模型預測濾波在艦載武器傳遞對準技術中的應用*

牟宏偉 韓 磊 李昂陽

（1.中國運載火箭技術研究院 北京 100076）（2.首都航天機械有限公司 北京 100076）

1 引言

艦載武器通常采用傳遞對準技術實現初始對準，以提供導航初值。傳遞對準精度將會直接影響武器的打擊精度。影響傳遞對準精度的因素主要有桿臂效應誤差、時間延遲誤差和撓曲變形誤差等。其中，主、子慣導之間的桿臂參數可通過準確測量得到，且作為傳遞對準諸元數據，直接裝訂至武器，因此能夠消除桿臂效應誤差的影響；艦船時統設備可提供秒脈沖信號，子慣導在接收主慣導速度、姿態等信息的同時，能夠接收秒脈沖信號，時間延遲不大于1ms，因此能夠消除時間延遲誤差的影響；由于海浪沖擊、溫度變化、艦船自身載荷等外力因素影響，船體會在不同程度上產生變形，影響主慣導輸出速度、姿態等信息的準確性，當撓曲變形達到一定程度時，可能會使濾波器發散，影響傳遞對準精度。因此，補償撓曲變形誤差是提高傳遞對準精度的關鍵。

補償撓曲變形誤差主要有兩種方法：第一種是對撓曲變形進行直接或間接測量，補償其誤差；第二種是用數學模型描述撓曲變形。目前，撓曲變形測量的方法主要包括自準直平行光管測量法、布拉格光柵測量法及攝影/攝像測量法等［1］，但上述方法具有各種局限性，例如測量精度低、測量方法復雜、要求光學通視等各種缺陷。針對第二種方法，最為實用的就是將動態撓曲變形近似為存在隨機攏動的隨機過程，這一特性與白噪聲驅動下的馬爾可夫過程相似［1～3］。因此，通常把撓曲變形當作二階馬爾可夫過程來進行建模，并對其進行相應的假設，但在實際應用中，由于動態特性復雜，該建模方法的準確性是未知的。

針對上述問題，本文提出了模型預測濾波（Model Prediction Filter，MPF）技術，并應用于傳遞對準中。模型預測濾波能夠在線估計未知的模型誤差，而且由于各濾波方程均為解析表達式，所以不存在迭代求逆過程，計算速度比較快［4～5］。最后，通過數值仿真分析，驗證了該方法的有效性。

2 傳遞對準誤差模型

2.1 誤差方程

姿態誤差方程為

速度誤差方程為

2.2 濾波模型

根據文獻［1］，傳遞對準速度加姿態匹配的濾波方程為

系統狀態變量為

其中，δvx、δvy分別為東向和北向的速度，?mx、?my、?mz分別為主慣導系統與子慣導系統之間的失準角，?ax、?ay、?az分別為主慣導系統與子慣導系統之間的安裝誤差角，εx、εx、εx分別為陀螺漂移誤差，?x、?y分別為加速度計誤差。

系統狀態方程為

速度加姿態匹配傳遞對準匹配方法的濾波模型中觀測量是主、子慣導系統之間的速度誤差以及姿態誤差，系統觀測方程為

3 模型預測濾波算法

模型預測濾波的提出克服了傳統卡爾曼濾波在濾波過程中將模型誤差假設為過程噪聲處理的缺點［6～9］，而且模型預測濾波的最大優點是計算速度快，將可觀測低的狀態變量作為模型誤差進行估計，以模型誤差為估計量，用觀測量校正不確定誤差，而且由解析表達式表達的模型預測濾波方程，沒有迭代求逆過程，在保證系統高精度的同時，降低了系統維數，加快了計算速度，提高了實時性。

3.1 模型預測濾波算法

假設存在線性系統如下：

其中，f∈Rn為連續可微非線性函數；x∈Rn為狀態變量；G∈Rn×q為模型誤差的分布矩陣；D∈Rq為模型誤差向量；y∈Rm為量測向量；v為零均值的高斯白噪聲的量測噪聲向量，且有協方差E{vvT}∈R。

令狀態估計與預測輸出估計之間的關系如下：

由李導數定義，k階李導數為

因為D的任意分量第一次出現在hi的微分中的最低階數為pi，所以當微分階數小于pi時，有，式（12）可寫為

當i=1…m時，分別求出如式（13）的泰勒級數展開式，并寫成矩陣的形式，則有：

U(?)∈Rm×q為靈敏度矩陣，由式（14）可以表示為

其中，gj為G的第j列，j=1…q。

模型預測濾波的基本工作原理是預測輸出跟蹤量測輸出，進而估計出模型誤差量。則性能指標函數J(D)定義由預測輸出與量測輸出之間的殘差加權平方和及模型修正項加權平方和組成，表達式為

其中，W∈Rq×q為模型誤差的加權陣，估計效果會受W取值的影響，但其最優值往往很難得到，所以只能根據經驗近似選取，如果選取不當，則會造成對模型誤差估計的效果變差，進而導致狀態估計精度降低。通常在模型誤差較大的情況下，W的取值不應該過大，而在模型誤差較小時，W的取值可以稍微大一些。

假設小時間間隔Δt為常值，得到y(t)=yk，y(t+Δt)=yk+1。如果使J最小，則需滿足?J/?Dk=0的條件，為此可以獲得在[tk,tk+1]間的模型誤差估計為

3.2 基于模型預測濾波的濾波器設計

模型預測濾波不但克服了假設模型誤差為零均值高斯白噪聲的局限性，對不精確模型具有很好的魯棒穩定性［10～12］，而且由于降低了系統狀態變量的維數，提高了計算速度。針對上述模型預測濾波的優點，本文研究模型預測濾波與卡爾曼濾波相結合的混合濾波算法，將狀態變量姿態角作為模型誤差進行預測估計，在很大程度上提高了計算速度。仿真結果表明，該算法能夠在保證精度的情況下，減小計算量，提高系統的實時性。

令狀態變量中?為模型誤差，其他均為系統狀態變量，得到基于模型預測濾波的狀態方程為

其中，ΔX∈R6為系統狀態變量，F∈R6×6為狀態轉移矩陣，G1∈R6×9為模型誤差分布陣，D∈R9為模型誤差向量，G2∈R6×6為系統噪聲驅動陣，W∈R6為系統噪聲。

4 仿真研究

4.1 仿真條件

假設載體的縱搖角為ψ，橫搖角為θ，航向角為γ，則運載體的數學模型為

其中，ψm=5°，θm=5°，γm=5°，ωψ=2π/6(rad/s)，ωθ=2π/8(rad/s)，ωγ=2π/10(rad/s)。

初始相角：ψ0=0°,θ0=0°,γ0=0°。初始緯度φ=45.7796°，初始經度λ=126.6705°；安裝誤差角?ax=1°，?ay=1°，?az=1°；陀 螺 常 值 漂 移 為0.01°/h ；加速度計零偏為10-4g0。

分別將卡爾曼濾波和模型預測濾波應用于傳遞對準仿真中。失準角估計誤差結果見表1，仿真結果分別見圖1，其中，圖（a）為卡爾曼濾波結果，圖（b）為模型預測濾波結果。

表1 失準角估計誤差（RMS）

圖1 基于卡爾曼濾波和模型預測濾波的安裝誤差角估計誤差

4.2 仿真分析

從圖1、圖2可以看出，模型預測濾波對失準角的估計精度要高于卡爾曼濾波，收斂速度相對較快，而且誤差曲線相對較為平緩，濾波更為穩定，這主要是因為模型預測濾波能夠對未知的撓曲變形模型進行預測估計，保證了濾波的精度和穩定性，而且模型預測濾波降低了系統維數，減小了計算量，提高了濾波速度。

圖2 試驗設備安裝圖

5 試驗驗證

為了驗證模型預測濾波算法實際傳遞對準中的可行性，以某次SINS實測數據為基礎，進行離線分析，試驗設備的安裝見圖2，基于卡爾曼濾波算法和模型預測濾波算法的方位角對準結果見表2。模型預測濾波算法的對準精度更高，很好地解決了撓曲變形帶來的誤差。

表2 基于卡爾曼濾波和模型預測濾波的對準結果

6 結語

本文深入研究了模型預測濾波技術，并將其應用于艦載武器傳遞對準中，解決了撓曲變形數學模型未知的問題。仿真結果表明，模型預測濾波比傳統的卡爾曼濾波不但具有更高的濾波精度，而且提高了收斂速度，驗證了模型預測濾波在艦載武器傳遞對準中的有效性和可行性，進而能夠提高艦載武器的打擊精度，提升實戰能力。