光電經緯儀坐標系統(tǒng)一方法研究

張逸飛，馮 燦，夏偉東

(中國商用飛機試飛中心，上海 200120)

作為一種大范圍、遠距離的自動跟蹤光電測量儀器，光電經緯儀在國產民機試飛測試中發(fā)揮著重要作用，被廣泛應用于飛機最小離地速度測量、最大商載動著陸、濺水試驗等重要試飛科目中，為試驗提供目標位置、速度和姿態(tài)測量手段。

光電經緯儀測量能力強大，功能豐富。在測量方面，可以提供高精度的空間位置、速度、姿態(tài)結果；在跟蹤功能方面，具備多種跟蹤模式，包括可視化自動跟蹤和GPS引導跟蹤。其中，GPS引導跟蹤是一種利用飛機的實時GPS位置，進行超視距引導的一種跟蹤模式，在多云天氣下可以輔助快速捕獲飛機目標，進而擴展測量范圍。

根據(jù)光電經緯儀的測量和跟蹤原理，如果將經緯儀測量結果和GPS測量結果相比對，需要將兩種測量系統(tǒng)的測量坐標系相統(tǒng)一；同樣的，如果使用GPS引導跟蹤功能，也需要統(tǒng)一兩種測量坐標系。因此，完成坐標系統(tǒng)一工作，是光電經緯儀正常工作的前提條件。

目前國內外專門進行坐標系統(tǒng)一方法研究的成果不多，主要原因在于大多數(shù)光電經緯儀建設屬于固定式經緯儀，在建設經緯儀之初，可以通過良好的機械加工，以實現(xiàn)明確的坐標系轉換關系，不需要特殊方法來實現(xiàn)坐標系統(tǒng)一。

在部分移動式的光電經緯儀系統(tǒng)中，國內外常用的坐標系統(tǒng)一方法[1-5]是：首先將光電經緯儀調平，并獲取其經緯儀坐標系X軸相對GPS坐標系北向的夾角；而后測量經緯儀坐標系原點在GPS坐標系下的經緯度坐標，以及地心空間直角坐標系的坐標；最后根據(jù)經緯儀的大地經緯度和真北向夾角，依據(jù)剛體旋轉公式來計算旋轉矩陣，獲取兩坐標系統(tǒng)一的變換公式。

但此方法嚴重依賴光電經緯儀的調平，在嚴苛的工作環(huán)境下，如在傾斜較大的路面上布設經緯儀，或者經緯儀的調平系統(tǒng)無法正常工作時，該方法就無法進行有效的坐標系統(tǒng)一。為了解決這一問題，有研究人員通過[6]借助基于雙光柵干涉產生莫爾條紋測量扭轉角的方法對經緯儀姿態(tài)進行位置測量，但該系統(tǒng)較為復雜；還有部分艦載光電經緯儀[7-8]方面的研究，也遇到船艦平臺無法調平的問題，他們通過在光電經緯儀基座上加裝環(huán)境姿態(tài)測量系統(tǒng)，該系統(tǒng)采用GPS與慣導組合方式，實時獲取經緯儀底座的位置和艦載平臺的姿態(tài)，進而實現(xiàn)坐標系的統(tǒng)一。

為了解決經緯儀必須調平的問題，也提出了兩種方法，分別是直接轉換法和場地標定法。其中直接轉換法采用加裝慣導系統(tǒng)的方法，對經緯儀與GPS坐標系的姿態(tài)進行測量，具有不依賴調平精度和快速轉換的特點，但增加了系統(tǒng)成本；場地標定法不增加系統(tǒng)構成，通過在經緯儀測量場內布設一系列標志點，并對標志點進行瞄準記錄，繼而計算坐標系轉換關系，該方法兼具不依賴調平精度、快速轉換和低成本的特點。在實際工作中，可根據(jù)具體需要進行方法選擇。

1 坐標系基礎定義

光電經緯儀坐標系以其主要部件——二維轉臺的軸系為基準而建立。二維轉臺是光電經緯儀的機械加工基準，具有方位轉軸和俯仰轉軸，可以帶動光學設備進行方位旋轉和俯仰旋轉。坐標系原點設置在二維轉臺的兩旋轉軸交點，Zb軸與方位轉軸重合，并指向天向，Xb軸位于方位轉軸垂直的平面，并指向方位碼盤0°方向，Yb軸與Zb軸、Xb軸垂直構成右手坐標系。

GPS系統(tǒng)所依賴的直角坐標系稱為WGS-84坐標系，如圖1所示，該坐標系是一種國際上采用的地心坐標系。坐標原點為地球質心，Zo軸指向BIH(國際時間服務機構)1984.0定義的協(xié)議地球極(CTP)方向，Xo軸指向BIH 1984.0的零子午面和CTP赤道的交點，Yo軸與Zo軸、Xo軸垂直構成右手坐標系。

圖1 WGS-84坐標系定義

根據(jù)坐標系定義，兩個坐標系都是空間直角坐標系，因此兩個坐標轉換關系可以使用矩陣形式表示，如式1所示，R矩陣表示兩坐標系的旋轉關系，T矩陣表示兩坐標系的平移關系。

坐標系統(tǒng)一的目的就是解算出這樣一組矩陣形式的轉換公式：

Y=R·X+T

(1)

2 直接轉換法

WGS-84地心坐標系是與地球固聯(lián)的坐標系，而光電經緯儀坐標系是局部坐標系，兩坐標系之間的軸系角度關系無法直接測量，無法直接推導出旋轉矩陣。因此采用站心坐標系作為中間坐標系，分別獲取光電經緯儀坐標系到站心坐標系的轉換關系和站心坐標系到WGS-84坐標系的轉換關系，最后聯(lián)立得到光電經緯儀坐標系到WGS-84坐標系轉換矩陣公式。

這里，采用東北天坐標系(ENU坐標系)作為站心坐標系。ENU坐標系原點設置在光電經緯儀坐標系的原點位置上，Yg軸指向地理北極方向，Zg軸垂直地面指向天向，Xg軸與Zg軸和Yg軸垂直構成右手坐標系。

建立光電經緯儀坐標系和ENU坐標系的轉換關系，需要獲取兩坐標系軸系的三軸歐拉角。可以通過在光電經緯儀轉臺基座上加裝慣性導航系統(tǒng)，獲得光電經緯儀姿態(tài)參數(shù)，該組姿態(tài)參數(shù)便是三軸歐拉角，3個軸的角度可以用偏航角ψ、俯仰角θ、滾轉角φ定義。將三軸歐拉角帶入到光電經緯儀坐標系到ENU坐標系的旋轉矩陣Rbg中，將光電經緯儀坐標系統(tǒng)一到ENU坐標系下。光電經緯儀坐標系到ENU坐標系旋轉矩陣可以按XYZ順序，即先沿Xb軸做滾轉運動，再沿Yb軸做俯仰運動，最后沿Zb軸做偏航運動，兩個坐標系就可以完全重合。轉換關系可以用式(2)表示:

(2)

其中，

Rbg=

(3)

其中，

(4)

式中，a為地球橢球長半軸長度，b為地球橢球短半軸長度。

(5)

分別獲取兩個坐標系和中間坐標系的轉換關系后，便可以將式(2)、式(5)聯(lián)立，獲得最終的轉換關系表達式：

(6)

從以上推導過程可以看出，該方法不依賴精密調平，可以在任意環(huán)境下，快速給出坐標系轉換關系，但缺點是加裝慣性導航系統(tǒng)會給光電經緯儀增加額外的成本。

3 場地標定法

場地標定法是一種不依賴慣性導航系統(tǒng)的坐標系統(tǒng)一方法。該方法對場地內一系列標志點在WGS-84坐標系下的坐標進行標定，而后使用光電經緯儀分別對該系列標志點在經緯儀坐標系的坐標進行測量，進而獲得標志點在兩個坐標系的坐標，最后通過算法對兩個坐標系的轉換矩陣進行解析。

3.1 標志點測量

標志點在兩個坐標系下的測量，分兩步實施。

B=Rbo·A+Tbo

(7)

根據(jù)式(7)，可以看出待求解的未知數(shù)共有9個，而每個標志點可以提供3個方程，因此至少需要3個標志點才能求解方程。但由于標志點的坐標測量存在誤差，為了減小隨機誤差，提高標定精度，則應盡可能增加標志點的數(shù)量。此時，標志點的數(shù)量超過3個，方程數(shù)量大于待求參數(shù)數(shù)量，該方程組變?yōu)槌ǚ匠探M。那么坐標系轉換公式的求解，即轉化為對一組超定方程組的解的計算。

3.2 最小二乘法求解

超定方程組無一般意義上的解，但可以采用最小二乘解作為最優(yōu)解。根據(jù)最小二乘解的一般矩陣形式，可以按式(8)獲得轉換關系公式：

B=RboA+Tbo?

B-Tbo=RboA?

(B-Tbo)AT=RboAAT?

Rbo=(B-Tbo)AT(AAT)-1

(8)

根據(jù)式(8)獲得的Rbo是最小二乘形式下的最優(yōu)解。但需要注意的是，旋轉矩陣[13]是一種行列式為1的正交矩陣，但最小二乘法形式下的最優(yōu)解是無法保證其正交性的。為了保持旋轉矩陣的正交性質，采用第2種求解算法。

3.3 基于SVD的最小二乘算法

奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)是一種自帶酉矩陣約束的奇異值分解算法[14]，廣泛應用在降維算法、推薦系統(tǒng)和自然語言處理等領域。為了保證最小二乘形式下的Rbo依然是正交矩陣，可以采用SVD進行最小二乘求解。

可以證明[15]，最小二乘解可以等效為以下表達式，即求解一個Rbo，使得矩陣(B-Tbo)TRboA跡的值最大化：

(9)

根據(jù)矩陣跡的基本性質有：

tr(AB)=tr(BA)

(10)

那么：

tr((B-Tbo)TRboA)=tr(RboA(B-Tbo)T)

(11)

此時構造H矩陣：

H=A(B-Tbo)T

(12)

然后，對H矩陣進行SVD分解，得到兩個正交矩陣U和VT矩陣和對角矩陣Σ：

H=UΣVT

(13)

則式(11)可以變換為

tr(RboA(B-Tbo)T)=tr(RboH)=tr(RboUΣVT)

=tr(ΣVTRboU)

(14)

(15)

所以欲構造一個最大的tr(ΣM)，需要使得M矩陣的對角值均為1，而M矩陣又是正交矩陣，所以M矩陣為單位矩陣時，tr(ΣM)可以取得最大值，因此：

I=M=VTRboU?V=RboU?Rbo=VUT

(16)

可以根據(jù)式(16)計算得到最終的旋轉矩陣，該方法基于SVD求解最小二乘形式解，可以確保解為正交矩陣。

場地標定法相較于直接轉換法，無需加裝慣導系統(tǒng)，但需要對場地進行一次標定，設置一些均勻分布的場內標志點。如果標志點可以重復使用，當經緯儀在場地內移動布置，仍有一定數(shù)量的場內標志點可以被經緯儀觀測到，那么則無需再次標定，坐標系統(tǒng)一可以快速實現(xiàn)，所需時間和直接轉換法相當。

4 試驗與結論

為了驗證方法是否有效，對一臺光電經緯儀分別采用直接轉換法和場地標定法進行坐標系轉換，最終通過GPS數(shù)據(jù)引導功能是否正常，或反算標志點角度誤差大小來判斷方法有效性。試驗中使用的光電經緯儀具備慣性導航系統(tǒng)，試驗場地為上海浦東機場第四跑道。

4.1 直接轉換法驗證

根據(jù)第2節(jié)中的方法，首先打開光電經緯儀的慣性導航系統(tǒng)，對經緯儀坐標系的姿態(tài)角進行測量，而后再利用差分GPS設備測量經緯儀的原點坐標位置，并根據(jù)式(3)求出坐標系的經緯度，最后按照式(6)求出坐標系轉換矩陣。完成坐標系統(tǒng)一后，使用飛機空地遙測鏈路，將飛機的GPS位置實時發(fā)送至地面接收站，再通過地面光纖數(shù)據(jù)鏈路，將飛機GPS數(shù)據(jù)傳輸至光電經緯儀，激活其GPS數(shù)據(jù)引導功能。

根據(jù)試驗結果，當飛機距離30 km時，通過GPS數(shù)據(jù)引導功能可以實現(xiàn)光電經緯儀對飛機的自動跟蹤拍攝，這說明轉換矩陣精度滿足GPS數(shù)據(jù)引導功能需求，也證明直接轉換法可以有效獲取坐標系轉換矩陣。

4.2 場地標定法驗證

根據(jù)第3節(jié)中場地標定法流程，在具體試驗中，首先對試驗場地——浦東國際機場第四跑道進行標志點選取和標定工作。

如圖2所示，在經緯儀布點四周1 km內選取9個標志點后，用差分GPS系統(tǒng)測量這9個標志點和光電經緯儀原點的GPS坐標，并記錄數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 光電經緯儀原點及9個標志點GPS坐標

此時便得到了GPS坐標系下的標志點坐標序列B，需要注意的是，在光電經緯儀不具備測距單元時，可以根據(jù)各個標志點與光電經緯儀原點的GPS坐標，來輕松求取各標志點到經緯儀的絕對距離。

為了獲取光電經緯儀坐標系下的標志點序列A，需要操作光電經緯儀分別瞄準9個標志點，此時首先測量瞄準各個標志點時對應的方位角和俯仰角數(shù)據(jù)序列，而后結合各標志點到光電經緯儀的距離值，可以得到光電經緯儀球坐標系下的標志點坐標。如表2所示。

表2 光電經緯儀瞄準9個標志點的轉臺角度值

此時，根據(jù)式(17)，便可以將光電經緯儀球坐標系下的坐標轉換為直角坐標系下的坐標，獲得標志點序列A:

(17)

獲得A、B坐標序列后，根據(jù)章節(jié)3中提到的最小二乘法和基于SVD的最小二乘法，分別用這兩種算法求解轉換矩陣Rbo，結果如下:

最小二乘法下，Rbo表達式為

將其作為已知數(shù)，反算方位角和俯仰角的均方根(RMS)誤差，可以得到方位角RMS誤差為0.0087°，俯仰角RMS誤差為0.0416°。

同樣的，使用基于SVD的最小二乘法計算，可得到轉換矩陣Rbo，表達式為

將其作為已知數(shù)，反算方位角和俯仰角的RMS誤差，可以得到方位角RMS誤差為0.0073°，俯仰角RMS誤差為0.0418°。可以驗證，該轉換矩陣為正交矩陣。

從以上結果可以看出，兩種算法計算出的矩陣Rbo表達式結果接近，且反算得到的誤差數(shù)值接近，兩個方向的角度誤差均小于0.05°，但基于SVD的最小二乘形式解進一步滿足正交約束條件，因此其結果更可取。

將上面的旋轉矩陣結果輸入經緯儀控制系統(tǒng)中，激活其GPS數(shù)據(jù)引導跟蹤功能。結果表明，光電經緯儀可根據(jù)飛機的實時GPS遙測數(shù)據(jù)進行自動跟蹤，這進一步驗證了場地標定法的有效性。

5 結束語

針對光電經緯儀傳統(tǒng)坐標系統(tǒng)一方法的使用限制問題，研究了兩種替代方法。在直接轉換法中，設計了中間坐標系以完成WGS-84坐標系和經緯儀坐標系的轉換，并給出了公式推導過程；在場地標定法中，給出場地標志點測量方法和選取原則，并針對超定方程組求解進行了算法分析，給出了基于SVD的最小二乘形式下最優(yōu)解的算法。最終，使用光電經緯儀的GPS引導功能實現(xiàn)了對飛機超視距跟蹤，成功驗證了兩種坐標系統(tǒng)一方法的有效性。尤其是場地標定法，以其不依賴調平精度、低成本和快速實施的特點，可以廣泛應用在需要靈活部站、快速實現(xiàn)坐標系統(tǒng)一的場景中，具有普適性。