淺談齒距差異對榫齒載荷分配的影響

陳劍 康劍雄

（1.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南株洲 412002；2.中小型航空發(fā)動機葉輪機械湖南省重點實驗室，湖南株洲 412002）

0.引言

樅樹形榫頭是當(dāng)前航空發(fā)動機葉片與輪盤之間普遍采用的連接結(jié)構(gòu)形式。通常，樅樹形榫頭包含兩對以上的榫齒，各榫齒之間的載荷分配是否均勻?qū)﹂窘拥膽?yīng)力集中和壽命有重要影響[1-2]。在絕大多數(shù)發(fā)動機型號中，榫頭/榫槽均為等齒距設(shè)計，即在不考慮齒距公差的條件下，各對榫齒理論上是同時接觸的。若將榫頭和榫槽設(shè)計為不同齒距，則會改變各對榫齒接觸的先后順序，導(dǎo)致載荷分配依次向先發(fā)生接觸的榫齒傾斜。楊曉潔[3]針對兩齒榫頭開展了第一對榫齒單側(cè)出現(xiàn)不同間隙時的數(shù)值模擬，其結(jié)果表明：隨著間隙的增大，第一對齒的載荷減輕，第二對齒的載荷加重；榫接的最大應(yīng)力先減小后增加，并且呈線性關(guān)系。王少飛[4]等人研究了三齒榫頭齒距小于榫槽齒距導(dǎo)致第三齒接觸，一、二齒出現(xiàn)間隙時最大接觸應(yīng)力隨間隙大小的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著榫頭/榫槽配合間隙的增加，接觸應(yīng)力呈增大的趨勢，同時最大應(yīng)力點在不同的齒間轉(zhuǎn)移。

本文針對一般性的榫接結(jié)構(gòu)，采用力學(xué)分析模型，通過將離心載荷與溫度場進行分離，著重研究齒距差異與榫頭剛度之間的相互作用，系統(tǒng)性地分析齒距差異對榫齒載荷分配的影響規(guī)律。

1.分析模型

1.1 受力分析

在發(fā)動機真實工作環(huán)境中，榫接的受力包括離心力、氣動力、振動力以及自身的熱應(yīng)力。這些載荷當(dāng)中，離心力居于主導(dǎo)地位。對葉片榫頭而言，伸根及其以上結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的離心力是外拉伸載荷（簡稱外離心力），疊加自身的離心力之后（合稱葉片離心力）以榫齒接觸力的形式傳遞給輪盤榫頭。輪盤榫頭承受葉片離心力，疊加自身的離心力之后（合稱總離心力）傳遞給輪盤。若以葉片榫頭和輪盤榫頭作為控制體，按照力的疊加原理，將榫齒之間的接觸力與榫頭自身的離心力相分離，其結(jié)果如圖1所示。可以看出，榫齒之間的接觸力對葉片榫頭和輪盤榫頭的作用效果相同，其合力均等于葉片離心力；而榫頭自身離心力的作用效果有所區(qū)別，葉片榫頭的離心力使葉片榫頭產(chǎn)生壓應(yīng)力，輪盤榫頭的離心力使輪盤榫頭產(chǎn)生拉應(yīng)力。

圖1 受力分析

1.2 等效剛度模型

通過受力分析，榫頭上的作用力可以分為兩大類：一類為拉伸力和接觸力這樣的面載荷，在構(gòu)建力學(xué)分析模型時可以按集中力對待（如圖2所示，f為葉片離心力，f1和f2分別為第一對榫齒和第二對榫齒接觸力的合力，且滿足關(guān)系式f=f1+f2）；另一類為榫頭自身離心力fb這樣的體載荷。無論是哪一類載荷，都與轉(zhuǎn)速的平方成正比。當(dāng)轉(zhuǎn)速為ω時，f產(chǎn)生的齒距變形量為Δt1=aω2；fb產(chǎn)生的齒距變形量為Δt2=bω2。如果將Δt視作均由f產(chǎn)生，對葉片榫頭而言等效剛度為k1=f/Δt=m/(a+b)；對輪盤榫頭而言等效剛度k2=f/Δt=m/(a-b)，k1、k2均為常數(shù)。考慮到榫頭離心力相對葉片離心力而言是小量，這種近似不會對力學(xué)特征帶來本質(zhì)性影響。根據(jù)該力學(xué)模型，有f1=k2Δt，f2=k1Δt，即

圖2 等效剛度模型

該公式清楚地表明，各榫齒之間的載荷分配本質(zhì)上是由葉片榫頭與輪盤榫頭的剛度匹配關(guān)系決定的。也就是說，只要剛度匹配合理，榫頭/榫槽完全可以采用等齒距設(shè)計。

2.齒距差異影響分析

2.1 兩齒榫頭

若榫頭/榫槽為等齒距設(shè)計，即k1=k2時，第一對榫齒的接觸力f1與第二對榫齒的接觸力f2時刻保持相等，可實現(xiàn)發(fā)動機全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的榫齒均載。當(dāng)k1≠k2，例如k1f2，如圖3所示。此時，第一對榫齒的載荷較大。為了把載荷向第二對榫齒轉(zhuǎn)移，通常采用縮短葉片榫頭齒距的辦法，使第二對榫齒先行接觸。從圖4可以看出，在初始階段，所有的載荷均作用在第二對榫齒上。待第一對榫齒發(fā)生接觸之后，f1和f2再繼續(xù)保持與圖3中各自直線相同的斜率增加。只要齒距調(diào)整合適，就有可能在100%轉(zhuǎn)速時，實現(xiàn)f1=f2=f/2（如圖4中C點）。

圖3 等齒距榫齒載荷分配

圖4 不等齒距榫齒載荷分配

通過上述示例不難發(fā)現(xiàn)，用調(diào)整齒距的方法只能實現(xiàn)在某一個轉(zhuǎn)速條件下的榫齒均載。一旦偏離該轉(zhuǎn)速，榫齒的載荷分配就不再均勻，其不均勻程度與k1和k2的差異相關(guān)，剛度差異越大，載荷分配越不均勻。

2.2 三齒榫頭

借鑒兩齒榫頭的等效剛度建模思路，可以得出三齒榫頭的力學(xué)分析模型，如圖5所示。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，下面只討論葉片榫頭齒距小于等于輪盤榫頭的情形。公式（2）、（3）、（4）中的符號Δ表示力的增量。

圖5 三齒榫接等效剛度模型

（1）當(dāng)三對榫齒均接觸時，有

（2）當(dāng)?shù)谝粚﹂君X脫開，第二、第三對榫齒接觸時，有

（3）當(dāng)?shù)诙﹂君X脫開，第一、第三對榫齒接觸時，有

下面，我們通過一個示例來說明如何運用作圖法求解榫頭/榫槽齒距的調(diào)整量。假設(shè)有一個等齒距設(shè)計但載荷分配不均的榫接，f1、f2、f3分別如圖6中線條0G、0D、0E所示。為了不使線條過多導(dǎo)致圖形凌亂，假設(shè)在D點有f1=f2=f3=f/3。由公式（2）可知，當(dāng)三齒均接觸時，載荷分配滿足恒定的比例關(guān)系。因此，過D點做兩條直線CD和AD分別平行于0G和0E。CD線與橫坐標(biāo)軸交于點C，即表明當(dāng)轉(zhuǎn)速從C點繼續(xù)降低時，第一對榫齒脫開。觀察公式（2）和公式（3）可知，第一對榫齒是否脫開不會影響f3的斜率，因此AD是一條直線。過A點做垂線與橫坐標(biāo)軸交于點B。在轉(zhuǎn)速BC段，由f2+f3=f，做線條BH表示f2。當(dāng)轉(zhuǎn)速低于B點，第二對榫齒脫開，所有的載荷均由第三對榫齒獨自承擔(dān)。因此，齒距調(diào)整之后，f1、f2、f3隨轉(zhuǎn)速變化的路徑分別為0→C→D、0→B→H→D、0→A→D。

圖6 三齒榫頭載荷分配

榫頭第二、第三榫齒間承受拉力fB發(fā)生的齒距變形量就是二、三榫齒間齒距的調(diào)整量δt2；同理，榫頭第一、第二榫齒間承受拉力fC產(chǎn)生的齒距變形量就是一、二榫齒間齒距的調(diào)整量δt1。通過簡單的計算，有

從上式可以看出，三齒榫接的剛度匹配若滿足關(guān)系式k1=2k3，k4=2k2，則δt1=δt2=0，此時榫頭/榫槽為等齒距設(shè)計，可以實現(xiàn)全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的榫齒均載。

3.結(jié)論

本文通過對榫接的受力進行分解，將分布力按集中力等效處理，建立了榫接的等效剛度力學(xué)分析模型，研究了齒距差異對榫齒載荷分配的影響，得出如下結(jié)論：

（1）齒距差異會改變各對榫齒之間的配合間隙，從而改變各對榫齒發(fā)生接觸的先后順序，進而調(diào)整載荷在榫齒之間的分配。

（2）齒距調(diào)整可以實現(xiàn)設(shè)計轉(zhuǎn)速條件下各對榫齒之間的均載，一旦轉(zhuǎn)速發(fā)生偏離，載荷分配就不再均勻，但可以保證0～100%轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)各對榫齒的載荷都不會超過設(shè)計轉(zhuǎn)速下的平均值。

（3）從榫接正向設(shè)計出發(fā)，實現(xiàn)榫齒均載設(shè)計的最佳方法是榫頭/榫槽的熱態(tài)模型為等齒距設(shè)計，且葉片榫頭與輪盤榫頭之間需滿足特定的剛度匹配關(guān)系。齒距調(diào)整，其實質(zhì)是對榫接設(shè)計剛度不匹配的一種事后補償。