基于KECA-NARX的RUL時間序列預測模型

徐東輝

(1.南昌師范學院數(shù)學與計算機科學系,江西 南昌 330032;2.長沙理工大學汽車與機械工程學院,湖南 長沙 410076)

車用鋰離子電池隨著使用程度的加深會出現(xiàn)內阻增加、容量降低等老化現(xiàn)象,并引發(fā)安全問題,需要準確在線估計剩余使用壽命(RUL)、荷電狀態(tài)(SOC)及功能狀態(tài)(SOF)等狀態(tài)量,以保證工作安全[1]。電池的RUL與電壓、電流及溫度等外部參數(shù)之間為復雜的非線性關系,難以精確預測。近年來,對鋰離子電池RUL的研究大致可歸納為基于數(shù)據(jù)驅動及各種預測算法的融合等方法[2]。王竹晴等[3]采用核主成分分析(KPCA)對數(shù)據(jù)進行特征提取,再將自適應神經網絡與模糊推理系統(tǒng)融合,得到可實時預測鋰離子電池RUL的模型,預測精度得到提高,均方根誤差降低了近42%,平均絕對誤差降低了近27%。文獻[4]將提出的時間序列模型用于健康狀態(tài)和RUL預測,相對誤差降低了近3%。胡天中等[5]提出多尺度深度神經網絡預測模型,利用經驗模態(tài)分解方法及相關性分析,將實驗數(shù)據(jù)分解成主趨勢數(shù)據(jù)和波動數(shù)據(jù),獲得了較好的預測性能,均方根誤差降低了近2%。

以上研究多采用一維數(shù)據(jù)樣本或單變量時間序列對模型進行訓練及預測,包含的信息不全面。KPCA可以從采集到的一維狀態(tài)空間數(shù)據(jù)中提煉出與系統(tǒng)密切相關的非線性特征量,還能夠降噪并消除實驗數(shù)據(jù)變量之間的相關性,但是在主成分提取時存在丟失信息的現(xiàn)象[6]。核熵成分分析(KECA)根據(jù)數(shù)據(jù)信息量的熵值貢獻率提取數(shù)據(jù)信息的主成分,選取的數(shù)據(jù)信息主成分對應的特征值不一定是較大的特征值及特征向量,且提取的系統(tǒng)數(shù)據(jù)信息主成分有一定的角度結構,能更好地保留數(shù)據(jù)信息固有的非線性特征,避免信息丟失。與KPCA相比,KECA在非線性系統(tǒng)的主成分分析方面的處理能力更強,可得到更全面的特征值及特征向量[6]。

本文作者提出基于KECA-非線性自回歸(NARX)的鋰離子電池RUL多維狀態(tài)空間時間序列預測模型算法,通過灰色關聯(lián)分析(GRA)的方法,選取KECA-NARX模型的輸入量,并進行相空間重構;采用KECA算法提取多維狀態(tài)相空間的樣本數(shù)據(jù)時間序列的主成分,并作為NARX模型的輸入,采用混沌優(yōu)化算法使KECA的核參數(shù)達到全局最優(yōu);最后通過實驗仿真結果,分析KECA-NARX模型算法的有效性。

1 灰色關聯(lián)分析(GRA)的變量選擇

GRA通過研究不同曲線的幾何接近性評估它們之間的關系。接近性越高,說明相關性越緊密[7]。

假設參考序列X0和比較序列X k分別表示為:

式(1)、(2)中:n為時間序列樣本數(shù)量;x0(n)為X0序列中的一個樣本;x k(n)為Xk序列中的一個樣本。

通過對X0和X k進行初始化,以減少所有參數(shù)在維度上存在的差異。初始化后的參考序列Y0和比較序列Y k分別表示為:

式(3)、(4)中:y0(n)為Y0序列中的一個樣本;y k(n)為Y k序列中的一個樣本。

設ξ i(h)為Y0與Y k在h時刻的灰色關聯(lián)系數(shù),可得到:

式(5)中:ρ為分辨系數(shù),取值為0.5。

Y k與Y0的灰色關聯(lián)度ζ i為:

式(6)中:i=1,2,…,n;h=1,2,…,Q。

通過上述過程計算求得灰色關聯(lián)度后,根據(jù)指定閾值的方法,即可確定比較序列X k。

2 鋰離子電池動力學系統(tǒng)相空間重構

依據(jù)Takens定理,對于采集到的鋰離子電池系統(tǒng)時間序列{x(i),i=1,2,…,N},只要找到一個恰當?shù)那度刖Sm,使得m≥2d+1(d為混沌吸引子的關聯(lián)維數(shù)),就可通過時間延遲τ,重構相空間R m,如式(7)所示。

式(7)中:相點總數(shù)M=N+(m-1)τ;Y(i)為第i個相點。

最后的相點為:

由此,可以從一維時間序列中提取和恢復出系統(tǒng)固有的m維時間序列,并與原動力系統(tǒng)保持維度一致。

實驗利用小數(shù)據(jù)量方法計算,得到最大李雅普諾夫指數(shù)(λLyapunov,max)為0.016 3,大于0,可判定電池系統(tǒng)存在非線性動力學混沌特性。采用C-C法[8],經計算得到τ=3、m=8。可通過m和τ值對實驗采集到的一維多變量電池系統(tǒng)的時間序列進行相空間重構,恢復系統(tǒng)固有的多維非線性狀態(tài)空間。

3 核熵成分分析

3.1 KECA的基本原理

KECA在數(shù)據(jù)轉換、數(shù)據(jù)降維及數(shù)據(jù)特征提取上有較強的優(yōu)越性[7],可避免信息丟失的現(xiàn)象,有利于提高鋰離子電池RUL時間序列的預測精確度。

假設存在一個N維的樣本x,p(x)為概率密度函數(shù),Renyi熵[H(p)]的數(shù)學模型為:

對數(shù)函數(shù)為單調函數(shù),因此式(9)中Renyi熵的量化估計值[V(p)]為:

式(11)中:K為N×N的核矩陣;l為元素均為l的N×l的矩陣向量。

由式(11)可知,通過K的特征值和特征向量,可求解出Renyi熵的量化估計值。

將K進行特征分解,如式(12)所示:

式(12)中:Ф為對稱矩陣;D為特征值矩陣,D=diag(λ1,…,λ N);E為特征向量矩陣,E=(e1,…,e N);λ為特征值;e為特征向量。

經計算可得式(13):

由此,可通過Ф將N維樣本投影到KPCA的主元子空間U k上,依據(jù)Renyi熵貢獻較大的原則,選擇較大的前k個特征值和特征向量,得到轉換后的數(shù)據(jù)為:

式(14)中:Φeca為通過轉換后的數(shù)據(jù);為投影得到的數(shù)據(jù)樣本向量。

樣本外數(shù)據(jù)投影到U k上的函數(shù)表達式為:

式(15)中:Φeca-w為樣本外數(shù)據(jù)投影到U k上得到的數(shù)據(jù);Kw為樣本外數(shù)據(jù)的核矩陣。

KECA算法可表述為使核空間數(shù)據(jù)均值向量的平方歐氏距離與轉換后數(shù)據(jù)均值向量的平方歐氏距離之差盡可能小[6]。為了保留更多鋰離子電池系統(tǒng)原始數(shù)據(jù)的信息,KECA算法在數(shù)據(jù)降維時,根據(jù)Renyi熵值貢獻率確定選取主元的數(shù)量,則應表示為式(16)。

同理可得:

進一步可得到Φeca的數(shù)學模型為:

由式(18)可知,KECA算法最大限度地保留了核空間數(shù)據(jù)均值向量的歐氏距離,本質上是一種數(shù)據(jù)轉換算法。

3.2 核參數(shù)的確定

徑向基核函數(shù)在處理多元逼近問題上具有優(yōu)越的性能,且具有計算簡單、配置靈活及精度高等特點,因此,選取為核熵成分分析的核函數(shù)。徑向基核函數(shù)表示為:

式(19)中:γ為核參數(shù);K(x i,x j)為徑向基核函數(shù),x i為原數(shù)據(jù)第i個數(shù)據(jù)向量,x j為原數(shù)據(jù)第j個數(shù)據(jù)向量。

KECA核參數(shù)的選擇十分重要。為使核參數(shù)達到全局最優(yōu),采用混沌優(yōu)化算法對式(19)中的γ值進行全局尋優(yōu)[8]。實驗選擇Logistic映射模型對核參數(shù)進行γ優(yōu)化。

式(20)中:z為混沌變量。

設優(yōu)化問題為:

式(21)中:f(z i)為徑向基核函數(shù)回歸;z i+1為實際值;f(z i)為徑向基核函數(shù)回歸值;z i為需要優(yōu)化的核參數(shù)變量;S.t為限制條件;a i為限制條件下限;b i為限制條件上限。

具體步驟如下:

②載波,利用式(22)以載波的形式將n個h k,i變成z k,i變量。

③將以上n個z k,i變量代入式(20),按此條件進行迭代搜索:放棄

④將z k,i變量經過式(20)得到z k+1,i變量,即

⑤循環(huán)執(zhí)行步驟②～④。如果在有限的循環(huán)步驟內,f*的值維持不變,則執(zhí)行下面的步驟。

⑥通過式(23)得到新的變量h k,i,再次循環(huán)執(zhí)行步驟②～④,如果f*的值在一定循環(huán)步驟內固定不變,則執(zhí)行步驟⑦。

式(23)中:α為加權因子。

⑦令M=M+1(循環(huán)次數(shù)),利用式(24)縮小迭代搜索的范圍,繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行步驟②～④。如果f*的值在一定循環(huán)步驟內固定不變,則再一次執(zhí)行步驟⑦,如此往復執(zhí)行若干次(通常為6～10次)后,結束優(yōu)化,即為徑向基核函數(shù)的γ核參數(shù)最優(yōu)值。

式(24)中:β′為起縮小迭代搜索范圍作用的系數(shù)。

3.3 KECA特征提取

利用Logistic映射混沌優(yōu)化算法確定核參數(shù)后,KECA特征提取算法描述如下:

②求解核矩陣K,同時進行中心化處理。

③求解特征值問題。

④求特征值對應的Renyi熵,并降冪排序。按Renyi熵小,將提取到的RUL時間序列的特征值及向量也進行降排序。

⑤根據(jù)累積熵值貢獻率＞86%的原則,確定核主元個數(shù)k。

⑥選擇前k個特征向量,提取KECA-NARX預測模型的練樣本集的核主成分集t。

⑧計算得到核矩陣K t,由此得到KECA-NARX預測模型的測試樣本集的核主成分集t t。

4 基于KECA-NARX的預測模型建立

4.1 NARX 神經網絡

NARX模型是具有動態(tài)反饋性的非線性自回歸網絡,對歷史狀態(tài)信息有較強的記憶功能,應用于鋰離子電池RUL時間序列預測,能很好地反映時變特性。

NARX模型結構如圖1所示,統(tǒng)一的數(shù)學結構為:

式(25)中:u(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出;f為非線性函數(shù);na、nb分別為模型輸出及輸入階次;n k為延時量。

圖1 NARX模型的結構Fig.1 Structure of nonlinear autoregression(NARX)model

從圖1可知,NARX模型結構包括回歸分析器及非線性估計器,其中非線性估計器包括非線性模塊及線性模塊兩部分,在回歸分析器和NARX模型的輸出之間建立了一種非線性映射關系。

非線性估計器的函數(shù)表達式為:

式(26)中:y為NARX神經網絡的輸出值;u為輸入變量;L為線性模塊中線性系數(shù);LT(u-γ)+d為線性模塊的輸出;d為輸出偏置量;g[Q(u-γ)]為非線性模塊的輸出;γ為回歸矢量的平均值;Q為非線性子空間。

為研究方便,實驗選擇小波神經網絡作為非線性估計器,因此式(26)可表示為:

式(27)中:asi、awi分別為比例系數(shù)和小波系數(shù);bsi、bwi分別為比例膨脹和小波膨脹;csi、cwi分別為尺度變換矩陣、小波變換矩陣。

式(28)中:f和g均為徑向函數(shù);dim為維數(shù)。

4.2 KECA-NARX預測模型

實驗采用GRA確定KECA-NARX模型的輸入量,然后對輸入變量進行相空間重構,恢復系統(tǒng)的多維非線性狀態(tài)空間時間序列,并利用KECA算法對時間序列進行特征提取,將特征值輸入NARX神經網絡,由此建立基于KECA-NARX的預測模型,如圖2所示。

圖2 KECA-NARX預測模型的結構Fig.2 Structure of kernel entropy component analysis(KECA)-NARX predictionmodel

預測模型實現(xiàn)步驟如下。

①采用灰色關聯(lián)從自主試驗平臺鋰離子電池退化狀態(tài)監(jiān)測到的數(shù)據(jù)中選擇KECA-NARX預測模型的輸入變量。

②采用C-C法確定嵌入維數(shù)和時間延遲,經計算后確定τ=3、m=8。利用上述結果,通過相空間重構確定訓練樣本集為測試樣本集為

③利用x∈R N×M,選擇核參數(shù)。

⑤重新構造訓練樣本集(t,y)。

⑥以核主成分集t t作為NARX輸入,得到NARX預測模型的預測輸出值。

5 基于KECA-NARX的預測模型實驗仿真

5.1 實驗數(shù)據(jù)采集

實驗數(shù)據(jù)來源于兩部分:①美國國家航空航天局卓越故障預測研究中心(NASA PCoE)在愛達荷州國家實驗室測試獲得,B5、B6及B7電池各有168組數(shù)據(jù)[9];②自主實驗平臺的鋰離子電池退化狀態(tài)監(jiān)測數(shù)據(jù)。

實驗平臺由GD-JS41型恒溫箱(上海產)、BT2000多功能電池測試系統(tǒng)(美國產)、3只額定容量為2 Ah的18650型鋰離子電池(日本產,正、負極活性物質分別為磷酸鐵鋰、石墨)和PC機構成,溫度為(20±5)℃。實驗過程如下。

①充電過程:以1.0C(2 A)的電流對電池恒流充電至電壓為4.2 V,轉恒壓充電至電流為20mA,靜置60 min。

②放電過程:以0.2C的電流對電池恒流放電,至電壓為2.5 V,靜置60 min。

③以上兩步操作記為一次循環(huán)過程,整個實驗共完成200次循環(huán),采樣頻率設置為1 Hz,實驗過程中同步采集終端電壓、輸出電流、溫度、充電器電壓及充電器電流等數(shù)據(jù),并記錄數(shù)據(jù)采集時間及最大可用容量。

電池的阻抗采用電化學阻抗譜(EIS)獲取,測試儀器為CHI600E/660E電化學分析儀(上海產),測試頻率為0.1～5.0 Hz,交流振幅為30 mV。

5.2 預測模型訓練與預測

對自主實驗平臺上鋰離子電池退化狀態(tài)監(jiān)測到的數(shù)據(jù)進行相空間重構及核熵成分分析,得到168組數(shù)據(jù)。將前80組數(shù)據(jù)與B5電池的前80組數(shù)據(jù)一起,作為NARX神經網絡的訓練集;將后88組數(shù)據(jù)與B5電池的后88組數(shù)據(jù)一起,作為NARX神經網絡的測試集,失效閾值為1.382 Ah。同理,將前60組數(shù)據(jù)與 B6、B7電池的前60組數(shù)據(jù)一起,作為NARX神經網絡的訓練集;將后108組數(shù)據(jù)與B6、B7電池的后108組數(shù)據(jù)一起作為NARX神經網絡的測試集,B6、B7電池的失效閾值均設置為1.400 Ah。預測結果如圖3所示。

圖3 B5、B6及B7電池容量預測結果Fig.3 Capacity prediction results of B5,B6 and B7 batteries

5.3 誤差分析與比較

實驗用平均絕對誤差(M)、均方根誤差(R)及平均相對誤差(ER)等3種誤差模型,對基于KECA-NARX的模型進行誤差指標評價,結果見表1。M、R及ER的函數(shù)表達式為:

式(29)-(31)中:Si為實測值;為預測值。

表1 B5、B6及B7電池的RUL和容量預測結果Table 1 Remaining useful life(RUL)and capacity prediction results of B5,B6 and B7 batteries

從表1可知,KECA-NARX模型比Elman模型的RUL預測值的均方根誤差降低了近6%,比文獻[4]的KPCA-ANFIS算法降低了近2%,說明實驗提出的KECA-NARX模型具有較高的精確度、穩(wěn)定性及更強的非線性預測能力。

6 結論

本文作者針對鋰離子電池RUL預測中信息利用不完善,導致系統(tǒng)的主成分提取過程中出現(xiàn)丟失信息的現(xiàn)象,提出了KECA-NARX預測模型。混沌動力學特性判別表明,鋰離子電池系統(tǒng)具有混沌特性,采用GRA確定KECA-NARX模型的輸入量,并對輸入變量進行重構,恢復系統(tǒng)多維非線性狀態(tài)空間,利用KECA對重構后的相空間時間序列進行核熵成分提取,最后用非線性自回歸神經網絡預測核熵成分。

仿真結果顯示,KECA-NARX模型算法的RUL預測結果的均方根誤差比Elman模型降低近6%,表明KECA-NARX模型算法的精確度更高。利用混沌優(yōu)化算法,可使KECA的核參數(shù)達到全局最優(yōu),較好地避免局部最優(yōu),提高了模型的預測精度及實時性,并克服小樣本數(shù)據(jù)對預測精度的影響。