鋪纜船用電纜埋設犁土壤挖掘阻力計算

吳占陽， 王 赟， 許素蕾， 湯維佳

(上海振華重工(集團)股份有限公司，上海 200125)

0 引 言

海底電纜埋設犁是海洋鋪纜船用關鍵設備，可實現對海底電纜的邊挖溝邊埋設工作。挖掘阻力是埋設犁在挖溝埋纜作業過程中所受主要載荷，主要來自埋設犁犁刀正面土壤的挖掘反力和側面土壤的摩擦力。目前針對土壤挖掘阻力的計算，可根據庫侖土壓力理論計算犁刀正面挖掘反力，但對于犁刀側面的土壤摩擦力，主要基于經驗公式方法[1]；也可在庫侖土壓力理論基礎上采用修正系數的方法[2]。這些計算方法，對于既定犁刀尺寸和結構，如果試驗數據豐富，則獲得的結果相對準確，但如果試驗數據缺乏，且犁刀結構和尺寸有較大變化時，計算結果則會出現較大偏差。根據土力學基本原理，通過對某型埋設犁犁刀正面挖掘反力和側面摩擦力的計算，在不依賴試驗數據的情況下，介紹一種計算埋設犁土壤挖掘阻力的理論方法。

1 埋設犁正面土壤阻力計算

埋設犁在海底切削土壤時，其正面在拖曳力作用下切削土壤，根據土力學理論，這時土壤受到被動土壓力。當壓力達到一定程度時，對應破壞面上的剪應力超過土壤抗剪切應力，土壤在破壞面發生滑動。按照庫侖土抗剪切強度理論：

τf=c+σtanφ

(1)

式中:τf為土的抗剪切強度，kPa；c為土的內聚力，kPa，取50 kPa(重黏土)；σ為剪切面的法向應力，kPa；φ為土的內摩擦角，(°)。

圖1為來自土壤中某一點的單元體的受力狀態示例。圖1 中：σ1和σ3為主應力，且定義σ1>σ3；mn為單元體上任意剪切面；α為單元體剪切面mn與小主應力σ3方向的夾角；ds為微單元體剪切面mn的面積；τ為剪切面mn上的剪應力。

圖1 土壤單元體受力示例

結合材料力學二應力理論，可得：

(2)

根據式(1)和式(2)，可得：

(3)

當土體中任意一點在某一平面上的剪應力等于土的抗剪切強度時，這種狀態被稱為極限平衡狀態。根據相關土力學原理，當土體發生剪切破壞時，其破壞面不是發生在剪切強度最大的面上，而是發生在與最大主應力作用面成45°+φ/2的面上[3]。此時，單元體平面mn與小主應力σ3方向的夾角被稱為破裂角，標記為αf，且αf=45°+φ/2。將αf代入式(3)，可得：

(4)

根據黏性土極限平衡條件[4]，在極限平衡狀態下：

(5)

同時，當土壤處于極限平衡狀態時，滿足：

τf=τ

(6)

埋設犁在海底切削土壤時，一般取φ=40°，c=50 kPa，則土壤破壞面的破壞角αf=45°+φ/2=45°+40°/2=65°。

將上述已知數據代入式(1)和式(4)～式(6)，得到結果如表1所示。

表1 土壤應力計算結果 kPa

圖2～圖5為某型埋設犁犁刀不同受力模型示例。圖4和圖5以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點為坐標原點O，水平向右為橫坐標正向，豎直向下為縱坐標正向，建立一個平面坐標系，以便進行后續力學位置計算和力的合成。

圖2 某型埋設犁正面土壤阻力分析示例

圖3 某型埋設犁正面土壤阻力計算示例

圖4 某型埋設犁正面土壤阻力分解示例

圖5 某型埋設犁側面土壤摩擦力分析示例

根據經典土力學理論，當埋設犁前進挖溝時，犁刀前面的土壤可以視為一面豎直的擋土墻(見圖2)。由圖2可看到：當埋設犁前進挖溝時，按犁刀受力最大工況，可假定σ1的作用方向垂直于下部犁刀和犁刀正面，下部犁刀和犁刀正面會受到來自土壤的阻力。圖3為某型埋設犁正面土壤阻力計算示例。在圖2和圖3中，某型埋設犁挖溝最大深度H為3 200 mm，其中下部犁刀挖溝深度H1為470 mm，斜型犁刀正面挖溝深度H2為 2 730 mm。

如圖3所示，當埋設犁前進挖溝至深度3 200 mm時，下部犁刀和斜型犁刀正面分別受到來自土壤的正壓力Fn1和Fn2：

(7)

(8)

式(7)和式(8)中：S1為下部犁刀面積，m2；S2為斜型犁刀正面面積，m2；b為犁刀寬度，m；L1為下部犁刀長度，m；L2為斜型犁刀正面長度，m。

圖4為某型埋設犁正面土壤阻力分解示例。將上述計算結果Fn1和Fn2進行水平和垂直各方向的分解。Fn1分解為：水平力Fx1，垂直力Fy1，kN；Fn2分解為：水平力Fx2，垂直力Fy2，kN。上述水平和豎直方向力的方向定義為：豎直向上為正；水平向右為正(與犁的前進方向相反)。可得：

Fx1=Fn1cosθ1

(9)

Fy1=-Fn1sinθ1

(10)

Fx2=Fn2cosθ2

(11)

Fy2=Fn2sinθ2

(12)

聯立式(7)～式(12)，計算結果如表2所示。

表2 某型埋設犁正面土壤阻力計算結果

2 埋設犁側面土壤摩擦力計算

埋設犁在作業過程中，其犁體兩側面受到來自土壤的正壓力和摩擦力，其受力部分如圖5所示。根據犁體側面與海底土壤接觸情況，將犁體側面劃分成3個部分：三角形OAB，長方形ACDE，梯形EDGF。

根據圖5，埋設犁上端面OAE直線的解析方程為

YOAE=0

(13)

埋設犁下端面即斜型面OB直線的解析方程為

YOB=X

(14)

埋設犁底面CDG直線的解析方程為

YCDG=3.2

(15)

埋設犁上部斜型面EF直線的解析方程為

(16)

下文分別求犁體的三角形OAB、長方形ACDE、梯形EDGF區域內犁體側面正壓力和摩擦力，在計算中鋼與土壤的摩擦因數μ為0.5。

埋設犁在水下作業時，其側面受到來自土壤的側面壓力和由此產生的摩擦阻力。埋設犁的兩側面屬于垂直面(非傾斜面)，當埋設犁作業前進時，兩側土壤會對其產生側壓力，將這種土側壓力看作是靜止土側壓力。根據相關土力學原理，可用靜止土壓力理論進行計算。

根據靜止土力學理論，設靜止土壓力強度為σ0(見圖6)，則

圖6 靜止土壓力計算示例

σ0=γZK0

(17)

式中：γ為海底土壤的容重，一般取16.5 kN/m3；Z為作用位置深度，m；K0為靜止土壓力因數，通常對于黏性土，K0取0.5～0.7，非黏性土取0.35～0.50，此處按黏性土取K0=0.7。

2.1 三角形OAB區域土壤正壓力和摩擦力計算

三角形OAB區域，結合式(14)和式(17)，單位寬度土墻對埋設犁側面的側壓力計為

(18)

運用定積分的元素法原理[5]，在三角形OAB區域內得到的側面正壓力為

(19)

式中：XB=2.727 m，XO=0 m，XB、XO分別表示點B、點O在X軸的坐標。經計算得到NOAB=39 kN。

相應地，三角形OAB區域內受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個側面)fOAB=2μNOAB=39 kN。

2.2 長方形ACDE區域土壤正壓力和摩擦力計算

長方形ACDE區域，結合式(13)、式(15)和式(17)，單位寬度土墻對埋設犁側壓力為常數：

(20)

則在長方形ACDE區域內得到的側面正壓力為

(21)

式中：XC=2.727 m，XD=3.818 m，XC、XD分別表示點C、點D在X軸的坐標。經計算得到NACDE=64 kN。

相應地，長方形ACDE區域內受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個側面)fACDE=2μNACDE=64 kN。

2.3 梯形EDGF區域土壤正壓力和摩擦力計算

梯形EDGF區域，結合式(15)、式(16)和式(17)，單位寬度土墻對埋設犁側壓力為

31.07+14.67X-1.93X2

(22)

則在梯形EDGF區域內得到的側面正壓力為

(23)

式中：XD=3.818 m，XG=8.027 m，XG為點G在X軸的坐標。經計算得到NEDGF=199 kN。

相應地，梯形EDGF范圍內受到的局部摩擦阻力大小為(含正反2個側面)fEDGF=2μNEDGF= 199 kN。

2.4 側面摩擦力作用點位置

在靜止土壓力強度σ0的作用(見圖7)下，對單位長度擋土墻側面壓力沿深度方向逐漸加大分布。這種分布作用可以等效成一個集中力，該力大小為E0，作用在某一深度位置Z′。

圖7 作用位置求解示例

假設E0作用位置深度為Z′，則單位長度的擋土墻在任意作用位置深度Z處，對深度Z′處的力

矩滿足如下關系：

(24)

圖8為某型埋設犁側面土壤摩擦力合成示例。在圖8中，以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點為坐標原點O，水平向右為橫坐標正向，豎直向下為縱坐標正向，建立一個平面坐標系。在埋設犁犁刀側面三角形OAB區域，沿著犁刀側面X方向，單位長度擋土墻集中力E0=EOAB沿直線OH分布其上，根據單位長度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結論，直線OH的方程為

(25)

由式(18)可知：EOAB是關于X的函數。因此，側面正壓力也可以等效到OH上某一點。假設該點深度位置為y′,對應該點橫坐標為X′，則根據力矩平衡關系，可得：

(26)

將式(18)、式(25)代入式(26)，且XO=0 m，XH=2.727 m，XH為點H在X軸的坐標。經計算得到y′=1.364 m 。

在圖8的埋設犁側面矩形ACDE區域內，沿犁刀側面X方向，單位長度擋土墻集中力E0=EACDE沿直線IJ分布其上，根據單位長度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結論，直線IJ為一條水平直線，方程為

圖8 某型埋設犁側面土壤摩擦力合成示例

(27)

由式(20)可知：EACDE為常數。因此，側面正壓力也可以等效到IJ上某一點。假設該點深度位置為y″,則容易得到y″=2.133 m。

在圖8的埋設犁側面梯形EDGF區域內，沿犁刀側面X方向，單位長度擋土墻集中力E0=EEDGF沿直線JK分布其上，根據單位長度擋土墻集中力E0作用位置在距溝底1/3深度處的結論，直線JK為一條直線，方程為

y=0.192x+1.398

(28)

由式(22)可知：EEDGF是關于X的函數。因此，側面正壓力也可以等效到JK上某一點。假設該點深度位置為y?，則根據力矩平衡關系，可得：

(29)

將式(22)和式(28)代入式(29)，且已知XJ=3.818 m，XK=8.027 m，XJ、XK分別表示點J、點K在X軸的坐標。經計算得到y?=2.341 m。

根據上述計算結果，在埋設犁犁刀側面正壓力作用位置確定后，對應其所產生的摩擦力集中作用點位置相應確定。這3個區域范圍的摩擦力fOAB、fACDE、fEDGF的作用位置如圖8中y′、y″和y?所示。由于這3個摩擦力為水平方向，水平坐標位置與力產生的轉矩無影響，此處水平坐標位置不作具體計算。

3 埋設犁犁體挖掘阻力合成計算

3.1 挖掘阻力合力計算

上文經過計算，已獲得埋設犁在進行作業時犁刀體受到來自土壤的各種阻力，包括：埋設犁正面所受土壤阻力的水平分力Fx1、Fx2；正面土壤阻力豎直分力Fy1、Fy2；側面壓力NOAB、NACDE、NEDGF；側面摩擦力fOAB、fACDE、fEDGF。其中，犁刀體兩個側面壓力大小相等，方向相反。在計算整個埋設犁的平面力系時由于相互抵消，可以不考慮。

綜上所述，某型埋設犁犁刀體受到的挖掘阻力如表3所示。

由表3可知：某型埋設犁在挖溝到最大深度時，受到來自土壤的阻力，可按水平和豎直兩個方向進行大小合成，則有水平合力Fx(與埋設犁運動方向相反為正)和豎直合力Fy(向上方向為正)分別為

表3 某型埋設犁挖掘阻力

Fx=Fx1+Fx2+fOAB+fACDE+fEDGF=417.5 kN

(30)

Fy=Fy1+Fy2=73.2 kN

(31)

3.2 挖掘阻力合成

現假設上述2個力合成至埋設犁的某一點處，相對于坐標原點而言，設該合成力的坐標為(X,Y)，上述分析的Fx1、Fy1、Fx2、Fy2、fOAB、fACDE、fEDGF各力的作用點坐標如圖9所示。在圖9中，以犁溝頂面和斜型犁刀正面交點為坐標原點O，水平向右為橫坐標正向，豎直向下為縱坐標正向，建立一個平面坐標系。各水平方向作用力繞原點O形成的力矩之和可以用總的水平力Fx與其縱軸坐標Y的乘積等效；豎直方向作用力繞原點O形成的力矩之和可以用總的豎直力Fy與其橫軸坐標X的乘積等效。相關方程為

圖9 某型埋設犁挖掘阻力合成示例

(32)

將各已知數據代入式(32)可得到X=1 718 mm；Y=2 119 mm。

最終埋設犁挖掘阻力合成力位置及大小如表4所示。

表4 某型埋設犁挖掘阻力合成

4 結 論

根據土壤力學的基本原理，在電纜埋設犁挖掘海底土壤過程中，運用庫侖抗剪切強度理論，對某型埋設犁正面挖掘反力進行理論分析與計算；運用靜止土理論，對埋設犁挖掘過程中犁刀側面受到的摩擦力進行理論分析與計算；并運用力學平衡原理，對埋設犁受到的正面挖掘反力和側面土壤摩擦力進行大小和位置的等效合成。在缺乏有效試驗數據的情況下，為埋設犁海底挖掘阻力的分析與計算提供一種通用性的理論方法，突破經驗公式的局限性，并為埋設犁犁刀的設計及整機力學分析提供一種理論指導。然而，作為一種理論計算方法，在實際運用時需要繁瑣的數學建模和大量圖例，因此相對于經驗公式，計算工作量增加。