法[1]。探索圖形特征的方法多樣且具有挑戰(zhàn)性，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生在方法、能力和情感價值方面獲得多重提升的目的。具體活動（見圖1）會促使學(xué)生在觀察過程中調(diào)動多感官參與，在與伙伴的合作學(xué)習(xí)中互相啟發(fā)，對圓柱特征認(rèn)知實現(xiàn)“再創(chuàng)造”。

圖1

考慮到學(xué)生思維水平和接受、掌握知識的能力的不同，為了讓全體學(xué)生都能參與探究活動，筆者提供了“研究提示”（見圖2），指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合多感官進(jìn)行具體觀察，促使每位學(xué)生在原有基礎(chǔ)上都能得到發(fā)展。

圖2

3.歸納抽象特征，以語言為載體發(fā)展空間觀念

在學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)、討論前，筆者設(shè)計如下活動并提出要求（見圖3）。學(xué)生對圓柱的特征和圓柱的表征逐漸清晰，“歸類”“簡潔描述”“標(biāo)一標(biāo)”等要求促使他們用系統(tǒng)、簡潔的數(shù)學(xué)語言描述發(fā)現(xiàn)的圓柱的特征。語言是思維的外衣，不同的語言表達(dá)代表著學(xué)生不同的思維方式和思維水平。筆者將學(xué)生的結(jié)論分層展示，讓他們進(jìn)行對比分析，產(chǎn)生思維碰撞，在交流中發(fā)展認(rèn)知。

圖3

活動三：基于知識本質(zhì)，設(shè)計操作活動，積累空間想象經(jīng)驗——達(dá)到水平2

1.認(rèn)清知識本質(zhì)，設(shè)計適合學(xué)生的操作活動

圓柱有靜態(tài)定義和動態(tài)定義。以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓柱。這是圓柱的動態(tài)定義?？梢?，圓柱的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)體。在小學(xué)階段，教材對圓柱的概念只做靜態(tài)的描述，但學(xué)生在認(rèn)識圓柱的過程中也有對動態(tài)定義的理解。例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中先出示生活中各式各樣的圓柱形物體，揭示“上面這些物體的形狀都是圓柱體，簡稱圓柱”，再研究圓柱的各部分組成及特征，緊接著通過“把一張長方形的硬紙貼在木棒上，快速轉(zhuǎn)動木棒，看看轉(zhuǎn)出來的是什么形狀”的活動體現(xiàn)圓柱的動態(tài)性。基于對圓柱本質(zhì)的理解，筆者設(shè)計動態(tài)的操作活動，提供豐富的素材，創(chuàng)設(shè)兩個問題情境：圓柱里“藏著”哪些平面圖形？平面圖形能通過變形或者運動變成圓柱嗎？

2.想象在先為主，操作在后為輔，積累空間想象經(jīng)驗

在課堂伊始，筆者以動態(tài)的旋轉(zhuǎn)門引出課題，為學(xué)生開啟想象活動提供經(jīng)驗。“先想象再操作驗證”的要求促使學(xué)生發(fā)揮空間想象能力展開思考。但只有想象是不夠的，在操作中試誤、驗證才能幫助學(xué)生建立清晰表象，尋找對應(yīng)關(guān)系，學(xué)會用數(shù)學(xué)的方法解決問題。

結(jié) 語

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)教師要正確認(rèn)識和理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中空間觀念的含義與對不同學(xué)段的要求，掌握學(xué)生空間觀念發(fā)展的各階段特征，結(jié)合具體的課程內(nèi)容滲透空間觀念，梳理小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域中發(fā)展學(xué)生空間觀念的教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷活動的過程，逐步發(fā)展其空間觀念。