基于能量的多模態推覆分析方法在橋梁高墩抗震分析中的應用

周 迅 唐耀明 李建中，* 徐艷珊

（1.同濟大學橋梁工程系，上海 200092；2.云南功東高速公路建設指揮部，昆明 650000）

0 引言

近年來，隨著經濟的飛速發展，我國西南地區建立了大量橋梁。由于西南地區高山峽谷眾多，超過40%的橋梁結構墩高大于40 m，部分墩高超過了100 m。而西南地區地震頻發，2008 年汶川地震里氏震級達8.0 級、2013 年雅安地震里氏震級達7.0 級［1］。橋梁結構作為交通網絡中的重要節點，在地震發生后仍應當具有一定的通行能力以充當生命線的角色。我國橋梁抗震設計規范要求對于墩高超過40 m、墩身在計算方向第一階振型參與質量系數小于60%且結構進入塑性的高墩橋梁應作專項研究。因此，需要對橋梁高墩合理的抗震設計方法進行研究。

目前常用的地震反應計算分析方法中，非線性時程分析方法（NLTHA）作為一種通用方法，可以有效地評估結構的地震需求及能力。但在實際應用中，NLTHA 方法面臨了一些問題［2］，如：地震具有隨機性，若計算時輸入的地震時程數量較少，計算得到的結果具有局限性；計算結果對參數變化敏感，如Rayleigh 阻尼合理取值對地震響應影響較大；計算過程復雜。

隨著基于性能的抗震設計方法的提出和發展，一些學者提出了非線性靜力方法（推覆分析Pushover），非線性靜力方法被ATC-40、FEMA-273等規范廣泛采用［2］。早期推覆分析方法采用了固定的側向加載模式，假定結構在地震中主要受一階振型控制，而忽略高階振型的影響；將單調增加的側向荷載分布加載于結構上，以此來估計結構地震響應。

研究表明［3］，傳統的推覆分析方法主要適用于一階振型起主要貢獻的結構。對于中、低橋墩，由于其橋墩本身質量和高階振型貢獻可以忽略，采用推覆分析方法是可行的。對于高墩，由于其具有截面尺寸大、結構周期長、墩身質量大等特點，計算時需要考慮墩身質量以及高階振型的影響［1］。

針對高階振型貢獻這一問題，A.K.Chopra 與R.K.Goel［3］提出了基于多模態的推覆分析方法（MPA），并驗證了該方法的廣泛適用性［4-5］。ENRIQUE HERNáNDEZ-MONTES 等［6］針對MPA方法中可能遇到的結構頂端位移“折返”問題［7］，提出了基于能量的多模態推覆分析，即從能量的角度得到各階振型對應單自由度體系的Dn關系。

本文首先對MPA 方法進行了簡要的回顧；其次，對基于能量的模態推覆分析（Energy-based Modal Pushover Analysis，EMPA）進行介紹；后將EMPA 方法應用于90 m 高墩抗震性能評估，與非線性時程分析（NLTHA）結果對比，以研究其適用性，并對合理的模態組合方法提出了建議；最后討論不同高度橋墩采用EMPA 方法進行估計時，應采用的合理模態數量。

1 EMPA方法及其在高墩中的應用

1.1 EMPA方法介紹

自A.K.Chopra 與R.K.Goel［3］于2002 年提出多模態推覆分析方法（MPA）后，該方法在房屋建筑結構的抗震設計中得到廣泛應用。對結構性能需求進行估計時，MPA 方法采用多模態的側向加載模式［3］，即對結構水平加載對應于各階振型的側向力

式中：為第n階側向加載模式；m為結構總質量矩陣；?n為第n階振型向量。

將加載于各節點，并考慮結構的非線性特性，得到結構底部剪力Vbn-頂端位移urn的關系，如圖1所示。

圖1 第n階模態推覆分析的Vbn-urn關系Fig.1 Relationship between Vbn and urn from nth-mode pushover analysis

MPA 方法假定結構進入非線性后，各階振型間耦合效應對總響應的貢獻較小［3］，因而沿用振型分解的方法，得到第n階模態振動方程，如式（2）所示：

其中，ωn、ξn為第n階模態的頻率及阻尼比；Dn、Ln、Fsn/Ln分別由式（3）—式（5）計算得到。

式中：ι為元素全為1 的列向量；?rn為第n階振型頂端節點對應的振型坐標；Γn為第n階振型的振型參與系數，可由式（6）計算得到。

通過式（3）、式（5），則可由第n階振型的Vbnurn關系得到關系如圖2所示。

圖2 第n階模態推覆分析的FsnLn-Dn關系及多線性等效Fig.2 Relationship between FsnLn and Dn from nth-mode pushover analysis and its idealization

通過求解以上非線性單自由度振動方程求出Dn(t)，并由式（7）估計結構地震反應。

求解得到各階振型峰值響應后，A.K.Chopra與R.K.Goel［3］的研究表明，可以采用適用于線性結構的振型組合求解結構的峰值響應。相比于傳統的推覆分析方法，MPA 方法考慮多階振型對結構整體振動的貢獻，特別對于受高階振型控制明顯的高聳結構、柔性結構有良好的適用性，較好地解決了考慮高階振型效應的側向加載模式問題。

但采用MPA 方法時，在對結構施加高階振型的側向力進行推倒分析時，會出現頂端位移減小甚至變為負的情況，即可能遇到如圖3 所示的“折返”問題［8］，得到的關系是不符合基本的力學概念，且違反熱力學定律的。究其原因，結構進入塑性后，MPA 方法沿用了結構彈性階段的側向加載模式。在第2 階推覆過程中，結構頂端位移的“折返”導致了FsnLn-Dn出現“折返”。

圖3 模態推覆分析FsnLn-Dn曲線“折返”現象Fig.3 Reversal ofFsnLn-Dn curve encountered in MPA

針對這一問題，ENRIQUE HERNáNDEZMONTES 等提出了基于能量的多模態推覆分析［6］，即從能量的角度得到某一階振型對應單自由度體系的FsnLn-Dn關系。結構處于彈性階段時，側向荷載輸入結構的能量瞬時值E為

式中：fTs為恢復力向量；u為節點位移向量。對處于彈性階段的結構，有

式中，k為結構的總剛度矩陣。

由振型的正交性，對應于每一階振型的恢復力向量fsn僅在這一振型的位移un上做功。則彈性階段，第n階中輸入結構的能量瞬時值En為

基底剪力Vbn則為結構受到的側向力之和，即

綜合式（10）、式（11），如已知輸入能量En及基底剪力Vbn，則可求得Dn

結構進入塑性后，則應采用增量形式得到輸入結構的能量瞬時值ΔEn

則ΔDn為

同時式（15）的關系依然存在。

圖4 EMPA方法中Vbn-Dn的建立Fig.4 Vbn-Dn curve obtained from EMPA

相比于MPA 方法，EMPA 方法從能量的角度直接建立基底剪力Vbn和廣義位移Dn之間的關系，從而由式（15）得到FsnLn-Dn關系。而非從結構頂端節點位移的角度，由式（3）得到廣義位移Dn，避免了FsnLn-Dn出現“折返”的現象。

但是，EMPA 方法依然采用了=m?n的加載模式，并在加載過程中保持不變。因此采用EMPA 方法對FsnLn-Dn關系修正，僅僅是對MPA方法的適用范圍進行了推廣。

下面給出EMPA方法的簡要步驟：

（1）計算初始處于彈性狀態的結構自振頻率ωn及振型?n。

（2）將每一階振型對應的側向加載模式s＊n=m?n施加于結構，直到節點位移達到事先規定的值（常常需要迭代求解），并記錄結構節點位移u及底部剪力Vbn，一般計算2至3階。

（3）計算結構節點位移增量，由式（13）計算得到側向力所做的功增量ΔEn。

（4）由式（14）計算ΔDn并累加得到Dn，由此得到Vbn-Dn關系。

（5）由式（15）得到FsnLn-Dn關系，并用多段線性函數擬合。

（6）對第n階模態的振動方程式（2）進行求解，求出Dn(t)。

（7）由式（7）估計結構地震反應或通過振型組合方法得到峰值。

1.2 算例及驗證

1.2.1 背景工程

本文以我國西南地區某等跨度等墩高連續梁橋為例，在建模時將高墩橋梁模型簡化為等截面單墩模型。單墩計算模型采用墩底固結的懸臂直梁，墩身質量集中于相應的節點，將與橋墩相鄰跨度為L的上部結構質量等效為墩頂的集中質量如圖5（a）所示，質量僅考慮平動。其中，橋墩高度H為90 m，墩身質量mi為301.1 t，墩頂附加質量M為3 150.6 t；橋墩等效截面尺寸B取9.4 m，壁厚t為1.2 m。

圖5 橋墩計算原型Fig.5 Prototype of the bridge

1.2.2 計算模型

有限元計算采用OpenSees 軟件；橋墩采用基于柔度法的纖維單元進行模擬，并考慮到編程的一致性，沿高度方向共分為30 個單元。其中鋼筋纖維采用雙線性本構如圖6（a），初始彈性模量取為206 GPa，鋼筋屈服強度取為400 MPa，屈服后模量與初始彈性模量之比α取0.001。保護層及核心混凝土纖維采用Kent-Scott-Park 本構如圖6（b），不考慮混凝土的抗拉強度，其中保護層混凝土抗壓強度取26.8 MPa，核心混凝土抗壓強度取為28.5 MPa［9］。

圖6 計算模型中所采用的本構關系Fig.6 Constitutive relationship in the numerical model

從美國太平洋地震工程中心的強震數據庫中選取選用了7條地震波，各地震波記錄見表1。同時對每條地震波進行峰值調整，分別調整至0.2g、0.4g、0.6g、0.8g。

表1 地震動參數Table 1 Selected ground motion records

1.3 計算結果及分析

由特征值分析得到90 m 高墩前三階周期及振型參與質量系數如表2 所示；前三階模態信息?n及側向力分布s*n，如圖7所示。

圖7 90 m高墩前三階模態推覆信息Fig.7 Pushover information of the first three modes of the 90 m high pier

表2 90 m橋墩前三階周期及振型參與質量系數Table 2 First three periods of the 90 m high pier and the participating mass ratios respectively

圖8 給出了由EMPA 方法獲得的FsnLn-Dn與MPA方法的對比。

由圖8 可以看出，EMPA 方法解決了第二階FsnLn-Dn曲線的“折返”問題。對于第一階推覆分析，EMPA與MPA方法結果相同。

圖8 由EMPA方法獲得的FsnLn-Dn與MPA方法結果的對比Fig.8 Comparison between theFsnLn-Dn curves from MPA and EMPA

非線性時程分析方法（NLTHA）作為一種通用方法，可以有效地評估結構的地震需求及能力；這里將NLTHA 方法得到的結果作為參照。圖9至圖12給出EQ1地震作用下，EMPA與NLTHA方法獲得結構需求的對比，其中EMPA 方法獲得各階振型下峰值后，再通過SRSS方法組合得到結構需求的峰值。同時，給出橋墩截面屈服曲率3.4×10-4m-1作為參考。

由圖9 至圖12 可以看出，EMPA 方法較好地估計了高墩墩身的節點位移峰值，但對墩身截面曲率峰值及剪力峰值的估計，特別是結構進入非線性（截面曲率達到3.4×10-4m-1）后的估計存在較大誤差。若要將EMPA 方法運用于高墩抗震性能評估，需要對方法進行一定的修正。

圖9 EQ1峰值加速度調整為0.2g時采用EMPA與NLTHA方法獲得的結構需求Fig.9 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.2g

圖10 EQ1峰值加速度調整為0.4g時采用EMPA與NLTHA方法獲得的結構需求Fig.10 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.4g

圖11 EQ1峰值加速度調整為0.6g時采用EMPA與NLTHA方法獲得的結構需求Fig.11 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.6g

圖12 EQ1峰值加速度調整為0.8g時采用EMPA與NLTHA方法獲得的結構需求Fig.12 Structural demand from EMPA and NLTHA for EQ1 with PGA adjusted to 0.8g

2 組合方法討論

EMPA 方法從能量的角度直接獲得FsnLn-Dn關系，而非通過某一節點的位移獲得，因此能夠避免FsnLn-Dn曲線的“折返”現象。但EMPA方法終究還是通過對結構施加側向力分布=m?n。因此MPA方法的誤差，EMPA方法均繼承［3］：

（1）采用不變的側向力分布，不能體現結構屈服后慣性力的重分布現象；

（2）忽略了結構屈服后各階振型的耦合作用；

（3）使用靜力方法不能反映結構在動力作用下的能量的傳遞；

（4）采用振型組合方法引起的誤差。

其中，誤差4 中所采用的振型組合方法如SRSS，均是基于線彈性經典阻尼系統和結構響應為零均值平穩高斯過程得到的。將SRSS 方法引入非線性靜力方法中會帶來一定的誤差。為改進MPA 方法中振型組合所帶來的誤差，A.S.Moghadam［10］提出采用振型參與系數對各階推覆分析結果進行加權求和，但這一方法降低了高階振型對結構的影響。本文僅研究常見的組合方法［11］，包括SRSS 方法、CQC 方法、絕對值求和（Abs）方法的有效性。由于橋墩結構各階頻率相差較大，可近似地認為SRSS 方法與CQC 方法結果相同，這里僅給出SRSS方法的結果。采用以上組合方法計算出90 m 高墩節點位移、截面曲率及墩身剪力峰值響應與NLTHA方法間的相對誤差，并對7 條地震波下的誤差取平均，繪于圖13 至圖16中。

圖13 七條地震波峰值加速度調整為0.2g時結構需求的相對誤差平均值Fig.13 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.2g

圖14 七條地震波峰值加速度調整為0.4g時結構需求的相對誤差平均值Fig.14 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.4g

圖15 七條地震波峰值加速度調整為0.6g時結構需求的相對誤差平均值Fig.15 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖16 七條地震波峰值加速度調整為0.8g時結構需求的相對誤差平均值Fig.16 Average relative error of structural demand for 7 waves with PGA adjusted to 0.8g

由圖13 至圖16 可見，采用絕對值求和方法（Abs）進行進行振型組合，在一定程度上補償了由于忽略結構進入塑性后振型耦合所帶來的誤差；其結果大于SRSS 方法，提高了橋墩結構進入塑性后的節點位移及墩身剪力計算精度。對于在地震中處于彈性階段的結構，可以近似視為線彈性經典阻尼系統，結構響應可以近似為零均值平穩高斯過程，如本例中地震波峰值加速度調整為0.2g 下的橋墩結構，采用Abs 方法對精度的提高不明顯，如圖13所示。

在估計截面曲率時采用絕對值求和方法與SRSS 方法計算精度相近。其中，兩者大部分情況下低估了距墩頂0～15 m 處截面曲率，相對誤差超過了50%，但這些部位截面曲率較小（由圖9 至圖12 可以得出這樣的結論），因此并不控制橋墩的抗震設計。

3 墩高效應

為了進一步討論EMPA 計算高墩地震響應的有效性，分別建立高度為30 m、60 m、90 m 的橋墩有限元模型，各橋墩的主要參數以及一階振型參與質量系數如表3所示。

表3 不同高度橋墩的基本參數Table 3 Features of piers of different heights

采用EMPA 方法，針對不同墩高，計算得到七條地震波（峰值加速度調整為0.6g）下，前3 階響應各自對總響應貢獻率的均值如圖17 至圖19 所示，在進行振型組合時采用Abs組合。

由圖17 至圖19 可以看出：隨著墩高增加，高階振型響應的貢獻明顯增大；相比于節點位移，高階振型對截面曲率與墩身剪力的貢獻更顯著。實際上，當結構處于彈性階段時，EMPA 方法與反應譜方法是等效的，高階振型的貢獻對位移（譜位移的變化）的影響將小于其對力（譜加速度的變化）的影響，如圖20所示。

圖17 七條地震波峰值加速度調整為0.6g時30 m橋墩各階推覆分析結果對組合值的貢獻率平均值Fig.17 Average modal contribution rate of 30 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖18 七條地震波峰值加速度調整為0.6g時60 m橋墩各階推覆分析結果對組合值的貢獻率平均值Fig.18 Average modal contribution rate of 60 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖19 七條地震波峰值加速度調整為0.6g時90 m橋墩各階推覆分析結果對組合值的貢獻率平均值Fig.19 Average modal contribution rate of 90 m pier for 7 waves with PGA adjusted to 0.6g

圖20 結構周期變化帶來譜位移、譜加速度的增減Fig.20 Fluctuations of spectral displacement and spectral acceleration initiated by variations of periods

為進一步研究不同墩高下EMPA 方法合理的分析階數，定義綜合貢獻率Ai為

式中：i為推覆分析的階數；ci為前i階分析得到沿高度變化的結果；?h為求和區間長度。

顯然，A3=100%。針對不同墩高下各結構需求，前i階結果的綜合貢獻率Ai如表4—表6所示。

表4 不同墩高下前i階結果對節點位移的綜合貢獻率Table 4 Comprehensive contribution rate of nodal displacement for piers of different heights

表5 不同墩高下前i階結果對截面曲率的綜合貢獻率Table 5 Comprehensive contribution rate of curvature for piers of different heights

表6 不同墩高下前i階結果對墩身剪力的綜合貢獻率Table 6 Comprehensive contribution rate of shear force for piers of different heights

其中，對于高度為30 m 的橋墩，其墩身節點位移由第1 階響應控制，而截面曲率及墩身剪力由前2 階響應控制。對于高度為60 m 的橋墩，位移、曲率和剪力由前2 階響應控制，第2 階的貢獻明顯增加。對于高度為90 m 的橋墩，除位移外前三階響應的貢獻均不能忽略，高階振型的貢獻進一步增大。在EMPA 計算中，隨著橋墩高度的增大，應采用更多階數的響應結果進行組合以獲得正確的結果。

4 結論

本文首先對基于能量的模態推覆分析進行介紹；后研究其針對橋梁高墩抗震性能評估的適用性，并與非線性時程分析結果對比，研究合理的模態組合方法；最后對不同性能指標、不同高度橋墩應采用的EMPA階數。并得到以下結論：

（1）傳統的MPA 方法中會出現FsnLn-Dn曲線“折返”的現象，因此不能很好地適應所有結構類型，基于能量的模態推覆分析可以解決這一問題。

（2）將EMPA 方法應用于橋梁高墩，可以較好地估計墩身的節點位移峰值，但對墩身截面曲率峰值及剪力峰值的估計，特別是結構進入非線性后的估計存在較大誤差；相比于常用的SRSS方法，結構進入非線性后采用絕對值求和（Abs）的模態組合方法計算簡便，并能保證良好的精度。

（3）隨著墩高的增加，高階振型的貢獻明顯。在計算中應采用更多階數的響應結果進行組合以獲得正確的結果。計算節點位移時，取第1 階EMPA 結果已經能夠保證一定的精度；而計算截面曲率或墩身剪力時，應取前3 階的EMPA 結果進行組合。