邊界摩擦條件下含有預緊的對合碟簧隔振單元振動與穩定性分析

閆 明，惠安民，孫自強，張曉友，王開平，劉海超

（沈陽工業大學機械工程學院，遼寧沈陽110870）

引言

碟型彈簧（簡稱碟簧）是一種具有良好非線性剛度特性的金屬彈簧，具有體積小、加載均勻、承載能力高、自阻尼等優點［1-2］。可以根據不同工作條件將多片碟簧以不同疊放方式，組成具有不同的非線性剛度與復合阻尼特征的彈性元件［3-4］。因此，在各個領域都得到了較為廣泛的關注與研究。

基于碟簧本身力學性能研究，Almen等［5］、Rosa等［6］、Saini等［7］分別對等截面碟簧、線性變化截面碟簧與拋物線型變化截面碟簧的承載能力與軸向變形進行了理論推導，并分別建立了不同截面變化的碟簧的載荷大小與變形的公式。與此同時，Almen等［5］還在文中提出了碟簧對合放置時，其內部結構間的Coulomb阻尼系數最小的觀點；OZAKI等［8］通過數值計算方法對碟簧在考慮摩擦時的靜態與動態剛度特性進行計算；ZHENG等［9］針對大變形的碟簧提出了能量法求解其載荷與撓度的解析解，該解比傳統公式具有更高的精度；Ye等［10］基于梁與錐殼的有限旋轉與大撓度理論，對不同形式的異形開槽碟簧進行了力學分析，并提出一種試驗方法，詳細研究了碟簧應變與應力的分布規律，指出了傳統計算中的不合理假設。而在振動控制領域，Jia等［11］建立了高速壓力機用組合碟簧隔振裝置，對其加載與卸載過程進行了理論分析，并通過試驗確定了最佳碟簧組合，但并未討論其振動特性；Xu等［12］同樣基于組合碟簧，設計了一種隔振耗能裝置，并對其阻尼特性進行了理論分析與試驗探究，結果顯示其具有良好的耗能與自定心特性；高躍飛等［13］在對火炮系統的緩沖控制進行研究時，選用碟簧作為彈性緩沖元件，并對該碟簧緩沖系統的沖擊剛度進行了建模與試驗研究；王維等［14］研究了碟型彈簧豎向隔振裝置力學特性，建立并分析了該隔振裝置的恢復力模型與受力機理，并對其在基于往復載荷作用下的滯回曲線與耗能能力進行了試驗分析，得到了該碟簧隔振裝置的等效剛度與等效阻尼；工程上一般在設計碟簧隔振器時，為了簡化設計步驟，均將其等效為線性阻尼或線性剛度的隔振系統［15-17］。但由于碟簧疊合方式的不同以及系統內碟簧數目的增大，各碟簧結合面間的邊界摩擦效應與剛度非線性特性變得越來越明顯，這導致了線性模型無法準確表述隔振系統的振動特性。

綜上所述，目前對于單片碟簧的剛度特性，考慮摩擦條件下的準靜力學特性已有了較為豐富的試驗研究和理論成果。而對于組合類碟簧和組合類碟簧隔振裝置的研究多集中在阻尼特性或等效線性化后的振動特性上，鮮有文獻針對對合碟簧隔振裝置的非線性振動特性，特別是振動穩定性進行研究，而系統的振動穩定性往往是衡量隔振系統優劣的重要特性之一。因此，本文根據實際工程背景，提出了一種含有預緊的對合碟簧隔振單元，建立并推導其非線性振動微分方程，并對其振動特性以及振動穩定性進行分析與討論。

1 考慮邊界摩擦與預緊的碟簧隔振單元

1.1 碟簧隔振單元

基于實際工程需求，設計了一種碟簧隔振單元，如圖1所示為其結構原理圖。該隔振單元的結構特點為：彈性元件由多組對合碟簧組串聯布置而成，且每對對合碟簧的接觸面處均布置有平墊圈，以保證隔振單元在拉壓運動過程中受力均勻。根據不同工作需求，可以調節隔振單元中碟簧壓板的厚度，以改變隔振單元中的預緊力大小。碟簧壓板1#與2#之間充入適當硅油進行潤滑。

圖1 碟簧隔振單元原理圖Fig.1 Schematic diagram of disc spring vibration isolation unit

該碟簧隔振單元受載后的運動方式為：腔體中含有預緊的對合碟簧組被向下運動的內壓桿以及碟簧壓板1#壓縮至下行程最大處，然后系統在對合碟簧組的彈性力作用下，返回至初始靜平衡位置；或在慣性力與簡諧力作用下，腔內對合碟簧組被向上運動的外拉桿、上拉板以及碟簧壓板2#壓縮至上行程最大處，同樣在對合碟簧組的彈性力作用下，系統返回至初始靜平衡位置，完成單次運動，系統會按照上述規律周期性運動，直至外界激勵傳遞給系統的能量通過對合碟簧中存在的阻尼耗盡為止。該結構顯著優點為：可以將外界傳遞給隔振單元的軸向拉、壓力全部轉化為對對合碟簧組的軸壓力，在保證系統結構緊湊的同時也保證了對合碟簧組間預緊力恒存在。

如圖2所示，為上述碟簧隔振單元中的一對對合碟簧組的剖視圖，對合碟簧組由一對對合放置的碟簧和平墊片組成。碟簧為A系列無支撐碟型彈簧，其材質為60Si2Mn。中間墊片主要作用為：使碟簧受力均勻，保證系統穩定，防止碟簧壓縮過程中出現卡死現象，與此同時，在碟簧與平墊片的接觸圓上存在邊界摩擦效應，可為碟簧隔振器提供阻尼。圖中：D和d分別為碟簧的外徑和內徑；t為碟簧的厚度；h0為碟片的最大壓縮量；H0為碟片的自由高度。

圖2 對合碟簧組Fig.2 Opposed disc spring unit

1.2 碟簧隔振單元的非線性振動模型

根據GB/T 1972-2005《碟型彈簧》［18］規范中單個碟簧的力與撓度計算公式

考慮邊界摩擦與預緊力條件下的對合碟簧隔振單元，其剛度曲線可由軸向位移x的三次函數所表達，文獻［19］詳細敘述了該碟簧隔振單元剛度模型的建立過程，其剛度可表達為

式中K1，K2，K3分別為非線性剛度的一次、二次與三次項系數；α為碟簧隔振器初始預緊力；F為彈性恢復力；xs為碟簧預壓縮位移；且有基于此可知，除碟簧材料參數外，在隔振系統中，碟簧厚度t越大，碟簧自由高度H0越高，碟簧個數n越少，碟簧外徑D值越小，Kκ值越小，則系統的三次項剛度系數就越大，系統表現出的非線性特性就越明顯，通過調節以上碟簧幾何參數的配比即可以獲得不同的剛度特性。

與此同時，系統運動過程中，碟簧在接觸圓上存在邊界摩擦效應，該邊界摩擦效應可應用Coulomb阻尼進行描述。而Coulomb阻尼對系統軸向提供了附加支持力ΔFn，該附加支持力ΔFn的方向與系統的速度方向相反［16］。因此可以應用符號函數對其進行描述，建立變剛度的碟簧-質量系統模型，其隔振原理圖如圖3所示。

圖中：M為系統承載質量（其自身重力大于等于系統預緊力）；c為系統黏性阻尼系數；Kt為系統非線性剛度，其剛度變化規律符合式（1）。系統加載后，其平衡位置改變量為x0。x，y分別為隔振系統中承載質量M和基礎的絕對位移量。y?為基礎所受簡諧激勵的絕對加速度值。

令承載M的總絕對位移量為χ=x+x0，則根據式（2）該碟簧-質量隔振系統在基礎激勵下的運動微分方程為：

式中“·”代表對時間的導數，令λ=χ-y并帶回方程（3）與（4）中，經整理可得：

設非線性方程在Ω=1的主共振區域附近，其響應為

式中振幅A（τ）與相位θ（τ）為隨時間的周期慢變函數。即為無窮小量。根據Klotter［20］提出的對上述微分方程的求解方法，可用下式計算出其幅頻特性方程

式中A0為函數A（τ）的最大值，ψ為虛擬積分變量。整理式（9）可得，系統的幅頻特性方程為

由幅頻特性方程（10）可知，該系統振動幅值A0僅與非線性剛度的三次無量綱項系數α2、黏性阻尼的無量綱系數μ1以及附加支持力的無量綱系數μ2有關，與非線性剛度的二次項無量綱系數α1無關。

2 碟簧隔振單元周期解的穩定性分析

為進一步討論周期解σ（τ）=A（τ）·cos［Ωτθ（τ）］的穩定 性，現將sgn(σ?)展 開 成Fourier級 數形式

式中省略部分表示高次諧波項。根據諧波平衡法，將式（7）與（10）代回至方程（6）中，并略去A?(τ)的同階與高階無窮小項以及sgn(σ?)項中的高次諧波項，根據等式兩邊對應一次諧波的系數相等，整理可得

令式（12）中的慢變函數近似等于常數，即令A（τ）=A0，θ（τ）=θ0，并代回至方程（12）中，可得方程

由此，根據三角函數的性質，可同樣計算得到幅頻特性方程式（10）。這也驗證了應用Klotter求解方法求解該非線性振動方程的正確性。

引入微擾動量ε，κ（ε，κ均趨近于0），并滿足

將微擾動方程（14）代入式（12）中，可得

由于ε，κ趨近于零，ε?和κ?為其高階無窮小量，故可以認為下式滿足精度要求

對式（15）中的三角函數按照式（16）中的形式進行展開，并考慮式（13）的關系，對展開式進行整理，略去ε?κ?以及其同階的無窮小量，得到系統擾動方程

設擾動方程的解為：ε=ε0est，κ=κ0est，將其代回至擾動方程（17）中，可得其解的特征方程式為

求解特征方程（18），并同時考慮式（13）中各變量間的關系，整理后可得

由此，基于Routh-Hurwitz系統穩定性判定條件，可解得該周期解的穩定區間為

3 系統參數對隔振單元振動特性及其振動穩定性的影響

由碟簧間的邊界摩擦效應引起的Coulomb阻尼力，其值的大小主要取決于碟簧接觸圓上的正壓力與系統摩擦系數μe，而Coulomb阻尼力是引起附加支持力的關鍵因素。根據計算，可得到單片碟簧在不同摩擦系數條件下，其軸向壓縮距離與附加支持力ΔFn的關系曲線，如圖4所示，其具體計算與推導過程，可參看文獻［19］。其中碟簧的幾何參數為：t=0.5 mm，D=28 mm，d=10 mm，H0=1.15 mm，h0=0.7 mm；根據邊界摩擦潤滑條件［21］，系統摩擦系數范圍為0.1-0.3，因此此處摩擦系數μe分別選取0.1，0.2和0.3。

圖4 碟簧加載過程軸向壓縮距離與附加支持力關系曲線Fig.4 Relationship between axial compression distance and additional supporting force during disc spring loading

由此可知，對合碟簧隔振單元的附加支撐力無量綱系數μ2與其軸向位移在一定范圍內呈正相關。在該范圍內，為簡化計算難度，規定兩種振動狀態，即：小位移條件下的受迫振動狀態與大位移條件下的受迫振動狀態。為進一步研究系統中各參數對其振動以及穩定區間的影響，分別選取兩種振動狀態下的系統參數進行求解，具體分析過程如下。

3.1 小位移條件下的受迫振動

由圖4可知，當隔振系統的軸向位移量很小時，即使系統內存在較大的摩擦系數，但系統中的附加支持力ΔFn仍然很小。為探究Coulomb阻尼所引起的附加支持力ΔFn對系統的影響，選用較小的附加支持力無量綱系數μ2，并對上述幅頻特性方程（10）與其對應的穩定區間進行求解，如圖5所示。

圖5 小位移條件下附加支持力系數μ2對幅頻特性曲線與穩定區間的影響Fig.5 The influence of additional supporting force coefficient μ2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

由圖5可知，當系統中附加支持力無量綱系數μ2=0時，系統中僅存在黏性阻尼，此時系統為線性阻尼的非線性剛度隔振系統。而隨著附加支持力無量綱系數μ2的出現并增大，系統共振峰值略有減小。且出現一種自鎖現象，即：系統存在一個脫離頻率Ωb，當 激 勵 頻 率Ω的 值 小 于 脫 離 頻 率Ωb時，此 時A0=0，即承載質量M與基礎間的相對位移為零，隔振器無隔振作用，承載質量M與基礎間相當于剛性連接。為使幅頻特性方程（9）恒成立，當A0=0時，必存在

即脫離頻率Ωb與黏性阻尼無量綱系數μ1無關，但其平方與附加支持力無量綱系數μ2成正比。且隨著附加支持力無量綱系數μ2值的增大，系統的不穩定區間向高頻大振幅方向收縮，不穩定區間范圍變小。

如圖6（a）-（d）所示為小位移條件下，非線性剛度三次項無量綱系數α2對系統幅頻特性曲線與穩定區間的影響，其中選取參數：μ1=0.2，μ2=0.05。由圖可以看出，隨著非線性剛度三次項無量綱系數α2的增大，系統幅頻特性曲線中的共振區間逐漸變寬，共振峰值逐漸變大且向高頻方向移動，當系數α2足夠大時，系統出現跳躍現象。其上跳躍點（D點）與下跳躍點（B點）皆隨系數α2的增大逐漸向高頻方向移動。故非線性剛度三次項無量綱系數α2不宜選取過大，否則會加劇系統的共振現象與共振頻寬，不利于設備的振動防護。

圖6 小位移條件下非線性剛度三次項無量綱系數α2對幅頻特性曲線與穩定區間的影響Fig.6 The influence of dimensionless coefficient of cubic term of nonlinear stiffness α2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

3.2 大位移條件下的受迫振動

隨著軸向運動距離的增大，系統中由Coulomb阻尼所引起的附加支持力ΔFn也隨之增大，為探究較大的附加支持力無量綱系數μ2對系統振動特性以及振動穩定性的影響；同樣，首先選取非線性剛度三次項無量綱系數α2=0.2、黏性阻尼無量綱系數μ1=0，如圖7（a）-（d）所示，分別為附加支持力無量綱系數μ2為0.1，0.5，1.3以及1.5求解得到的幅頻特性曲線與穩定區間圖。

如圖7所示，由式（21）可知系統的脫離頻率Ωb會隨著附加支持力無量綱系數μ2的增大而逐漸向高頻方向移動，其自鎖區間的頻寬會逐漸增大，當其值持續增大到如圖7（c）所示的位置時，系統發生了較為異常的跳躍現象，即當基礎的激勵頻率持續增大至H點對應頻率時，系統相對位移的振幅A0發生一次階躍增大現象，由H點直接跳躍至E點后，再沿穩定共振分支EA方向繼續增大至共振下跳躍點B，最后通過下跳躍點B，跳躍回穩定分支DC段，此時系統共振階段結束；而當基礎的激勵頻率由大持續減小時，系統相對位移的振幅A0隨激勵頻率減小至D點時，產生階躍現象，振幅A0的值由D點直接躍升至A點后，沿穩定共振分支行至F處，產生第二次階躍現象，由F點向下跳躍至G點，結束共振階段。當繼續增大附加支持力無量綱系數μ2的值，使其G點與脫離頻率點Ωb重合，系統的幅頻特性曲線呈現出如圖7（d）的形式，該狀態下，雖然系統仍然存在穩定的共振分支，但不再發生跳躍現象［22］，即激勵頻率達到系統脫離頻率后，振幅A0按照較低的分支進行振動，此時系統不會發生或僅發生極其微弱的共振現象。

圖7 大位移條件下附加支持力無量綱系數μ2對幅頻特性曲線與穩定區間的影響Fig.7 The influence of dimensionless coefficient of additional supporting force μ2 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

為進一步研究黏性阻尼無量綱系數μ1對該隔振系統幅頻特性曲線與穩定區間的影響，選取非線性剛度三次項無量綱系數α2=0.2，并按表1中相關參數進行計算。

表1 相關計算參數Tab.1 Related parameters

如圖8（a）-（d）所示，分別為表1中對應的參數計算得到的幅頻特性曲線與穩定區間。由圖8（a）可以很明顯地觀察到，僅當黏性阻尼無量綱系數μ1較小時，系統的幅頻特性曲線隨系數μ2的增大而出現異常跳躍情況與不向穩定共振分支跳躍的微共振或無共振情況。且出現這兩種情況所需的μ2值會隨著μ1的增大而逐漸減小，而其不穩定區間同樣會隨著系統參數μ2的增大向高頻方向回縮；當黏性阻尼無量綱系數μ1繼續增大時，由于其不穩定區間向高頻回縮，此時系統不再發生異常跳躍情況，如圖8（b）所示，但在該狀態下，系統最終還會出現不向穩定共振分支跳躍的微共振或無共振情況；當黏性阻尼無量綱系數μ1繼續增大時，如圖8（c）-（d）所示，由于系統的共振峰值點會隨著阻尼的持續增大而不再與不穩定區間有交集，此后系統將不再發生跳躍現象。

圖8 大位移條件下黏性阻尼系數μ1對幅頻特性曲線與穩定區間的影響Fig.8 The influence of viscous damping coefficient μ1 on the amplitude frequency characteristic curve and the stable region

4 隔振器定頻試驗及其結果分析

為驗證上述計算規律的正確性，對含有多組對合碟簧單元的隔振單元樣機進行如下定頻試驗并與計算數據進行對比。其中：碟簧片幾何參數選取為：t=0.5 mm，D=28 mm，d=10 mm，H0=1.15 mm，h0=0.7 mm；對合碟簧組個數為25組、預緊力為40 N。

在定頻試驗前，為準確得到碟簧隔振單元樣機的固有頻率，首先對該隔振器在其額定承載質量4.6 kg條件下的自由衰減振動的相對位移與絕對加速度信號進行測量，并對測量得到的時域曲線進行傅里葉變換。如圖9所示為自由振動條件下碟簧隔振單元經位移以及加速度時域信號得到的FFT譜圖。

圖9 碟簧隔振單元自由振動條件下的FFT譜Fig.9 FFT spectrum of disc spring vibration isolation unit under free vibration condition

由相對位移與絕對加速度的FFT譜可知，系統固有頻率取8.58 Hz為宜。基于此，展開定頻試驗，其定頻試驗的測試頻率區間為：2-40 Hz，其中2-20 Hz頻 率 段，每2 Hz選取一個采 樣 點；20-40 Hz頻率段，每10 Hz選取一采樣點。為保證定頻試驗得到測量數據的穩定與準確性，每組定頻試驗的振動持續時間設為1 min。如圖10所示為對合碟簧隔振單元樣機定頻試驗圖。

圖10 對合碟簧隔振單元樣機定頻試驗Fig.10 Fixed frequency test of prototype of vibration isolation unit with opposed disc spring

圖10中振動試驗臺上放置有B&K4384壓電式加速度傳感器，用以監控實驗臺的振動情況。振動試驗臺由ECON公司生產的液壓振動試驗機，其最大推力為100 kN，振動頻率范圍為0.1-200 Hz。采用ECON公司生產的MI7016型16通道數據采集儀進行數據采集，采用MTS公司生產的CS系列磁致非接觸型位移傳感器對配重與試驗臺面間的相對位移時域信號進行測量，試驗臺面的絕對位移時域信號由振動試驗臺本身的位移傳感器提供。如圖11所示，分別為不同激勵頻率條件下，激勵的絕對位移時域曲線與隔振系統響應的相對位移曲線（此處僅給出典型位移的時域曲線）。

圖11中由于激勵的絕對位移時域曲線是由振動試驗臺內部位移傳感器測量并提供，響應的相對位移時域曲線由MI7016型數據采集儀提供，而本試驗主要關注的是位移幅值，因此為簡化數據處理過程，圖中不包含以上兩個位移時域曲線的相位信息。基于以上定頻試驗的試驗數據與隔振單元本身固有頻率信息，可得隔振系統的幅頻特性曲線如圖12所示。

圖11 激勵的絕對位移與響應的相對位移時域曲線Fig.11 Time domain curve of absolute displacement of excitation and relative displacement of response

由圖12（a）的試驗幅頻特性響應曲線與理論幅頻特性響應曲線對比可知，兩者吻合較好；圖12（b）中，為了界定隔振區間，選取絕對位移傳遞率作為其判定條件，并以dB為單位的絕對位移傳遞率系數進行表征，現定義絕對位移傳遞率Td為：配重的絕對位移最大值與振動試驗臺引起激勵的絕對位移最大值之比，則絕對位移傳遞率系數T′d可表達為

由此可知，在上述參數條件下，碟簧隔振系統在全頻域內存在三種振動狀態區間，即：當激振頻率小于2.8 Hz時，系統處于自鎖狀態，此時碟簧隔振單元表現為剛性支撐狀態，振動被完整的傳遞；當激振頻率介于2.8-14.5 Hz之間時，系統處于共振放大區，此時碟簧隔振系統對基礎傳遞的振動起到放大作用；而當激振頻率高于14.5 Hz以后，系統進入隔振區間，此區間內碟簧隔振系統發揮隔振作用，且隨著激勵頻率地進一步增大，系統隔振效果越理想。試驗結果與理論計算得到的規律相吻合。

5 結論

（1）建立了一種考慮邊界摩擦條件下的對合碟簧隔振單元，求解得到了其幅頻特性方程與其解的振動穩定性區間，并發現幅頻特性方程與其解的穩定區間僅與非線性剛度三次項無量綱系數α2、黏性阻尼無量綱系數μ1以及附加支持力無量綱系數μ2相關，與非線性剛度二次項無量綱系數α1無關。

（2）該對合碟簧隔振單元存在一個脫離頻率Ωb，其值與系統的黏性阻尼無量綱系數μ1無關，但其平方與系統的附加支持力無量綱系數μ2成正比。且選取過大的非線性剛度三次項無量綱系數α2對改善隔振并無益處。

（3）當系統中黏性阻尼無量綱系數μ1值很小時，隨著附加支持力無量綱系數μ2值由小增大，隔振系統會分別進入異常跳躍狀態與不向穩定共振分支跳躍的微共振或無共振狀態。而增大μ1值，會使系統到達異常跳躍狀態與不向穩定共振分支跳躍的微共振或無共振狀態所需的μ2值變小。

（4）系統中黏性阻尼無量綱系數μ1與附加支持力無量綱系數μ2的增大，會導致系統解的不穩定空間向高頻與自身內部方向回縮，使得上跳躍點向低頻、高振幅方向移動。

（5）基礎激勵條件下，理論計算與試驗均表明隨激振頻率的增大，該對合碟簧隔振單元存在三種振動傳遞狀態，即：等值傳遞、振動放大以及振動隔離，且激振頻率越高，系統的隔振效果越顯著。