高速列車的有限時間容錯跟蹤控制

徐傳芳

(大連交通大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

列車自動駕駛(Automatic Train Operation，ATO)可提高列車的運營效率和控制品質(zhì)，是未來高速鐵路列車運行控制的發(fā)展趨勢。高性能的ATO技術(shù)是實現(xiàn)高速列車運行自動控制的基本前提，是軌道交通領(lǐng)域探索的一個熱點。ATO主要有兩個控制目標(biāo)：基于列車對安全準(zhǔn)點、舒適節(jié)能等性能指標(biāo)的要求，以及列車運行線路信息等，計算得到期望速度優(yōu)化曲線；將期望速度優(yōu)化曲線作為系統(tǒng)跟蹤控制的對象，設(shè)計合適的控制策略實現(xiàn)列車對期望曲線的精確跟蹤[1]。目前，對期望速度曲線優(yōu)化的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果[2-4]，隨之設(shè)計合適的列車速度跟蹤控制策略，并實現(xiàn)列車對期望曲線的精確跟蹤就成為需要研究的關(guān)鍵問題。然而，已有控制策略研究[5-8]均假設(shè)列車在運行中執(zhí)行器健康無故障。實際上，列車在運行時由于頻繁且長時間執(zhí)行牽引/制動控制任務(wù)，執(zhí)行機構(gòu)時常發(fā)生故障。此時，若仍基于原有未考慮執(zhí)行器故障的控制策略，列車將難以維持對期望曲線的跟蹤性能，甚至?xí)l(fā)系統(tǒng)不穩(wěn)定，危及旅客的人身和財產(chǎn)安全。

容錯控制可有效補償故障對系統(tǒng)性能的影響，提高系統(tǒng)的可靠性和安全性，為解決故障情況下高速列車的精確速度跟蹤控制問題提供了有效途徑。文獻(xiàn)[9-14]針對執(zhí)行器故障下高速列車的容錯跟蹤控制做了大量研究，并取得了良好的跟蹤控制性能。但是，值得注意的是，這些文獻(xiàn)忽略了執(zhí)行器輸出受到實際物理約束可能會引發(fā)輸出飽和受限問題。一旦發(fā)生執(zhí)行器輸出飽和，不可避免地會出現(xiàn)系統(tǒng)性能下降甚至不穩(wěn)定[15]。文獻(xiàn)[16]提出了同時考慮執(zhí)行器故障與飽和受限的高速列車自適應(yīng)容錯跟蹤控制策略；文獻(xiàn)[17]進(jìn)一步考慮模型參數(shù)的時變不確定性，基于變增益PID型滑模面設(shè)計了高速列車的自適應(yīng)容錯跟蹤控制器。它們雖然實現(xiàn)了同時考慮執(zhí)行器故障與飽和受限約束下的高速列車容錯跟蹤控制，但是最終實現(xiàn)的是對期望曲線的漸進(jìn)跟蹤，列車的速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差收斂到零的時間在理論上為無窮大。

隨著列車運行速度和發(fā)車密度不斷提高，漸進(jìn)時間收斂的列車速度跟蹤控制策略已經(jīng)難以滿足乘客對于快速性、準(zhǔn)點性、節(jié)能性等性能指標(biāo)的要求。因此，很有必要研究有限時間收斂的速度跟蹤控制策略，然而目前相關(guān)的文獻(xiàn)還非常少[18-19]。盡管文獻(xiàn)[18-19]引入非奇異終端滑模控制技術(shù)，實現(xiàn)了列車跟蹤誤差的有限時間收斂，然而它們均以執(zhí)行器健康無故障且不會發(fā)生輸出飽和為前提。

基于以上分析，本文針對同時存在執(zhí)行器故障與輸出飽和受限約束的高速列車，并考慮模型參數(shù)未知時變、附加阻力干擾等因素影響，研究其速度跟蹤控制問題；引入自適應(yīng)控制技術(shù)在線估計模型參數(shù)標(biāo)稱值與集總不確定性的上界，基于非奇異終端滑模控制技術(shù)設(shè)計有限時間收斂的高速列車容錯跟蹤控制策略；最后對所提出的控制算法進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明和仿真驗證。

1 高速列車動力學(xué)模型

列車單質(zhì)點模型將整列列車抽象為一個質(zhì)點，受力分析簡單，能夠?qū)崟r、準(zhǔn)確、快速地模擬列車運行，常被應(yīng)用于列車的跟蹤運行控制[20]。根據(jù)牛頓第二定律，單質(zhì)點模型[16-17]可以描述為

(1)

(2)

式中：m為列車質(zhì)量；v為列車速度；F為牽引過程的列車牽引力或制動過程的列車制動力；d為附加阻力，主要由坡道、隧道、曲線等線路情況引起的阻力構(gòu)成，在列車實際運行過程中，d隨線路條件變化，難以精確測量；f為基本阻力，常采用經(jīng)典Davis方程來描述。

f=a0+a1v+a2v2

(3)

式中：a0、a1、a2為正實數(shù)，通常通過風(fēng)洞試驗和實際運行過程所積累的數(shù)據(jù)獲知。

在列車不同的運行時刻，列車模型參數(shù)m、a0、a1、a2會隨載客量、乘客所攜帶行李、運行環(huán)境，以及列車速度等的改變在一定范圍內(nèi)變化，很難精確測定。因此，很有必要在建立列車動力學(xué)模型時考慮這些參數(shù)的時變不確定性。此時結(jié)合式(3)，式(2)可進(jìn)一步表示為

(4)

式中：Δm、Δa0、Δa1、Δa2為參數(shù)m、a0、a1、a2的時變不確定性部分。

假設(shè)1：假設(shè)附加阻力d滿足|d|≤ξ<∞，ξ>0且未知。

在執(zhí)行器故障中，效率部分損失故障最為常見[21]，此時執(zhí)行器的實際輸出可表示為

F′=kcF

(5)

式中：F′為執(zhí)行器實際輸出；F為執(zhí)行器健康無故障時的控制器輸出；kc為執(zhí)行器效率，滿足0≤kc≤1，kc=0為執(zhí)行器完全失效，kc=1為執(zhí)行器完全健康，0

為了方便控制策略設(shè)計與穩(wěn)定性分析，定義kc=1-τc，則式(5)變?yōu)?/p>

F′=(1-τc)F

(6)

假設(shè)2：假設(shè)0≤τc<δ<1，且δ未知。

備注1：假設(shè)2說明執(zhí)行器效率部分損失必須在一定限度內(nèi)。若嚴(yán)重到一定程度，執(zhí)行器所產(chǎn)生的牽引力/制動力不足以使得列車完成跟蹤控制目標(biāo)，則需要采取其他措施(比如修正期望速度優(yōu)化曲線)。

在實際應(yīng)用中，執(zhí)行器輸出不可避免地會受到諸如牽引電機最大輸出等因素限制。為此，引入飽和函數(shù)sat(F)來表示考慮輸出飽和約束限制時的執(zhí)行器輸出，其表達(dá)式為

(7)

式中：Fmax和Fmin分別為執(zhí)行器輸出的上界和下界。

定義σ(t)為執(zhí)行器飽和輸出與實際輸出之間的差值，即

σ(t)=sat(F)-F

(8)

在式(6)基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮輸出飽和受限，則執(zhí)行器的實際輸出為

F′=(1-τc)sat(F)=(1-τc)[F+σ(t)]

(9)

此時，式(4)可進(jìn)一步表示為

(10)

(11)

式中：θ=[a0a1a2]；ζ(v)=[1vv2]；P為系統(tǒng)的集總不確定性。

(12)

2 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

控制目標(biāo)：基于自適應(yīng)控制理論和非奇異終端滑模控制技術(shù)，針對受到執(zhí)行器效率部分損失故障與輸出飽和受限約束、模型參數(shù)未知時變以及附加阻力干擾等因素影響的高速列車，設(shè)計有限時間收斂的容錯跟蹤控制策略，實現(xiàn)高速列車對期望優(yōu)化曲線的精確跟蹤。

在控制器設(shè)計前，首先給出如下引理。

(13)

式中：V(x0)為V(x)的初值。

2.1 控制器設(shè)計

(14)

式中：β和γ為設(shè)計參數(shù)，β>0，1<γ<2；sign為符號函數(shù)。

s對時間求導(dǎo)，有

(15)

結(jié)合式(10)和式(15)，可得到

(16)

基于自適應(yīng)非奇異終端滑模控制技術(shù)，設(shè)計高速列車的有限時間收斂容錯跟蹤控制器為

F=F0+F1+F2+F3

(17)

(18)

(19)

(20)

F3=-τs-ksignq(s)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：Γ1=diag(k0k1k2)，Γ2=diag(l0l1l2)，均為正定矩陣；k3>0；l3>0。

備注3：在所設(shè)計的控制器中，F(xiàn)0負(fù)責(zé)驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面到達(dá)穩(wěn)定平衡點；F3負(fù)責(zé)迫使系統(tǒng)狀態(tài)以非奇異終端滑模類型趨近律[23-24]到達(dá)滑模面；F1和F2則分別補償系統(tǒng)集總不確定性和執(zhí)行器故障對系統(tǒng)的影響。

2.2 有限時間穩(wěn)定性分析

證明：本文將從滑模運動的到達(dá)階段和滑動模態(tài)階段分兩步來證明定理1的有限時間穩(wěn)定性。

(1)到達(dá)階段

選取Lyapunov函數(shù)

(26)

求V對時間的一階導(dǎo)數(shù)

(27)

將式(16)和式(17)代入式(27)，可得

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

將式(18)、式(22)、式(23)代入式(29)，可以得到

(33)

結(jié)合式(12)，并將式(19)和式(24)代入式(30)，可得到Φ2滿足如下關(guān)系：

(34)

由式(20)和式(25)，可得

(35)

將式(33)～式(35)代入式(28)，并結(jié)合式(21)和式(32)，以下不等式成立：

(36)

由此可知，閉環(huán)系統(tǒng)在Lyapunov意義下穩(wěn)定。

(37)

(38)

式中：V(s0)為V的初始值；χ1和χ2分別為

(39)

(40)

(1-τc)[τs+k|s|q]<

(1-τc)τs-(1-τc)k|s|q=

P-T*ηT(v)+δ|F0|-δ|F0|-

(1-τc)[τs+k|s|q]≤

-(1-τc)τs-(1-τc)k|s|q<0

(41)

如果s<0，則有

P+T*ηT(v)-δ|F0|+δ|F0|-

(1-τc)[τs-k|s|q]≥

-(1-τc)τs+(1-τc)k|s|q>0

(42)

(2)滑動階段

參閱文獻(xiàn)[26]，分析如下：

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，s=0，此時有

(43)

(44)

結(jié)合式(44)，對式(43)變形可得到

(45)

(46)

綜合以上分析可知，本文所設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)高速列車跟蹤誤差在有限時間內(nèi)收斂到零。定理1證畢。

備注4：列車跟蹤誤差的收斂時間取決于到達(dá)階段和滑動階段所需時間，其中：參數(shù)τ、k和q決定了到達(dá)階段的收斂速度，τ、k越大，q越小，收斂速度越快，收斂時間越短；而參數(shù)β和γ在滑動模態(tài)階段起重要作用，當(dāng)0<β≤1且β和γ越小，或者當(dāng)β>1且β越小，γ越大時，收斂速度越快。然而參數(shù)過大或過小都可能導(dǎo)致不可預(yù)料的抖振問題，因此應(yīng)該在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下權(quán)衡系統(tǒng)精度、收斂速度與抖振等折衷確定這些參數(shù)。

備注5：該控制器不依賴難以確定且時變的列車質(zhì)量、基本阻力系數(shù)等模型參數(shù)以及附加阻力的具體信息。此外，雖然文中在處理執(zhí)行器故障時引入了未知參數(shù)δ，但它僅在證明過程有所涉及，并沒有出現(xiàn)在控制律和參數(shù)自適應(yīng)更新律中，這使得本文所提出的控制器消除了對故障檢測與診斷設(shè)備的依賴性，簡化了控制器結(jié)構(gòu)。

3 仿真驗證及分析

為了說明本文所提出控制策略的有效性，進(jìn)行了仿真實驗驗證。仿真中的列車參數(shù)為[19]：m=500 t；g=9.8 m/s2；a0=5 880 N；a1=388 N·s·m-1；a2=8 N·s2·m-2；Δa0=200rand；Δa1=30rand；Δa2=0.2rand；Δm=1 000rand；rand為0到1之間的隨機值。設(shè)置高速列車在不同運行時刻的附加阻力為[17]

(47)

式中：we=0.000 131lemg/103，ws=10.5αsmg/(1 000ls)，wr=mgsinθ，分別為線路情況為隧道、曲線和坡道時的附加阻力[28]。仿真中，隧道長度le=1 000 m，曲線長度ls=200 m，中心角αs=2π/3，坡度角θ=π/180°，其他阻力o(·)=1 500sin(0.02vt)。

表1 控制器、自適應(yīng)更新律、滑模面參數(shù)

對包含2個加速、4個巡航、2個減速階段的列車跟蹤運行控制過程進(jìn)行仿真，整個過程中列車最高運行速度為69.5 m/s(約250 km/h)，運行時間為1 000 s，運行距離為47.5 km，所對應(yīng)的期望曲線見圖1。

圖1 期望曲線

以下分4種情況進(jìn)行仿真：

(1)執(zhí)行器未發(fā)生故障

執(zhí)行器未發(fā)生故障情況下的仿真結(jié)果見圖2。

圖2 執(zhí)行器未發(fā)生故障下的仿真結(jié)果

由圖2可以看出，列車跟蹤誤差收斂速度很快，而且無論是穩(wěn)態(tài)時還是工況切換時，列車對期望速度曲線和位移曲線均呈現(xiàn)出良好的跟蹤性能。說明本文所提出的容錯跟蹤控制策略在執(zhí)行器健康無故障情況下同樣可行有效。

(2)執(zhí)行器不同程度故障

對執(zhí)行器不同程度故障下的系統(tǒng)性能進(jìn)行仿真時，考慮執(zhí)行器效率損失分別為10%、30%、50%，即kc=0.9、kc=0.7、kc=0.5三種情況。假設(shè)t=150 s時執(zhí)行器發(fā)生故障并持續(xù)至仿真結(jié)束，其仿真結(jié)果見圖3。

圖3 執(zhí)行器不同程度故障下的仿真結(jié)果

由圖3可以看出，隨著kc減小，執(zhí)行器效率損失程度加重，故障對系統(tǒng)的影響越來越大。但是，從列車速度、位移的跟蹤誤差仿真結(jié)果可以看出，與無故障情況相比，高速列車的跟蹤性能并未發(fā)生顯著改變，當(dāng)故障程度加重時，系統(tǒng)仍然能夠保持對期望曲線的快速精確跟蹤。同時，控制器的實際控制輸入平滑，未出現(xiàn)明顯抖振。由此表明，本文所提出的控制策略對執(zhí)行器效率部分損失故障具備較強的補償能力，體現(xiàn)出良好的容錯跟蹤性能。

(3)集總不確定性變大

集總不確定性增大時，分兩種情況進(jìn)行仿真。情況1：o(·)=2 500sin(0.02vt),θ=1.1π/180°，參數(shù)不確定性增加50%；情況2：o(·)=5 000sin(0.02vt),θ=1.2π/180°，參數(shù)不確定性增加100%。以kc=0.7為例，其速度跟蹤誤差與位移跟蹤誤差見圖4。

由圖4可以看出，系統(tǒng)集總不確定性增加并沒有明顯降低系統(tǒng)的控制性能，高速列車仍然保持較高的跟蹤精度和較快的收斂速度。說明本文所提出的控制器對由參數(shù)時變、附加阻力等引起的系統(tǒng)集總不確定性具有強魯棒性。

圖4 集總不確定性變大時的仿真結(jié)果

(4)與其他仿真策略對比

為了驗證本文所提出容錯跟蹤控制策略良好的收斂性能和跟蹤性能，針對相同的執(zhí)行器效率系數(shù)kc=0.7，與文獻(xiàn)[17]提出的漸進(jìn)時間收斂列車容錯跟蹤控制策略進(jìn)行仿真對比。仿真結(jié)果見圖5。其中，圖5(a)和圖5(b)為列車整個跟蹤運行控制過程的跟蹤誤差，圖5(c)和圖5(d)為0～100 s之間的跟蹤誤差局部放大對比；圖5(e)為滑模面響應(yīng)曲線對比。

圖5 本文結(jié)果與文獻(xiàn)[17]仿真結(jié)果對比

由圖5可以看出，跟文獻(xiàn)[17]提出的基于變增益PID型滑模面的漸進(jìn)時間收斂容錯跟蹤控制策略相比，本文所提出的控制策略穩(wěn)態(tài)精度更高，收斂速度更快。

4 結(jié)論

(1) 考慮執(zhí)行器故障，輸出飽和受限，列車質(zhì)量、基本阻力系數(shù)等模型參數(shù)時變不確定及附加阻力干擾等因素的影響，融合自適應(yīng)控制理論和非奇異終端滑模控制技術(shù)，提出了高速列車的容錯跟蹤控制策略，解決了多因素影響下列車自動駕駛中對期望曲線的跟蹤控制問題。

(2) 所提出的控制器只需較少模型信息，實現(xiàn)了列車速度跟蹤誤差和位移跟蹤誤差的有限時間收斂。

(3) 仿真結(jié)果表明，該控制器對執(zhí)行器效率部分損失故障具有較強的容錯能力，對系統(tǒng)集總不確定性具有較強的魯棒性，同時收斂速度快，跟蹤精度高。