外場數據下航空產品壽命統計方法研究

孫榮榮，楊宏偉，黃曉明

（濱州學院機電工程學院，山東 濱州 256600）

1 引言

航空產品的壽命統計是飛機可靠性分析工作的基礎，是優化維修間隔，修訂維修方案的重要依據。由于飛機系統部件幾乎全部依賴進口，缺少試驗數據，其壽命統計的數據通常來自飛機運營過程中產生的外場數據。隨著飛機可靠性水平的提高，特別是一些具有安全性后果的航空產品，外場數據大部分為預防性維修數據，修復性維修只占很小的比例，由于這些預防性維修產品在維修時并未完全失效或已經失效但未被發現，其壽命數據通常為右刪失數據或區間刪失數據。因此，如何充分有效地利用各種類型的外場數據，是航空產品可靠性分析工作的一個重要內容[1]。

在醫學、經濟學等領域，國內外學者針對隨機右刪失[2]、區間刪失[3]等各種類型的刪失數據統計問題已經進行了大量研究。但是目前航空領域的壽命統計分析仍然以完全失效數據為主[4]，少數考慮到刪失數據[5]，尤其是對于隱蔽功能故障，往往忽略了其外場數據的區間刪失性[6]。另外，傳統的參數估計方法通常只能處理一種或兩種數據類型，而且對于存在大量刪失數據的樣本，且當分布模型中包含多個分布參數時，似然函數的求解會變得非常復雜[7]。

這里指在建立一種混合數據類型下的壽命統計模型，既能處理完全失效或刪失數據中的某一數據類型，也能同時處理多種數據類型，并采用一種簡單高效的粒子群優化算法進行模型求解，最后在獲得的多個壽命分布類型中選擇最佳分布類型，并利用計算機模擬進行驗證。

2 航空產品主要壽命分布類型

從統計理論的角度來看，產品的壽命是服從一定統計規律的隨機變量。國內外研究表明，航空產品的壽命分布模型主要有以下幾種類型[8]。

2.1 指數分布

在民機系統可靠性分析中，指數分布是最基本的分布類型，其故障率為常數，特別適用于民機電子元器件和復雜項目的可靠性分析，其概率密度函數為：t

2.2 正態分布

正態分布主要用于描述那些由于磨損而發生故障的機件，其概率密度函數為：

2.3 對數正態分布

對數正態分布則常用于分析由于裂紋擴展而引起故障的機件，若時間T服從對數正態分布，則X=lnT服從正態分布，因此，當t＞0時，對數正態分布的概率密度函數為：

式中：μ—分布函數均值；σ—分布函數標準差。

2.4 威布爾分布

威布爾分布的適用范圍較其它幾種分布模型更為廣泛，它不僅適用于分析偶然故障，還適用于分析早期故障、耗損故障等數據類型。雙參數威布爾分布的概率密度函數為：

3 多數據類型下壽命統計方法

3.1 壽命統計模型的建立

3.1.1 完全失效數據

對于一些非計劃維修產品，是在產品完全失效后再采取維修工作，因此可以知道產品失效的準確時間。

假設樣本i在某一時刻TFi完全失效，則樣本i的負對數似然函數可表示為：

3.1.2 右刪失數據

對于一些定時維修或存在潛在故障的產品，例如油濾的更換、輪胎的磨損等，往往在產品失效之前就采取了計劃維修。由于無法知道產品準確的失效時間，但是可以確定產品在被刪失時刻是未失效的。假設樣本i在時刻TCi由于計劃維修被刪失，則該樣本i的對數似然函數可表示為：

3.1.3 區間刪失數據

部分航空產品的故障為隱蔽功能故障，例如一些備用設備等，正常情況下其功能故障對于工作人員是不明顯的，只有在下次預防性維修時才能被維修人員發現。假設樣本i在某一檢查間隔區間(TLi，THi)內失效，并不知道其確切的失效時間，但是可以知道該樣本在時刻THi未失效且在時刻TLi失效，則該樣本i的負對數似然函數為：

如果樣本同時包含三種數據類型，則總樣本出現的概率為三種數據類型下的似然函數求和，因此，可得到總樣本的負對數似然函數為：

式中：n—樣本總個數。

將假設壽命分布模型的概率密度函數和累積分布函數代入式（8）～式（11）中，即可得到總樣本的負對數似然函數表達式。以威布爾分布為例，假設樣本含有N1個完全失效數據，N2個右刪失數據，N3組區間刪失數據，且每組刪失數據個數為k( )i，則三種數據類型下的負對數似然函數為：

3.2 基于PSO算法的模型求解

由于故障數據的復雜性和多樣性，混合數據下的負對數似然函數的求解無法用傳統的參數估計方法進行求解。因此采用一種隨機搜索算法—粒子群優化算法（PSO）進行壽命統計模型的求解[10]。

為了獲得不同可靠性分布模型下最優的參數估計，求解的目標是搜索分布模型參數的值，以使負對數似然函數最小。因此，算法求解目的是尋找一定約束范圍下參數Z的值，使目標函數式（11）達到最小。

基于PSO算法的參數估計是在構建的負對數似然函數的基礎之上直接確定適用度函數，進而以并行方式搜索全局極值和局部極值的方式來求其數字解。其求解的具體步驟為：

第一步：初始化種群的個體，設定分布模型各參數的取值范圍，并隨機初始化速度；

第二步：基于適應度函數Fitness=-lnL( )θ，計算各粒子的適應度，并初始化個體最優位置Pi和全局最優位置Pg；

第三步：依次迭代求解，不斷更新粒子，將每個粒子的適應度與Pi和Pg進行比較并對其進行更新；

其中，第k代到k+1代的粒子更新速度為：

式中：α—速度加速因子，它從整體上對更新速度進行加權。

第四步：如果滿足精度要求，則輸出目標函數的解，否則返回第二步。

3.3 最佳壽命分布模型的選擇

由于航空產品故障機理較為復雜，不能簡單地根據經驗假設某一特定的分布模型，這里將指數、威布爾、正態和對數正態四種分布模型分別代入壽命統計模型中進行參數估計，然后基于BIC準則選擇一個最佳的分布模型。BIC 準則是日本統計學家Akaike 在1973 年提出的模型選擇的最小信息量準則（Bayesian Information Criterion，BIC 準則）［11］。BIC是一種評估模型最優配置的指標，它是擬合精度和未知參數個數的加權函數，使BIC值最小的分布模型被選擇為最佳分布類型，該準則的計算公式如下：

通過以上分析，基于不同分布模型下參數估計的結果可計算出各備選分布模型的BIC值，并將其中BIC值最小的作為相對最優的分布類型。根據航空產品壽命分布特點，在進行參數估計時僅考慮了四種分布類型。在機械、醫學等其它領域應用時，也可以考慮其它壽命分布模型進行參數估計，然后基于BIC準則選擇一個最佳的分布模型。

4 利用計算機模擬進行模型驗證

為了驗證模型的合理性，以威布爾分布為例，取形狀參數β=2，尺度參數η=1000，利用MATLAB 產生100 個服從威布爾分布的失效數據，從這100個值中隨機選取10個值作為完全失效數據，并在剩下的90個數據中將＜1200的數據構造區間刪失數據，區間長度為100，將＞1200的數據構造右刪失數據，獲得的樣本數據，如表1所示。

表1 計算機模擬樣本數據Tab.1 Computer Simulation Sample Data

下面采用本文提出的方法，對構造的三種數據類型下的樣本進行壽命統計模型的建立與求解。將表1中構造的樣本數據代入式（12）～式（15），利用PSO算法和MATLAB工具進行編程求解，選擇其適應度函數Fitness=NLL，取學習因子c1=c2=1.4962，慣性權重ω=0.7298，最大迭代次數MaxDT=100，搜索空間維數（優化參數個數）D=2，初始化種群個體數N=20。同樣的方法可進行正態分布、對數正態分布和指數分布下的參數估計，從而得到四種分布類型下的參數估計結果和BIC值，如表2所示。

表2 參數估計結果和BIC值Tab.2 Parameter Estimation Results and BIC Values

四種分布函數模擬結果的迭代次數和最小適應值關系以及擬合曲線與100個樣本數據的關系，如圖1、圖2所示。

圖1 迭代次數和最小適應值關系Fig.1 Relations Between Iteration Number and Minimum Fitness Value

圖2 四種擬合分布函數與樣本數據關系Fig.2 Relations Between Four Fitting Distribution Functions and Sample Data

由參數估計和BIC準則的分析結果可以看出，表1中數據的最佳擬合分布類型為威布爾分布，其形狀參數估計值β^=2.0253，尺度參數估計值η^=1031.2，近似等于實際值。

5 工程應用實例

某航空公司E190型飛機的電傳系統備用電瓶故障為一隱蔽功能故障，針對該故障，該航空公司采取的維修策略是每1000飛行小時（FH）進行一次操作測試。

因此，可以將備用電瓶在兩次檢查之間的故障數據視為區間刪失數據。

通過收集從2010年1月至2014年6月期間的外場維修數據并進行篩選整理，共獲得28個故障數據，如表3所示。

表3 備用電瓶區間刪失數據Tab.3 Standby Battery Interval Censored Data

基于表3數據，利用這個方法進行求解，可分別得到不同分布類型下的參數估計結果和BIC值，如表4所示。

表4 備用電瓶參數估計和BIC值Tab.4 Standby Battery Parameter Estimation and BIC Values

通過備用電瓶參數估計和BIC值的分析結果可以推斷出其壽命數據的最佳分布類型為正態分布，其概率密度函數為：

在獲得了產品的壽命分布模型之后，便可以進行平均壽命、可用度等可靠性參數的求解，從而進行維修決策。在本實例中，數據樣本只考慮了區間刪失數據，在后期運營過程中，如果獲得了產品更多的外場數據或通過試驗等方法獲得了完全失效數據，還可以應用本方法對結果進行優化處理。

6 結論

（1）提出了一種適用于多種數據類型的壽命統計方法，能同時處理完全失效、右刪失和區間刪失三種數據類型，解決了航空產品外場數據故障模式多樣化，存在大量刪失數據的問題。

（2）采用粒子群優化算法進行復雜似然函數的求解，實現了混合數據類型下的參數估計，并基于BIC準則在多個備選壽命分布模型中選擇最佳分布模型。

（3）以威布爾分布為例，利用計算機模擬驗證了模型的合理性，并以電傳系統備用電瓶為研究對象進行了工程實例分析，說明了方法的合理性和實用性。