基礎振動作用下轉子-軸承-密封系統動力學分析

張恩杰，焦映厚，陳照波，武祥林，張 賽，王治易

（1.上海宇航系統工程研究所，上海201109；2.哈爾濱工業大學機電工程學院，黑龍江 哈爾濱150001）

引言

船舶汽輪機安裝在易變形的船體基座上，受風浪或爆炸沖擊等作用的影響，基礎振動易由軸承傳遞至軸徑，給轉子系統的安全穩定運行帶來隱患。而狹窄間隙中的高溫高壓流體，作為汽輪機轉子系統的主要激勵源，對轉子系統的非線性動力學特性影響顯著。多年來，科研人員對基礎振動或密封流體激振的轉子系統開展了大量研究。Duchemin等［1］、Driot等［2］分析了基礎振動頻率對簡支轉子系統的穩定性和動態特性的影響規律。Ying等［3］建立了渦輪增壓器轉子系統的集總參數模型，分析了經由軸承油膜傳遞至轉子的發動機激勵對系統非線性動力學特性的影響。EI-Saeidy等［4］分析了線彈性軸承和非線性軸承支承的轉子系統在基礎振動影響下的頻響特性，研究指出應以軸徑而非輪盤的響應幅值作為系統振動的評價參數。Dakel等［5］基于Timoshenko梁理論建立了基礎運動的轉子系統的動力學模型，采用解析法和數值法分析了轉軸/輪盤的結構不對稱和基礎的轉動對系統穩定性的影響。Zhang等［6］分析了基礎俯仰和滾轉運動時的轉子-軸承系統的非線性動力學特性及穩定性，Han等［7］研究了基礎時變振動影響下的裂紋轉子-軸承系統的動態響應。此外，一些學者還對受地震激勵、隨機沖擊載荷作用的轉子系統的動力學響應開展了相關研究［8-11］。在密封流體激振影響方面，科研人員也進行了深入研究。其中，Muszynska所提出的非線性密封力模型［12-13］被廣泛應用于轉子-密封系統的動力學特 性 分 析 和 穩 定 性 分 析［14-18］中。Wang等［19-20］和Zhang等［21］則基于攝動法、控制體理論及Muszynska模型提出了更適用于迷宮密封的流體激振力模型，并對轉子-軸承-密封系統進行了動力學特性分析及穩定性評估。

目前在對基礎振動的轉子系統進行動力學或振動特性分析時，并未考慮密封流體激勵的影響。已有研究雖能為轉子系統的動力學設計、振動分析或故障診斷提供參考，但是對于多激勵因素共同作用的船舶汽輪機轉子系統，只有在建立其動力學模型時盡可能全面地將各關鍵影響因素考慮在內，才能給出更為準確可靠的結果。鑒于此，本文以船舶汽輪機為應用對象，計入密封流體、軸承油膜及不平衡量的影響，建立基礎振動的轉子系統的動力學模型，分析基礎振動對系統非線性動力學特性的影響。

1 基礎振動的轉子系統動力學模型

對于基礎振動的轉子系統（如圖1所示），為方便其動力學模型的構建及動態特性的分析，引入以下兩個坐標系：1）全局坐標系Fg，其原點為Og；2）固定于轉子系統基礎上的運動坐標系Fb，其原點為Ob。則坐標系Fb與Fg之間存在以下關系

圖1 基礎振動的轉子系統Fig.1 Rotor system excited by base vibration

式中正交矩陣Tbg=Rβ Rα Rγ；γ，α和β為慣性坐標系Fg轉換到與非慣性坐標系Fb相平行的位置所依次轉過的歐拉角（如圖2所示），這三者可分別用于表示基礎的滾轉、俯仰和偏航運動的角位移；Rα，Rβ和Rγ分別為α，β和γ的函數關系的矩陣表示。

圖2 坐標系的轉換Fig.2 Transformation of coordinate systems

則在全局坐標系Fg中，輪盤中心的絕對速度可表示為

式中(OgOb)Fg為向量OgOb在Fg中的表示；(ObOd)Fb=(Ob A)Fb+{Xd Yd ld}T，(Ob A)Fb為左軸承中心A在Fb中 的 位 置 向 量，Xd，Yd和ld分 別為輪盤中心沿Xb和Yb軸的位移及其到左軸承中心的距離為Fb相對于Fg的轉速，表示如下

輪盤的偏心集中質量位于點nub處，其絕對速度的表達式為

式中rub和ηub分別為不平衡質量mub的偏心距和偏心角；ω為轉子轉速。

受基礎振動作用的轉子系統的動能、勢能及耗散勢能的表達式如下

式中mLB，mRB和md分別為左、右軸徑和輪盤的集中質量；(VLB)Fg和(VRB)Fg分別為左、右軸徑的絕對速度，表達式與（2）相似；QdLB和QdRB分別為左右軸徑的狀態向量，KSL和CSL分別為左軸段的剛度和阻尼；KSR和CSR分別為右軸段的剛度和阻尼；DYLB g，DYRB g和DYd g分別為左、右軸徑和輪盤在Fg中的絕對豎坐標。

依據Lagrange方法，結合以上各式，可得基礎振動的轉子-軸承-密封系統的動力學方程為

式中msy和Qsy分別為系統的質量矩陣和狀態向量；Csy1和Csy2為系統 的阻尼矩 陣；Ksy1和Ksy2為 系統的剛度矩陣；cf1，cf2和cf3分別為由基礎的轉動、平動及二者的耦合作用引起的系數矩陣；cf4為與基礎轉動有關的重力系數矩陣；cf5為由基礎和轉子轉動引起的不平衡系數矩陣；Fw為作用于轉子的外力矩陣，表示如下

式中FLB□，FRB□和Fd□分別為作用于左、右軸徑的非線性油膜力和作用于密封輪盤的非線性流體激振力［21］。

為便于計算分析，對式（6）進行無量綱化處理，可得

式中hB和Cr分別為滑動軸承間隙和迷宮密封間隙；Nt為密封齒數。

2 基礎振動的轉子系統動力學特性分析

2.1 基礎振動對轉子系統動力學特性的影響

采用Newton-Raphson法求得密封齒腔內介質壓力與泄漏量，應用Gauss-Jordan法及數值積分獲取齒腔內密封力，并結合Muszynska模型得到迷宮密封整體的非線性流體作用力［21］，同時根據Capone模型計算滑動軸承油膜力［22］，進而采用Runge-Kutta法求解轉子系統動力學方程，對比分析基礎振動對系統動態特性的影響。轉子、軸承及迷宮密封的結構參數如表1所示。

表1 轉子-軸承-迷宮密封系統的結構參數Tab.1 Structure parameters of rotor-bearing-labyrinth seal system

基礎無振動時，在不平衡量、軸承油膜和密封流體的激勵作用下，置于轉子跨中的密封輪盤的振動頻譜及運動分岔特征如圖3所示。轉速ω在500-9250 r/min的范圍內，系統振動主要由轉子不平衡誘發，瀑布圖中以工頻fr為主，其他頻率特征不明顯；分岔圖中每一轉速下的Poincaré映射點重合，顯示為僅有一個點；頻譜及分岔特征表明，轉子系統在該轉速范圍內以單周期形式運動。ω由9250 r/min增大至12750 r/min時，流體激振頻率fwl隨 之 由69.4 Hz增 大 至96.7 Hz，fwl≈0.45fr；在 此 轉速域內，滑動軸承和迷宮密封的狹窄間隙內的流體激振作用增強，系統動態響應的非線性特征顯著，分岔圖中每一轉速下都存在多個互不重合的映射點，系統表現為概周期運動。隨著轉速的繼續增加（12750 r/min＜ω＜15000 r/min），工頻fr的幅值依然很小，幅值最大的自激振動頻率fwp在[96.7，97.5]Hz的范圍內做微小變化，該鎖頻現象歸類為流體振蕩［23］。

圖3 無基礎振動時轉子-軸承-密封系統的動力學響應Fig.3 Dynamic responses of rotor-bearing-seal system without base excitation

為更直觀地了解系統的振動情況，以振動烈度來表征轉子的振動。振動烈度的定義為

式中Vi(i=0，1，???，K-1)為振動速度離散信號。由 圖4可 知，流 體 渦 動 發 生 之 前（ω＜9250 r/min），不平衡量、軸承油膜和密封介質的激勵作用使得振動能量在軸徑和輪盤處非同步地積累和耗散，右軸徑和密封輪盤的橫向振動烈度在2750，4000和8500 r/min時交替出現極大值，但其值均小于18 mm/s。出現流體渦動時，系統振動極速增強，軸徑及輪盤在各自的X和Y方向上的振動烈度基本相等，密封輪盤的振動比軸徑更為劇烈。流體振蕩發生后，系統的振動烈度維持在很高的水平，隨轉速變化的幅度較小。需要指出的是，左右軸徑的頻譜特征、分岔特性及振動情況均一致。

圖4 無基礎振動時轉子-軸承-密封系統的振動烈度Fig.4 Vibration intensity of rotor-bearing-seal system without base excitation

受 到 基 礎 俯 仰 振 動（α=α0cosωbt，α0=0.1°，ωb=20 Hz）作用時，轉子系統的動力學響應如圖5所示。轉速很小時，系統即發生失穩，頻譜圖中基礎振動頻率fwb及其N倍頻（Nfwb）的幅值均大于工頻幅值，分岔圖中每一轉速下均有多個映射點，系統呈概周期運動。基礎的俯仰振動向系統持續輸入能量，對比圖6和圖4可知，其使得同一轉子系統的橫向振動烈度增大，系統振動顯著增強。隨著轉速的增加，系統在X方向上的振動烈度逐漸增大，Y方向上的則一直保持在較大的水平，均大于23 mm/s，且轉軸上密封輪盤Y方向的振動最為劇烈。由于基礎振動的存在，系統發生流體渦動的轉速門檻值由9250 r/min降低至8250 r/min。渦動頻率fwl出現時，基礎振動頻率及其N倍頻分量的幅值快速減小或消失，fwl成為主振動頻率；與無基礎振動時相似，系統的振動烈度快速增大；這表明流體自激振動的影響逐漸大于基礎振動作用，成為主激振因素。流體渦動發生后，系統的Vrms-ω變化趨勢與無基礎振動時的一致。對比圖5（a）和圖3（a）可知，不考慮基礎振動時，系統發生流體振蕩的轉速門檻值為12750 r/min，此時流體振蕩頻率與工頻之比（fwp fr）為0.455。fwp fr與流體平均環流比正相關，流體平均環流比與失穩轉速負相關。由于流體平均環流比的增加，考慮基礎振動后，系統失穩轉速降低，發生流體振蕩的轉速門檻值減小至12000 r/min（fwp fr=0.49）。

圖5 基礎振動時轉子-軸承-密封系統的動力學響應Fig.5 Dynamic responses of rotor-bearing-seal system subjected to base excitation

圖6 基礎振動時轉子-軸承-密封系統的振動烈度Fig.6 Vibration intensity of rotor-bearing-seal system subjected to base excitation

2.2 基礎振動頻率對轉子系統動力學特性的影響

將基礎俯仰振動幅值α0及轉子轉速ω分別保持在0.1°和4000 r/min，僅改變俯仰振動頻率ωb，計算得到轉子系統的動力學響應如圖7所示。當ωb≤12 Hz時，fwb（=ωb）的幅值略小于工頻幅值，軸徑及輪盤的各向振動烈度均較小（≤7.1 mm/s），系統運轉平穩。隨著ωb的增加，主振動頻率fwb（=ωb）的幅值整體呈線性增大趨勢，其N倍頻（2fwb，3fwb，4fwb）的幅值大于工頻幅值；輪盤在不平衡量及密封流體的激勵下，對基礎俯仰振動最敏感，其Y向振動最劇烈，振動烈度由ωb=12 Hz時的7.1 mm/s快速增大至ωb=100 Hz時的245.7 mm/s，振動情況嚴重惡化。軸徑的Y向振動烈度次之，其在接近ωb=28 Hz的過程中增速減緩，后隨ωb的增加快速增大。ωb≥28 Hz時，輪盤X向的Vrms先增大后減小，并于ωb≥76 Hz時逐漸趨于定值。由圖8（a）可以發現，在基礎俯仰振動頻率ωb增加的過程中，輪盤軸心軌跡由橢圓形歷經“8”字形逐漸演變為長邊在Y向排列、短邊為U形的環形。對比圖8（a）和圖8（b）可知，受基礎偏航振動（β=β0cosωbt，β0=0.1°，ω=4000 r/min）影響時，輪盤軸心軌跡恰似將基礎俯仰振動時的輪盤軸心軌跡翻轉了90°。特別需要指出的是，基礎偏航振動時，系統在X和Y向的動力學特性、振動烈度變化特征分別與受俯仰振動影響時轉子在Y和X向的動力學特性、振動烈度變化特征相似，因篇幅限制，此處不再展示。

圖7 基礎俯仰振動頻率變化時轉子系統的動力學響應Fig.7 Dynamic responses of the rotor system for pitching base excitation with variable base frequency

圖8 基礎俯仰振動和偏航振動時的轉子軸心軌跡Fig.8 Trajectories of rotor system subjected to pitching excitation and yawing excitation of base

將基礎滾轉振動幅值γ0和轉子轉速ω分別保持在0.1°和4000 r/min不變，僅改變滾轉振動頻率ωb，求解可得轉子系統的動態響應如圖9所示。滾轉振動頻率較小（ωb≤18 Hz）時，系統的振動烈度小于8.7 mm/s，轉子振動幅值很小（圖9（b））。由于基礎滾轉振動對系統X和Y方向的激勵作用基本相同，隨著ωb的增加，系統各向的振動烈度均增大，轉子軸心軌跡也由關于Y軸對稱的近似“V”形或三角形逐漸演變為較為規則的四邊形。由以上可知，基礎旋轉振動對轉子系統動力學響應的影響具有明確的方向性，基礎俯仰和偏航振動的影響分別體現在Y和X方向，滾轉振動對X和Y方向上的影響則基本相同。

圖9 基礎滾轉振動頻率變化時轉子系統的動力學響應Fig.9 Dynamic responses of rotor system for rolling base excitation with variable base frequency

分別將基礎豎直方向振動幅值Yb0和轉子轉速ω保持在10 μm和4000 r/min不變，隨基礎振動頻率ωv變化的系統動力學響應的頻譜特性及振動特征如圖10所示。轉子工頻幅值全程保持在較大的水平，頻率分量fωv（=ωv）則隨ωv的增加先增大，并于ωv=60 Hz時達到最大值后逐漸減小。此外，頻譜圖中還存在工頻與基礎振動頻率的組合頻率分量|fr-fωv|，fr+fωv，|2fr-fωv|。該 激 勵 條 件 下，由 于基礎振動主要作用在轉子豎直方向上，轉子Y方向的振動烈度大于其X方向的。ωv較小時，轉子X和Y方向的振動烈度分別保持在3.15 mm/s和8 mm/s左右；隨著ωv的增加，轉子水平方向的在ωv=40 Hz和103 Hz時分別出現最大值和極大值，豎直方向上則于ωv=60 Hz和130 Hz時出現最大值和極大值。

圖10 基礎豎直方向振動頻率變化時轉子系統的動力學響應Fig.10 Dynamic responses of rotor system for vertical base excitation with variable base frequency

2.3 基礎振動幅值對轉子系統動力學特性的影響

對同一轉子系統，將基礎俯仰振動頻率ωb固定在10 Hz，分 別 在 轉 子 轉 速ω=4000 r/min和6000 r/min的條件下，分析基礎俯仰振動幅值α0對系統動力學特性的影響。如圖11所示，系統豎直方向的振動最為劇烈；隨著α0由0°增大至30°，轉速ω=4000 r/min時轉子Y方向的振動烈度由8.03 mm/s快速增大至68.99 mm/s，ω=6000 r/min時曲線的變化趨勢與之高度相似；α0取值相同的條件下，轉速變化對豎直方向振動強度的影響很小。水平方向上，在轉速ω=4000 r/min的條件下，振動烈度先由α0=0°時的3.02 mm/s快速增至α0=6°時的14.21 mm/s，之后隨著α0的增加緩慢 減 小 至α0=30°時 的10.83 mm/s。在ω=6000 r/min時曲 線 的 變 化 趨 勢 雖 與ω=4000 r/min時 的 相 似在α0較 小 時 的 增 長 率 卻更大，在α0=3°時增至最大值；另外，α0相同取值條件下，水平方向的振動隨轉速的增加也有所增強。

圖11 基礎俯仰振動幅值變化時轉子系統的振動烈度Fig.11 Intensity of vibration of the rotor system for pitching base excitation with variable amplitude of base excitation

由2.2節可知，基礎角振動對轉子系統動力學響應的影響具有明確的方向性。對比圖12和11可知，基礎偏航振動條件下，外源激勵作用于X方向，轉子系統在水平和豎直方向的振動烈度變化趨勢分別與基礎俯仰振動時轉子系統在豎直和水平方向上的一致；此外，在角振動幅值和轉速分別取值相等的情況下，受轉子自重影響，基礎偏航振動的轉子系統的小于基礎俯仰振動的轉子系統的基礎偏航振動的轉子系統的則大于基礎俯仰振動的轉子系統的

圖12 基礎偏航振動幅值變化時轉子系統的振動烈度Fig.12 Intensity of vibration of the rotor system for yawing base excitation with variable amplitude of base excitation

由以上可知，系統受到基礎某橫向方向上角振動影響時，該方向的振動烈度隨角振動幅值的增加而增大，在相同角振動幅值條件下，轉速的增加對該向振動烈度的影響較小；但在與之垂直的另一橫向方向上，振動烈度隨角振動幅值的增加先增大后減小，轉速的增加使得該向振動烈度增大。產生以上現象的根本原因，是由于系統動力學方程（6）的系數矩陣中出現了耦合項。

在頻率較低（ωb=10 Hz）的基礎滾轉振動作用下，轉子系統水平方向上的振動強于豎直方向（圖13和圖9（a））。隨著滾轉振動幅值γ0的增加，系統在水平方向的振動烈度VXrms先增大后減小；豎直方向上，γ0較小時VYrms的增速較快，其在γ0=7°-8°時達到最大值，隨后VYrms逐漸減小，并在γ0=18°-20°時減至極小值，之后隨γ0的增大略有增加。γ0取值相同時，轉速的增加對水平方向振動烈度的影響較小，豎直方向上系統的振動則有所增強。

圖13 基礎滾轉振動幅值變化時轉子系統的振動烈度Fig.13 Intensity of vibration of the rotor system for rolling base excitation with variable amplitude of base excitation

3 結論

本文考慮不平衡質量、軸承油膜和密封介質的共同激勵作用，建立了基礎振動的轉子系統的動力學模型，對比分析了基礎振動對系統非線性動力學特性的影響，并研究了四種形式的基礎振動對轉子軸心軌跡、頻譜特性及振動特征的影響。結果表明：

（1）基礎振動使得系統在轉速很低時即發生失穩，流體渦動及振蕩的門檻值減小，系統的振動增強。

（2）基礎旋轉振動對轉子系統動力學響應的影響具有明確的方向性，基礎俯仰和偏航振動的影響分別體現在豎直和水平方向上，滾轉振動在各方向上的影響則基本相同。

（3）基礎振動頻率較小時，轉子的振動較為平緩；基礎振動頻率大于一定值后，系統振動隨基礎振動頻率的增加而快速增強；基礎旋轉振動幅值較小時，轉子系統的振動隨旋轉振動幅值的增加而快速惡化。

（4）豎直方向上的基礎振動對轉子該方向的振動烈度影響顯著，系統在水平和豎直方向的振動響應變化特征并不同步。